L'ultimo teorema di Fermat/Appendice: differenze tra le versioni

Si tratta di un sistema di aritmetica degli interi, nel quale i numeri "si avvolgono su se stessi" ogni volta che raggiungono i multipli di un determinato numero n, detto modulo. L’aritmetica modulare venne formalmente introdotta da Carl Friedrich Gauss nel suo trattato Disquisitiones Arithmeticae, pubblicato nel 1801.

 

L'aritmetica modulare si basa sul concetto di '''congruenza modulo ''n'' '''.

Dati tre numeri interi ''a'', ''b'', ''n'', con ''n''≠0, diciamo che ''a'' e ''b'' sono congruenti modulo ''n'' se la loro differenza (''a−b'') è un multiplo di ''n''. In questo caso scriviamo

L'enunciato è facilmente verificabile per numeri naturali "piccoli": è facile scoprire che 70 è pari a 2*5*7 mentre 100 equivale a 2*2*5*5 ovvero 22*52, ed è altrettanto facile verificare che per questi numeri non possono esistere altre scomposizioni in fattori primi. Viceversa la dimostrazione generale è piuttosto lunga: eccone una traccia. Si tratta di una dimostrazione per assurdo: si parte cioè dall'ipotesi contraria a quella dell'enunciato per poterne dimostrare l'infondatezza.

 

Si supponga che esistano dei numeri scomponibili in fattori primi in più di un modo, e si chiami ''m'' il più piccolo. Innanzitutto si dimostra che, date due fattorizzazioni di ''m'', i numeri primi che si presentano nella prima fattorizzazione sono tutti distinti da quelli della seconda fattorizzazione. Siano infatti due diverse fattorizzazioni: