L'ultimo teorema di Fermat/Appendice: differenze tra le versioni

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Questa appendice raccoglie alcune dimostrazioni e approfondisce alcuni concetti matematici che possono essere interessanti per approfondire alcuni aspetti del libro. Si è cercato di mantenere un approccio semplice ma essendo delle dimostrazioni corrette in alcuni casi si è dovuto far ricorso comunque ad alcuni concetti e passaggi non immediati che comunque sono state specificate e chiarificate ove possibile.
 
== Dimostrazione del teoremaTeorema di Pitagora==
Essendo il teorema uno dei più noti della storia della matematica, esistono molte dimostrazioni, opera di astronomi, agenti di cambio, e anche una di Leonardo da Vinci. Probabilmente, insieme alla reciprocità quadratica, si contende la palma del teorema con più dimostrazioni in assoluto. 3o si dimostrerà in modo grafico utilizzando solamente concetti di geometria elementare. Non verrà riportata la dimostrazione di Pitagora essendo molto complessa e non immediata.
 
 
Nel caso entrambi i numeri siano positivi, si può anche dire che ''a'' e ''b'' sono congruenti modulo ''n'' se hanno lo stesso resto nella divisione per ''n''. Quindi possiamo anche dire che 38 è congruo 14 modulo 12 poiché sia 38 sia 14 hanno resto 2 nella divisione per 12.
 
== Teorema fondamentale dell'aritmetica ==
Il Teorema fondamentale dell'aritmetica afferma che ogni numero naturale che non sia 1 ammette una ed una sola fattorizzazione in numeri primi pur di non tener conto dell'ordine dei fattori. (L'esclusione di 1 è dovuta al fatto che esso non ha fattori primi.) Questo teorema era alla base delle dimostrazioni di Gabriel Lamé e Augustin Luis Cauchy e come si è detto in generale non vale nei numeri complessi quindi non può essere utilizzato per il teorema di Fermat ma data la sua importanza si è deciso di includere comunque la dimostrazioni nell'appendice.
 
L'enunciato è facilmente verificabile per numeri naturali "piccoli": è facile scoprire che 70 è pari a 2*5*7 mentre 100 equivale a 2*2*5*5 ovvero 22*52, ed è altrettanto facile verificare che per questi numeri non possono esistere altre scomposizioni in fattori primi. Viceversa la dimostrazione generale è piuttosto lunga: eccone una traccia. Si tratta di una dimostrazione per assurdo: si parte cioè dall'ipotesi contraria a quella dell'enunciato per poterne dimostrare l'infondatezza.
 
=== Dimostrazione ===
Si supponga che esistano dei numeri scomponibili in fattori primi in più di un modo, e si chiami ''m'' il più piccolo (v. [[buon ordinamento]]). Innanzitutto si dimostra che, date due fattorizzazioni di ''m'', i numeri primi che si presentano nella prima fattorizzazione sono tutti distinti da quelli della seconda fattorizzazione. Siano infatti due diverse fattorizzazioni:
:<math>\left[ 1 \right] \quad m = p_1 p_2 p_3 \dots p_s</math>
:<math>\left[ 2 \right] \quad m = q_1 q_2 q_3 \dots q_t</math>
dove i <math>p_i</math> e i <math>q_j</math> sono primi. (Nota: all'interno ''di una singola'' fattorizzazione ci possono essere fattori ripetuti, naturalmente: ad esempio, 100 = 2*2*5*5). Se ci fosse un fattore identico <math>p_h=q_k</math>, potremmo dividere m per tale fattore e ottenere un numero <math>m'</math>, minore di m, che avrebbe anch'esso due fattorizzazioni distinte.
 
A questo punto sappiamo che <math>p_1</math> è diverso da <math>q_1</math>; senza perdita di generalità possiamo supporre che <math>p_1 < q_1</math>. Poniamo allora
:<math>\left[ 3 \right] \quad n = (q_1-p_1)q_2 q_3\dots q_t </math>
 
Evidentemente, <math>n < m</math>, dato che la <math>\left[ 3 \right]</math> si può scrivere come
:<math> \left[ 4 \right] \quad n = q_1 q_2 q_3 \dots q_t - p_1 q_2 q_3 \dots q_t = m - p_1 q_2 q_3 \dots q_t\;\!</math>.
Dimostriamo ora che ''n'' ammette almeno due fattorizzazioni distinte.
 
Iniziamo considerando che il primo fattore di ''n'', <math>q_1-p_1</math>, può o no essere primo; nel caso non lo fosse, supponiamo di fattorizzarlo. La fattorizzazione di ''n'' così ottenuta non ammette <math>p_1</math> tra i suoi fattori. Infatti, per la prima parte della dimostrazione, sappiamo che <math>p_1</math> è diverso da <math>q_2, q_3, \dots q_t</math>; ma non può nemmeno comparire nella eventuale fattorizzazione di <math>q_1-p_1</math>. Se infatti accadesse ciò significherebbe che
 
:<math>q_1-p_1= p1\cdot b \Rightarrow q_1 = p_1(1+b) </math>
 
e quindi <math>q_1</math> sarebbe divisibile per <math>p_1</math>, il che non è possibile in quanto <math>q_1</math> è un numero primo.
 
Prendendo ora l'ultima uguaglianza della <math>\left[ 4 \right]</math> e sostituendo per ''m'' il valore della <math>\left[ 1 \right]</math>, otteniamo
:<math> \left[ 5 \right] \quad n= p_1p_2p_3\dots p_s-p_1q_2q_3\dots q_t \rightarrow n = p_1(p_2p_3\dots p_s- q_2q_3\dots q_t)</math>
 
In qualunque modo sia fattorizzabile il secondo fattore nella <math> \left[ 5 \right] </math>, avremo ottenuto una fattorizzazione di ''n'' che contiene <math>p_1</math>, e che pertanto è diversa da quella nella <math> \left[ 3 \right] </math>, contrariamente all'ipotesi che ''m'' fosse il numero più piccolo che ammettesse più di una fattorizzazione.
 
Il teorema è pertanto dimostrato.
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