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Fisica classica/Conduttori: differenze tra le versioni

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Tutta la trattazione finora eseguita escludeva la presenza di materia. L'aria con buona approssimazione è equiparabile al vuoto per quanto riguarda l'elettrostatica, quindi la trattazione fatta finora si applica bene a un mezzo a cui siamo abituati. La materia modifica sostanzialmente il comportamento dei campi elettrici, esiste una quantità che definiremo nel seguito detta [[w:Resistivit%C3%A0_elettrica|resistività elettrica]] che varia di oltre 20 ordini di grandezza andando da un conduttore ideale (i metalli in generale) ad un isolante ideale (che chiameremo anche dielettrico). Qui limitiamo la nostra trattazione ad un conduttore ideale. Ovviamente, come spesso avviene in natura, la distinzione tra i conduttori e gli isolanti non è così netta: un caso tipico è l'acqua che nella forma naturale è un discreto conduttore, ma una volta privata dei sali in essa disciolti e quindi deionizzata rappresenta un buon isolante. Ma sicuramente i metalli, le leghe sono tutti dei conduttori per cui valgono le leggi che stiamo per descrivere.
 
Si definisce conduttore un corpo entro il quale siano presenti portatori di carica elettrica liberi di muoversi (al suo interno e sulla sua superficie). Come sappiamo tutti i corpi sono costituiti da particelle cariche (i nuclei degli atomi e gli elettroni di carica eguale ed opposta), tuttavia la gran parte di queste particelle non è libera di muoversi su distanze macroscopiche, ma occupa posizioni fisse all'inerno degli atomi o nelle molecole che essi costituisco. Nei metalli sappiamo dalle conoscenze microscopiche che gli elettroni più esterni degli atomi, quelli che determinano la loro [[w:Valenza_(chimica)|valenza]] dei vari elementi, sono liberi di muoversi. Questo comporta che vi è un numero grandissimo di elettroni liberi, vincolati solo dalla superficie esterna del conduttore. Supponiamo di introdurre un conduttore in una regione di spazio nel quale è presente un campo elettrico. In tal caso, ognuna delle cariche libere del conduttore ''sentirà'' il campo elettrico e di conseguenza tenderà a spostarsi sulla superficie del conduttore stesso fino a determinare una condizione di equilibrio.
 
Nella situazione di equilibrio in un conduttore, le cariche si dispongono sulla superficie, sia quando il conduttore possiede una carica totale netta, che quando, pur non essendo carico, è posto in una regione di spazio dove vi sono campi elettrici esterni. Tale fenomeno prende il nome di ''induzione elettrostatica'' e le cariche che si trovano sulla superficie del conduttore vengono definite ''cariche indotte''. Naturalmente, all'interno del conduttore si avrà una condizione di equilibrio quando le cariche superficiali generano all'interno del conduttore un campo elettrico indotto, che sommato a quello inducente dà risultante nulla.
 
=== Campo elettrico all'interno e sulla superficie di un conduttore===
Il campo elettrico all'interno di un conduttore è nulloquindi solosempre nullo in tutte le condizioni elettrostatiche, cioè quando le cariche, comunque presenti, sono in una posizioni fissa nello spazio. Se non fosse nullo il campo elettrico, allora all'interno del conduttore gli elettroni liberi sarebbero soggetti alla forza elettrica e quindi si muoverebbero sotto la sua azione. Chiaramente questo è in contraddizione con l'ipotesi di staticità.
 
Notiamo inoltre che il campo elettrico nelle immediate vicinanze di un conduttore deve essere perpendicolare alla superficie.: Nonnon vi possono essere componenti tangenziali. Se vi fossero tali componenti, allora gli elettroni si muoverebbero lungo la superficie del conduttore violando ancora la condizione di staticità. Come conseguenza, un conduttore continuo rappresenta un volume equipotenziale ed, in particolare, è equipotenziale la sua superficie.
 
=== Teorema di Coulomb ===
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Tale teorema derivabile dalla legge di Gauss mette in relazione il campo elettrico nelle immediate vicinanze di un conduttore con la densità di carica superficiale <math>\sigma\ </math>.
 
Consideriamo un conduttore, come nella figura a fianco, ed un cilindro retto di base infinitesima <math>S_B\ </math>, parallela alla superficie del conduttore e di superficie laterale <math>S_L\ </math> di altezza infinitesima. A causa della costruzione geometrica, il flusso del campo elettrico sarà nullo attraverso la superficie laterale di tale cilindro infinitesimo, main anchequanto attraversoil campo elettrico nelle immediate vicinanze dele conduttore non ha componenti tangenziali. Anche per quanto la base interna al conduttore, quindiil flusso è nullo in quanto il campo elettrico all'interno del conduttore è nullo. Quindi l'unica parte del flusso totale diversa da zero sarà attraverso la base <math>S_B\ </math> esterna al conduttore. Quindi detta <math>E_n\ </math>, la componente normale alla superficie (l'unica diversa da zero) del campo, il teorema di Gauss in questo caso si riduce a :
 
<math>E_nS_B=\frac {\sigma S_B}{\epsilon_0}\ </math>
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<math>E_n=\frac {\sigma }{\epsilon_0}\ </math>
 
Il numero delle cariche libere in un conduttore è estremamente elevato, in genere maggiore di <math>10^{28}\ m^{-3}</math> in un comune conduttore. Questo fa sisì che uno spostamento di pochi fm (<math>1\ fm=10^{-15}\ m</math>) delle cariche positive, rispetto alle cariche negative, riesce a generare campi estremamente intensi sulla superficie dei conduttori. Quindi è talmente sottile lo strato di conduttore, in tutte le situazioni, inlo cuistrato nondi sonoconduttore esattamentecarico compensatenecessario lea caricherendere negativenullo conil quellecampo positiveall'interno, che sempre si parla di densità superficiale di carica quando si descrivono le proprietà dei conduttori.
Un esempio di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Spessore_strato_carico_in_un_conduttore|'''strato carico di un conduttore''']] chiarisce come in realtà, essendo molto elevata la densità volumetrica degli elettroni liberi in un metallo conduttore, lo spostamento didell'insieme taledegli nuvolaelettroni è di uno spessore inferiore allealla dimensionidimensione del nucleo.
=== Induzione elettrostatica ===
[[Immagine:Electrostatic induction.svg|thumb|upright=1.5|Cariche superficiali indotte su oggetti metallici da parte di una carica vicina. Il campo elettrostatico ''(linee con frecce)''
di una carica positiva ''<font color="red">(+)</font>'' provoca la separazione delle cariche mobili
nel metallo. Le cariche negative ''<font color="blue">(blu)</font>'' sono attratte e si posizionano nella superfice affacciata alla carica esterna. La carica totale essendo nulla, nelle parti lontane rimengonorimangono zone con eccesso di cariche positive ''<font color="red">(rosse)</font>''. Le cariche indotte superficialmente cancellano esattamente il campo prodotto dalla carica esterna all'interno dei metalli. L'induzione elettrostatica garantisce che all'inerno dei metalli in ogni punto il campo sia nullo.]]
 
A causa del fatto che in un conduttore, in condizioni elettrostatiche, il campo elettrico nel suo interno sia nullo e che esistono cariche elettriche positive e negative, si ha questo fenomeno che consiste nella ridistribuzione sulla superficie di un conduttore delle cariche (positive e negative) per annullare il campo nel suo interno. Quindi, in particolare, se pongo un oggetto carico nelle vicinanze di un conduttore, sulla superficie affacciata del conduttore al corpo carico si posizioneranno delle cariche di segno opposto in maniera da neutralizzare il campo all'interno del conduttore.
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L'effetto è un fenomeno che si osserva nei conduttori carichi e consiste nella formazione di un campo elettrico più intenso in prossimità delle zone in cui la superficie del conduttore presenta un [[w:raggio di curvatura|raggio di curvatura]] minore. Quindi le punte sono sede di campi elettrici elevati. A causa di tale effetto i fulmini colpiscono in maniera preferenziale le zone appuntite come gli alberi, le punte aguzze delle montagne e le guglie.
 
Per comprendere analiticamente tale effetto consideriamo due sfere conduttrici di raggio <math>R_1\ </math> ed <math>R_2\ </math>; immaginiamo che il raggio della prima sia minore della seconda: <math>R_1<R_2\ </math>. Se le due sfere sono connesse elettricamente, esse costituiscono un unico conduttore, per semplificare la trattazione immaginiamo che siano abbastanza distanti da potere trascurare i fenomeni di induzione (in realtà tale ipotesi non è necessaria, ma è solo utile per semplificare il ragionamento). Se poniamo una carica <math>Q\ </math> su tale sistema tale carica si distribuirà e vi sarà una carica <math>Q_1\ </math> sulla prima sfera e <math>Q_2\ </math> sulla seconda con:
 
<math>Q_1+Q_2=Q\ </math>
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\frac {\sigma_1}{\sigma_2}=\frac {R_2}{R_1}\ </math>
 
Cioè la densità di carica è inversamente proporzionale al raggio. Cioè la sfera con raggio minore ha una densità di carica maggiore. Ma la densità di carica per il teorema di Coulomb è proporzionale al campo elettrico e quindi più piccolo è il raggio di curvatura maggiore sarà il campo elettrico sulla sua superfice.
 
 
=== Il campo all'interno di un conduttore cavo ===
[[Immagine:Emptycavity.png|400px|right|thumb|Una situazione impossibile dal punto di vista dell'elettrostatica]]
Consideriamo un conduttore cavo, come nella figura, con ad esempio una carica positiva sulla superficie esterna come mostrato nella figura a fianco. Tale carica si dispone sulla superficie esterna addensandosi maggiormente nelle zone con minore raggio di curvatura. Preoccupiamoci della superficie interna. Vogliamo mostrare che, se la cavità è vuota (non vi sono cariche), sulla superficie interna non vi possono essere cariche.
Si dimostra con un ragionamento per assurdo.
 
Si dimostra con un ragionamento per assurdo. Immaginiamo che una zona carica (A) ed una zona carica (B) (con carica eguale ed opposta) siano su due posizioni della superficie interna. Il fatto che debbano necessariamente essere eguali ed opposte, deriva dalla conservazione della carica. Il teorema di Gauss applicato ad una superficie interna al conduttore che comprenda la cavità non esclude tale eventualità, infatti il flusso del campo elettrico sarebbe nullo se esistessero due zone cariche. Ma consideriamo l'integrale di linea lungo la linea indicata in figura:
 
<math>\oint_L \vec E\cdot \vec {dl}\ </math>
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necessariamente tale integrale sarebbe non nullo. Infatti stiamo muovendoci da una zona con una carica A ad una zona B carica di segno opposto (sappiamo che le linee del campo partono dalle cariche positive e vanno a finire su quelle negative). Si avrebbe quindi la contraddizione che l'integrale attraverso una linea chiusa del campo elettrostatico sarebbe diverso da zero. Ma questo contrasta con la conservatività del campo elettrostatico. Quindi l'ipotesi che si possano generare cariche eguali e di segno opposto sulla superficie interna porta ad una conseguenza assurda che si può escludere.
 
Bisogna puntualizzare che l'ipotesi iniziale è che lanell'interno della cavità sianon vuota,in cioècontatto privacon dila qualsiasisupefice caricametallica libera.non Lasiano cosapresenti cambiacariche. Infatti se delle cariche sono piazzate in qualche posizione fissa all'interno della cavità, o sopra un isolante o un conduttore isolato dal conduttore principale, in tal caso ci può essere un campo elettrico all'interno della cavità. Notiamo che in questo caso sulla superficie interna del conduttore si accumulerà una carica eguale a quella all'interno della cavità: in maniera da annullare il campo all'interno del conduttore cavo. EdE per la conservazione della carica una carica eguale a quella all'interno della cavità apparirà sulla superficie esterna. Ma anche in questo caso le cariche esterne o i campi esterni non riescono in nessuna maniera ad influenzare le cariche all'interno della cavità.
 
Notiamo che ben prima di dimostrare la cosa con un ragionamento logico, [[w:Michael_Faraday|M. Faraday]] aveva condotto degli esperimenti su conduttori cavi e aveva trovato tale effetto. Il fatto che un contenitore metallico è in grado di isolare l'ambiente interno da un qualunque campo elettrostatico presente al suo esterno, viene utilizzato nelle cosidette [[w:Gabbia_di_Faraday|gabbie di Faraday]].
aveva condotto degli esperimenti su conduttori cavi e tuttora delle camere chiuse metalliche che sono degli ottimi schermi non solo per campi elettrostatici, ma anche radiazione elettromagmetica, vengono chiamate [[w:Gabbia_di_Faraday|gabbie di Faraday]].
 
==Condensatori==
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Se <math>d\ll R_1\ </math> si dallo [[w:Sviluppo_di_Taylor|sviluppo di Taylor]] del logaritmo:
 
<math>\ln (1+x)\approx x\qquad per\ x\ll 1\ </math>
 
Quindi:
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