Fisica classica/Conduttori: differenze tra le versioni

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Tutta la trattazione finora eseguita escludeva la presenza di materia. L'aria con buona approssimazione è equiparabile al vuoto per quanto riguarda l'elettrostatica, quindi la trattazione fatta finora si applica bene a un mezzo a cui siamo abituati. La materia modifica sostanzialmente il comportamento dei campi elettrici, esiste una quantità che definiremo nel seguito detta [[w:Resistivit%C3%A0_elettrica|resistività elettrica]] che varia di oltre 20 ordini di grandezza andando da un conduttore ideale (i metalli in generale) ad un isolante ideale (che chiameremo anche dielettrico). Qui limitiamo la nostra trattazione ad un conduttore ideale. Ovviamente, come spesso avviene in natura, la distinzione tra i conduttori e gli isolanti non è così netta: un caso tipico è l'acqua che nella forma naturale è un discreto conduttore, ma una volta privata dei sali in essa disciolti e quindi deionizzata rappresenta un buon isolante. Ma sicuramente i metalli, le leghe sono tutti dei conduttori per cui valgono le leggi che stiamo per descrivere.
 
Si definisce conduttore un corpo entro il quale siano presenti portatori di carica elettrica liberi di muoversi (al suo interno e sulla superficie). Come sappiamo tutti i corpi sono costituiti da particelle cariche (i nuclei degli atomi e gli elettroni), tuttavia la gran parte di queste non è libera di muoversi su distanze macroscopiche, ma occupa posizioni fisse. Nei metalli, sappiamo dalle conoscenze microscopiche, sappiamo che gli elettroni più esterni, quelli che determinano la loro [[w:Valenza_(chimica)|valenza]], sono liberi di muoversi,. questoQuesto comporta che vi è un numero grandissimo di elettroni liberi, vincolati solo dalla superficie esterna del conduttore. Supponiamo di introdurre un conduttore in una regione di spazio nel quale è presente un campo elettrico. In tal caso, ognuna delle cariche libere del conduttore ''sentirà'' il campo elettrico e di conseguenza tenderà a spostarsi sulla superficie del conduttore stesso.
 
Nella situazione di equilibrio in un conduttore, le cariche si dispongono sulla superficie, sia quando il conduttore possiede una carica netta, che quando, pur non essendo carico, è posto in una regione di spazio dove vi sono campi elettrici esterni. Tale fenomeno prende il nome di ''induzione elettrostatica'' e le cariche che si trovano sulla superficie del conduttore vengono definite ''cariche indotte''. Naturalmente, all'interno del conduttore si avrà una condizione di equilibrio quando le cariche superficiali generano all'interno del conduttore un campo elettrico indotto, che sommato a quello inducente dà risultante nulla.
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=== Effetto punta ===
[[Immagine:Lightning striking the Eiffel Tower - NOAA.jpg|thumb|right|250px| La Torre Eiffel durante un temporale: Fotografia presa la sera del 3 giugno 1902.]]
L'effetto è un fenomeno che si osserva nei conduttori carichi e consiste nella formazione di un campo elettrico più intenso in prossimità delle zone in cui la superficie del conduttore presenta un [[w:raggio di curvatura|raggio di curvatura]] minore. Quindi le punte sono sede di campi elettrici elevati. A causa di tale effetto i fulmini colpiscono in maniera preferenziale le zone appuntite come gli alberi, le punte aguzze delle montagne e le guglie.
 
Per metterecomprendere inanaliticamente evidenza tale effetto consideriamo due sfere conduttrici di raggio <math>R_1\ </math> ed <math>R_2\ </math>; immaginiamo che il raggio della prima sia minore della seconda: <math>R_1<R_2\ </math>. Se le due sfere sono connesse elettricamente, esse costituiscono un unico conduttore, per semplificare la trattazione immaginiamo che siano abbastanza distanti da potere trascurare i fenomeni di induzione (in realtà tale ipotesi non è necessaria, ma solo utile per semplificare il ragionamento). Se poniamo una carica <math>Q\ </math> su tale sistema tale carica si distribuirà (e vi sarà una carica <math>Q_1\ </math> sulla prima sfera e <math>Q_2\ </math> sulla seconda) con:
 
<math>Q_1+Q_2=Q\ </math>
 
Trascurando la carica sul circuito che interconnette le sfere. Ma inoltreInoltre le sfere debbono avere lo stesso potenziale cioèrispetto all'infinito e questo si traduce nel fatto che:
 
<math>\frac {Q_1}{4\pi\varepsilon_o R_1}=\frac {Q_2}{4\pi\varepsilon_o R_2}\ </math>
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===Condensatore Piano===
[[Immagine:CONDPIA.png|300px|right|thumb|Un condensatore piano con distanza <math>d\ </math> tra le armature]]
La figura a fianco mostra il più elementare dei condensatori(anche il più usato), il condensatore ''piano''. In questo caso le armature sono due superfici piane parallele di area <math>S\ </math> separate da una distanza <math>d</math> (piccola rispetto alle dimensioni laterali delle armature).
 
Se poniamo una carica <math>+Q\ </math> sull'armatura superiore e <math>-Q\ </math> su quella inferiore, a causa dell'induzione elettrostatica completa (in quanto <math>d\ </math> è piccola), le cariche si disporranno con buona
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Dalla relazione precedente per un condensatore a facce piane e parallele possiamo scrivere che
<math>\varepsilon_o=\frac {C\ d}{S}\ </math>
Quindi ha le dimensioni di una capacità elettrica diviso una lunghezza per questa ragione in genere si preferisce definire l'unità di misura della costante dielettrica del vuoto come:
$$<math>\varepsilon_o=8.854\cdot 10^{-12}\ F/m$$\ </math>
si dice che:
$$\varepsilon_o=8.854\cdot 10^{-12}\ F/m$$
 
===Condensatore sferico===
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Dove <math>S=4\pi R_1^2\ </math> è la superfice dell'armatura interna. Si ritrova una espressione simile a quella di un condensatore a facce piane e parallele.
 
Nell'altro caso estremo in <math>R_2\to \infty\ </math>, il condensatore si riduce ad una sfera conduttrice di raggio <math>R_1\ </math> e si ritrova la formula della sfera
isolata
 
<math>C\approx 4\pi \varepsilon_o\frac {R_1R_2}{R_2}=4\pi \varepsilon_o R_1\ </math>
 
===Condensatore Cilindrico===
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Da cui si ricava:
 
<math>C=\frac Q{\Delta V}=2\pi \varepsilon_ol \frac 1{/\ln \frac{R_2}{R_1}}\ </math>
 
Si noti che anche in questo caso se la distanza tra le armature <math>d\ </math> è molto minore
del raggio interno <math>R_1\ </math>. Infatti riscrivendo la formula precedente come:
 
<math>C=2\pi \varepsilon_ol /\ln {1+d/R_1}\ </math>
 
Se <math>d\ll R_1\ </math> si dallo [[w:Sviluppo_di_Taylor|sviluppo di Taylor]] del logaritmo:
 
<math>\ln (1+x)\approx x\qquad x\ll 1\ </math>
 
Quindi:
 
<math>C\approx 2\pi \frac {\varepsilon_olR_1}d\ </math>
 
Ma <math>2\pi R_1 l=S\ </math> la superficie interna del cilindro. Quindi anche in questo caso:
 
<math>C\approx \varepsilon_o\frac Sd\ </math>
 
Nel caso dei condensatori cilindrici a volte si considera la capacità per unità di lunghezza <math>C_l\ </math>:
 
<math>C_l=2\pi \varepsilon_o \frac 1{\ln \frac{R_2}{R_1}}\ </math>
 
===Altri esempi===
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Immaginando di avere posto una carica <math>+Q\ </math> e <math>-Q\ </math> sulle armature estreme dei condensatori. A causa dell'induzione elettrostatica sulle armature opposte di ogni condensatore si deve formare una carica eguale e contraria.
 
Ma poiché la carica totale nel contatto tra la II armatura del condensatore 1 e la I del condensatore 2 deve essere nulla (in caso contrario si violerebbe il principio di conservazione della carica) sulla I armatura del condensatore 2 si deve avere una carica <math>+Q\ </math> e di seguito nella stessa maniera per i vari elementi della serie (applicando sia l'induzione elettrostatica che la conservazione della carica). In questo caso la stessa carica (in modulo) si ha su tutte le armature dei condensatori, mentre la d.d.p. ai capi dei singoli condensatori è diversa:
 
<math>V_i=\frac Q{C_i}\qquad con\ i=1,n\ </math>
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<math>C_e= 1/{\sum_{i=1}^n\frac 1{C_i}}\ </math>
 
Quindi la capacità equivalente nel collegamento in serie è sempre minore della più piccola delle capacità della catenaserie. In particolare se sono due condensatori eguali in serie la capacità equivalente vale la metà della capacità di ognuna dei condensatori della serie.
 
Due esempi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Due_condensatori_incrociati|'''condensatori in cui vengono connesse le armature opposte''']] e
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<math>u_E=\frac 12 \varepsilon_oE^2\ </math>
 
Tale valore concide con l'espressione dell'[[Fisica_classica/Potenziale_elettrico#Energia_associata_al_campo_elettrostatico|energia per unità di volume]] calcolato in maniera più generale nella [[Fisica_classica/Potenziale_elettrico|parte precedente]].
 
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