Meccanica razionale/Cinematica/Sistemi rigidi: differenze tra le versioni

 
 
Preso in '''O''' un sistema di riferimento solidale con '''S''', '''O'''xyz, e scelto un sistema fisso di riferimento <math>\boldsymbol{\xi}</math>, <math>\boldsymbol{\eta},</math>, <math>\boldsymbol{\zeta}</math>, e se <math>\vechat{\mathbf{i}}</math>, <math>\vechat{\mathbf{j}}</math>, <math>\vechat{\mathbf{k}}</math> sono i vettori unitari degli assi mobili '''x''', '''y''', '''z''' del corpo rigido abbiamo che
 
::::<math>\vec{OP}=x \vechat{\mathbf{i}}+y \vechat{\mathbf{j}}+z \vechat{\mathbf{k}}</math>
 
Per cui la velocità di '''P''', '''<math>\vec{ v_{p}}</math>''', è uguale a <math>{d\over dt}\vec{O_{1}P}</math>, mentre quella di '''O''', <math>\vec{ v_{0}}</math>, è data da <math>{d\over dt}\vec{O_{1}O}</math>. Posto ciò abbiamo che:
Se deriviamo la (7) rispetto al tempo otteniamo di conseguenza:
 
::::<math>\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}+\dot{x}\vechat{\mathbf{i}}+\dot{y}\vechat{\mathbf{j}}+\dot{z}\vechat{\mathbf{k}}+x{d\over dt}\vechat{\mathbf{i}}+y{d\over dt}\vechat{\mathbf{j}}+z{d\over dt}\vechat{\mathbf{k}}</math>
 
Essendo '''P''' un punto collegato rigidamente al corpo abbiamo che <math>\dot{x}=\dot{y}=\dot{z}=0</math>. La (8) si riduce allora a:
 
::::<math>\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}+x{d\over dt}\vechat{\mathbf{i}}+y{d\over dt}\vechat{\mathbf{j}}+z{d\over dt}\vechat{\mathbf{k}}</math>
 
Vogliamo ora dimostrare che:
 
::::<math>\left\{\begin{matrix}{d\over dt}\vechat{\mathbf{i}}=\vec\Omega\wedge\vechat{\mathbf{i}}\\{d\over dt}\vechat{\mathbf{j}}=\vec\Omega\wedge\vechat{\mathbf{j}}\\{d\over dt}\vechat{\mathbf{k}}=\vec\Omega\wedge\vechat{\mathbf{k}}\end{matrix}\right.</math>
 
Per dimostrare ciò ricordiamo ora alcune proprietà dei vettori unitari:
!prodotto vettoriale||prodotto scalare
|-bgcolor=#eOffff
|<math>\vechat{\mathbf{i}}\wedge\vechat{\mathbf{i}}=\vechat{\mathbf{j}}\wedge\vechat{\mathbf{j}}=\vechat{\mathbf{k}}\wedge\vechat{\mathbf{k}}=0</math>||<math>\vechat{\mathbf{i}}\times\vechat{\mathbf{i}}=\vechat{\mathbf{j}}\times\vechat{\mathbf{j}}=\vechat{\mathbf{k}}\times\vechat{\mathbf{k}}=1</math>
|-bgcolor=#eOffff
|<math>\vechat{\mathbf{i}}\wedge\vechat{\mathbf{j}}=-\vechat{\mathbf{j}}\wedge\vechat{\mathbf{i}}=\vechat{\mathbf{k}}</math>||<math>\vechat{\mathbf{i}}\times\vechat{\mathbf{j}}=0</math>
|-bgcolor=#eOffff
|<math>\vechat{\mathbf{j}}\wedge\vechat{\mathbf{k}}=-\vechat{\mathbf{k}}\wedge\vechat{\mathbf{j}}=\vechat{\mathbf{i}}</math>||<math>\vechat{\mathbf{j}}\times\vechat{\mathbf{k}}=0</math>
|}
 
Inoltre possiamo scrivere:
 
::::<math>{d\over dt}(\vechat{\mathbf{i}}\times\vechat{\mathbf{i}})=\vechat{\mathbf{i}}\times{d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}+{d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{i}}=2({d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{i}})=0</math>
 
::::<math>{d\over dt}(\vechat{\mathbf{i}}\times\vechat{\mathbf{j}})={d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{j}}+\vechat{\mathbf{i}}\times{d\vechat{\mathbf{j}}\over dt}=0</math>
 
::::<math>{d\over dt}(\vechat{\mathbf{j}}\times\vechat{\mathbf{k}})={d\vechat{\mathbf{j}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{k}}+\vechat{\mathbf{j}}\times{d\vechat{\mathbf{k}}\over dt}=0</math>
 
 
:::::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=#eOffff
!<math>{d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{i}}=0</math>
|-bgcolor=#eOffff
|<math>{d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{j}}=-\vechat{\mathbf{i}}\times{d\vechat{\mathbf{j}}\over dt}</math>
|-bgcolor=#eOffff
|<math>{d\vechat{\mathbf{j}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{k}}=-\vechat{\mathbf{j}}\times{d\vechat{\mathbf{k}}\over dt}</math>
 
|}
 
 
Il vettore <math>{d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}</math> potrà essere espresso in generale come:
 
::::<math>{d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}=a\vechat{\mathbf{i}}+b\vechat{\mathbf{j}}+c\vechat{\mathbf{k}}</math>
 
Se moltiplichiamo scalarmente la (14) rispettivamente per <math>\vechat{\mathbf{i}}</math>, <math>\vechat{\mathbf{j}}</math>, <math>\vechat{\mathbf{k}}</math> otteniamo:
 
::::<math>{d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{i}}=a\vechat{\mathbf{i}}\times\vechat{\mathbf{i}}+b\vechat{\mathbf{j}}\times\vechat{\mathbf{i}}+c\vechat{\mathbf{k}}\times\vechat{\mathbf{i}}=a=0</math>
 
::::<math>{d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{j}}=a\vechat{\mathbf{i}}\times\vechat{\mathbf{j}}+b\vechat{\mathbf{j}}\times\vechat{\mathbf{j}}+c\vechat{\mathbf{k}}\times\vechat{\mathbf{j}}=b</math>
 
::::<math>{d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{k}}=a\vechat{\mathbf{i}}\times\vechat{\mathbf{k}}+b\vechat{\mathbf{j}}\times\vechat{\mathbf{k}}+c\vechat{\mathbf{k}}\times\vechat{\mathbf{k}}=c</math>
 
Si ottiene
 
::::<math>{d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}=({d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{j}})\cdot\vechat{\mathbf{j}}+({d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{k}})\cdot\vechat{\mathbf{k}}</math>
 
::::<math>=({d\vechat{\mathbf{j}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{k}})\cdot\vechat{\mathbf{i}}\wedge\vechat{\mathbf{i}}+({d\vechat{\mathbf{k}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{i}})\cdot\vechat{\mathbf{j}}\wedge\vechat{\mathbf{i}}+({d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}\times{j})\cdot\vechat{\mathbf{k}}\wedge{i}</math>.
 
E se definiamo:
 
::::<math>\vec{\Omega}=({d\vechat{\mathbf{j}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{k}})\cdot\vechat{\mathbf{i}}+({d\vechat{\mathbf{k}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{i}})\cdot\vechat{\mathbf{j}}+({d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}\times\vechat{\mathbf{j}})\cdot\vechat{\mathbf{k}}</math>
 
otteniamo le (10):
:::::::::::{| {{prettytable}}
|-bgcolor=#eOffff
!<math>{d\vechat{\mathbf{i}}\over dt}=\vec{\Omega}\wedge\vechat{\mathbf{i}}</math>
 
ed analoghe.
Utente anonimo