Algebra lineare e geometria analitica/Concetti di base e notazioni: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m fix |
→Funzioni: incollo da Algebra/Algebra astratta, autori del testo: Daniele (24 giu 2005), Ramac (12 nov 2007) |
||
Riga 108:
**''biettiva'' se è sia iniettiva che suriettiva.
==Definizioni di Base==
Innanzitutto, definiamo cosa si intende per [[w:operazione|operazione]]: dato un insieme non vuoto <math>A</math>, una '''operazione''' o '''legge di composizione interna''' è una funzione da <math>A^n</math> ad <math>A</math> (in cui con <math>A^n</math> si intende il prodotto cartesiano di <math>A</math> con se stesso <math>n</math> volte); in questo caso, si dice che l'operazione è '''<math>n</math>-aria''' p di varietà <math>n</math>, intendendo che opera su <math>n</math> elementi di <math>A</math> restituendo l'elemento di <math>A</math> ad essi associato. Solitamente, si trattano operazioni '''binarie''' (cioè operazioni in cui <math>n=2</math>), '''ternarie''' (cioè operazioni in cui <math>n=3</math>), '''unarie''' (cioè operazioni in cui <math>n=1</math>), '''zerarie''' o '''nullarie''' (cioè operazioni in cui <math>n=0</math>, che equivalgono a fissare un elemento di <math>A</math>, per esempio nella definizione moderna di gruppo). Le operazioni sono solitamente indicate con simboli quali <math>+,\cdot,*,\circ,\bullet,\star,\times,\oplus,\otimes,\dagger</math> eccetera. Si usa spesso, al posto della notazione prefissa tipica delle funzioni (<math>+(\langle a,b \rangle)</math>) la notazione infissa (<math>a+b</math>) o quella postfissa o suffissa (<math>(\langle a,b\rangle)+</math>).
Dato un linguaggio <math>\mathfrak{F}</math> e un insieme <math>A\neq\emptyset</math>, definiamo '''algebra''' <math>\mathbf{A}</math> di tipo <math>\mathfrak{F}</math> una coppia ordinata <math>\langle A,F\rangle</math>, con <math>F</math> insieme di funzioni finitarie indicizzate (o non indicizzate) in modo tale che per ogni simbolo <math>f</math> di operazione <math>n</math>-aria in <math>\mathfrak{F}</math> corrisponda una operazione <math>n</math>-aria <math>f_A</math> in <math>A</math>; le operazioni di <math>F</math> si dicono fondamentali. Se <math>F</math> è finito, si scrive <math>\langle A,f_1,f_2,\ldots,f_n\rangle</math>, con la convenzione di elencare le operazioni fondamentali per arietà decrescente.
Definiamo quindi, a partire da questa, le strutture algebriche elementari, indicando l'arietà dell'operazione o delle operazioni e le proprietà da esse verificate.
=== Classificazione di operazioni binarie ===
In particolare, consideriamo ora operazioni binarie.
#Un'operazione binaria (che chiamiamo per esempio <math>*</math>) si dice:
#*'''associativa''' se si ha l'ugualianza <math>(a*b)*c=a*(b*c)</math> per ogni <math>a,b,c\in A</math>;
#*'''commutativa''' se <math>a*b=b*a</math> per ogni <math>a,b\in A</math>;
#*'''mediale''' se <math>(a*b)*(c*d)=(a*c)*(b*d)</math> per ogni <math>a,b,c,d\in A</math>;
#*'''commutativa a sinistra''' se <math>a*(b*c)=a*(c*b)</math> per ogni <math>a,b,c\in A</math>;
#*'''commutativa a destra''' se <math>(a*b)*c=(b*a)*c</math> per ogni <math>a,b,c\in A</math>;
#*'''autodistributiva a sinistra''' se <math>a*(b*c)=(a*b)*(a*c)</math> per ogni <math>a,b,c\in A</math>;
#*'''autodistributiva a destra''' se <math>(a*b)*c=(a*c)*(b*c)</math> per ogni <math>a,b,c\in A</math>.
#Inoltre, se sono date due operazioni <math>+,\cdot</math>, definiamo:
#*<math>\cdot</math> '''distributiva''' a <math>+</math> '''a sinistra''' se <math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math> per ogni <math>a,b,c\in A</math>;
#*<math>\cdot</math> '''distributiva''' a <math>+</math> '''a destra''' se <math>(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c</math> per ogni <math>a,b,c\in A</math>.
#Diciamo che un elemento <math>a\in A</math> rispetto all'operazione <math>\dagger</math> è:
#*'''idempotente''' se <math>a\dagger a=a</math> (dove possiamo scrivere <math>a\dagger a</math> più sinteticamente come <math>a^2</math>);
#*'''neutro a sinistra''' se <math>a\dagger c=c, \forall c\in A</math>;
#*'''neutro a destra''' se <math>c\dagger a=c, \forall c\in A</math>;
#*'''neutro''' se è neutro sia sinistro che destro, ovvero se <math>a\dagger c=c\dagger a=c, \forall c\in A</math>;
#*'''zero (assorbente) a sinistra''' se <math>a\dagger c=a, \forall c\in A</math>;
#*'''zero (assorbente) a destra''' se <math>c\dagger a=a, \forall c\in A</math>;
#*'''zero (assorbente)''' se è zero sia sinistro che destro, ovvero se <math>a\dagger c=c\dagger a=c, \forall a\in A</math>;
#*'''divisore dello zero a sinistra''' se, nell'ipotesi che esista lo zero (<math>0</math>) in <math>A</math> e che <math>a\neq0</math>, si ha che <math>\exists b\in A\setminus\{0\}: a\dagger b=0</math>;
#*'''divisore dello zero a destra''' se, nell'ipotesi che esista lo zero (<math>0</math>) in <math>A</math> e che <math>a\neq0</math>, si ha che <math>\exists b\in A\setminus\{0\}: b\dagger a=0</math>;
#*'''invertibile (simmetrizzabile) a sinistra''' se <math>\exists a'\in A:\forall x\in A, a'\dagger(a\dagger x)=x</math>, e in questo caso si dice che <math>a'</math> è un ''inverso sinistro'' o un ''simmetrico sinistro'' di <math>a</math>; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in <math>A</math> l'unità <math>u</math>, allora <math>a</math> si definisce invertibile a sinistra se <math>\exists a'\in A:a'\dagger a=u</math>;
#*'''invertibile (simmetrizzabile) a destra''' se <math>\exists a'\in A:\forall x\in A, (x\dagger a)\dagger a'=x</math>, e in questo caso si dice che <math>a'</math> è un ''inverso destro'' o un ''simmetrico destro'' di <math>a</math>; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in <math>A</math> l'unità <math>u</math>, allora <math>a</math> si definisce invertibile a destra se <math>\exists a'\in A:a\dagger a'=u</math>;
#*'''invertibile (simmetrizzabile)''' se è invertibile sia a sinistra che a destra, ovvero se <math>\exists a'\in A:\forall x\in A, a'\dagger(a\dagger x)=(x\dagger a)\dagger a'=x</math>, e in questo caso si dice che <math>a'</math> è l' ''inverso'' o il ''simmetrico'' di <math>a</math>; se inoltre vale la proprietà associativa ed esiste in <math>A</math> l'unità <math>u</math>, allora <math>a</math> si definisce invertibile se <math>\exists a'\in A:a'\dagger a=a'\dagger a=u</math>.
==Strutture algebriche fondamentali==
| |||