Analisi complessa/Numeri complessi

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Numeri complessi

Definizione 1.1.1 Definiamo l'insieme dei numeri complessi C come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ con somma e prodotto definiti come

$(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$

$(x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2})$

E' facile convincersi che con queste definizioni ha le proprieta' algebriche di un campo (vedi sezione 2.3). Inoltre, assimilando i numeri della forma $(x,0)$ ai numeri reali, e' possibile mostrare che ogni numero complesso si puo' scrivere come

$(x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+Iy$

dove 1= (0,1).

L'analogia tra C ed $R^{2}$ e' immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Definiamo poi, dato un numero $z\in C=x+Iy=(x,y)$

definiamo il coniugato

$bar{z}=x-Iy$

la parte reale

$Rez=x=(z+{\bar {z}})/2$

la parte immaginaria

$Imz=y=(z-{\bar {z}})/2$

il modulo

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}}$

Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si puo' ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari. Si puo' quindi scrivere $z\in C$ come $z=\rho (\cos \theta +I\sin \theta )$

evidentemente per z = 0 la forma polare e' mal definita.

$rho$ e' il modulo di $z$ e $theta$ l' argomento $\theta =\arg z$ , che e' definito a meno di multipli interi di $2\pi$ . Il valore principale dell'argomento e' il valore scelto in $(-\pi ,\pi )$, $Argz$. Definendo poi tramite la formula di Eulero $e^{I\theta }=\cos \theta +I\sin \theta$ (relazione che sara' giustificata in seguito) avremo $z=\rho e^{(}I\theta )$ .

TEOREMA 1.1.2. Le quantita' sopra definite godono di una serie di proprieta' algebriche: siano $z_{1},z_{2}\in C$ , con $z_{1}=x_{1}+Iy_{1}=\rho _{1}e^{I\theta _{1}}$ e $z_{2}=x_{2}+Iy_{2}=\rho _{2}e^{I\theta _{1}}$

(1)$\rho _{1}=|z_{1}|$

(2)$|z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|$

(3)$z_{1}z_{2}=\rho _{1}\rho _{2}e^{I(\theta _{1}+\theta _{2})}$

(4)$z_{1}/z_{2}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}e^{I(\theta _{1}-\theta _{2})}$

(5)$z_{1}^{n}=\rho _{1}^{n}e^{In\theta _{1}}\qquad n\in \mathbb {Z}$

(6) ${\sqrt[{n}]{z_{1}}}={\sqrt[{n}]{\rho _{1}}}e^{I({\frac {\theta _{1}}{n}}+{\frac {k2\pi }{n}})}\qquad k=0,1,\ldots n-1$

Inoltre si nota che $|\cdot |$ soddisfa le definizioni di una distanza , e di conseguenza si puo' considerare $C$ uno spazio metrico.

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