Analisi matematica/Determinanti e matrici: differenze tra le versioni
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==Matrici==
{{matematica voce|Matrici|Definizione|Si definisce '''matrice''' una tabella di <math>n\times m</math> numeri reali (o complessi), disposti su n '''righe''' e m '''colonne''', dove con il termine:
* ''riga'' intendiamo le ''righe orizzontali''
* ''colonna'' intendiamo invece le ''righe verticali''
Una matrice si presenterà nella forma più generica come:
:<math>A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,m} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,m} \end{bmatrix} </math>
nel qual caso il numero di righe è n, mentre quello delle colonne è m. Solitamente per denominare le matrici
si usano le lettere maiuscole latine.
*I ''numeri'' che riempiono una matrice vengono detti '''elementi''' ognuno dei quali occupa una posizione ben precisa. Un generico elemento è denotato con <math>a_{i,j}</math>, dove la coppia di indici ''i,j'' indicano rispettivamente l'i-esima riga e la j-esima colonna e determinano univocamente la posizione dell'elemtento nella matrice.
*La '''dimensione''' di una matrice che ha '''n''' righe e '''m''' colonne è <math>n\times m</math>
}}
;Esempio:Sia ''A'' la seguente matrice:
::<math>A=\begin{bmatrix}1&2\\3&3\end{bmatrix}</math>
:In questo caso la dimensione di A è <math>2\times 2</math> in quanto vi sono 2 righe e 2 colonne, inoltre:
:L'elemento <math>a_{1,1}=1</math> perché 1 si trova all'incrocio della prima riga e la prima colonna
:L'elemento <math>a_{1,2}=2</math> perché 2 si trova all'incrocio della prima riga e la seconda colonna
:L'elemento <math>a_{2,1}=3</math> perché 3 si trova all'incrocio della seconda riga e la prima colonna
:L'elemento <math>a_{2,2}=3</math> perché 3 si trova all'incrocio della seconda riga e la seconda colonna
===determinante di 2° ordine===
::::<math>\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}=ab'-a'b</math>
===determinante di 3° ordine===
:::: <math>\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{vmatrix}=a(b'c''-c'b'')-b(a'c''-c'a'')+c(a'b''-b'a'')</math>
===determinante di 4° ordine===
(regola di sviluppo di Laplace):
::::<math>\begin{vmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a''&b''&c''&d''\\a'''&b'''&c'''&d'''\end{vmatrix}=</math>
:<math>\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c''&d''\\c'''&d'''\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}a&b\\a''&b''\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c'&d'\\c'''&d'''\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&b\\a'''&b'''\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c'&d'\\c''&d''\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a'&b'\\a''&b''\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c&d\\c'''&d'''\end{vmatrix}-</math>
::::::<math>\begin{vmatrix}a'&b'\\a'''&b'''\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c&d\\c''&d''\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a''&b''\\a'''&b'''\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c&d\\c'&d'\end{vmatrix}.</math>
===determinante di ordine n===
::::<math>\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}...&a_{2n}\\..&..&..\\a_{n1}&a_{n2}...&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{r1}A_{r1}+a_{r2}A_{r2}+.....+a_{rn}A_{rn},</math>
dove <math>\ A_{rs}</math> è il determinante di ordine <math>\ n-1</math>, ottenuto dal dato colla soppressione della orizzontale <math>\ r^{ma}</math> e della verticale <math>\ s^{ma}, </math> preso col segno <math>\ (-1)^{r+s}; </math> il determinante <math>\ A_{rs}</math> si dice '''''complemento algebvrico''''' o '''''aggiunto''''' di <math>\ a_{rs}.</math>
Se <math>\ s\ne r</math> si ha:
::::<math>\ a_{s1}A_{r1}+a_{s2}A_{r2}+....+a_{sn}A_{rn}0=,</math>
(sviluppo di un determinante ''con due line uguali il cui valore è 0'').
===determinante di Vandermonde===
::::<math>\begin{vmatrix}1&1....&1\\a_1&a_2....&a_n\\a_1^2&a_2^2....&a_n^2\\..&..&..&\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}....&a_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{(r>s)}(a_r-a_s)\qquad con\ \begin{cases} r=2,3,..n\\s=1,2,..n-1\end{cases}</math>
Questo determinante è diverso da <math>\ 0</math> se i numeri <math>\ a_1, a_2, ..a_n</math> sono differenti.
===determinante reciproco===
::::<math>\ \nabla=\begin{vmatrix}A_{11}&A_{12}.....&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}.....&A_{2n}\\..&..&..\\A_{n1}&A_{n2}.....&A_{nn}\end{vmatrix}= D^{n-1}</math>
essendo <math>\ D</math> il determinante dato.
===Prodotto di due determinanti di ordine n===
:::<math>\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}....&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}....&a_{2n}\\..&..&..\\a_{n1}&a_{n2}....&a_{nn}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}....&b_{1n}\\b_{21}&b_{22}....&b_{2n}\\..&..&..\\b_{n1}&b_{n2}....&b_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}....&c_{1n}\\c_{21}&c{22}....&c_{2n}\\..&..&..\\c_{n1}&c_{n2}....&c_{nn}\end{vmatrix}</math>
dove: <math>\ c_{rs}=a_{r1}b_{s1}+a_{r2}b_{s2}+....+a_{rn}b_{sn},</math>
cioè: <math>\ c_{rs}</math> risulta dalla moltiplicazione della <math>\ r^{ma}</math> orizzontale del <math>\ 1^0</math> per la <math> \ s^{ma}</math> del <math>\ 2^{0}</math>
Il prodotto però può pure eseguirsi per ''verticali fra loro'' oppure anche ''con orizzontali per verticali o viceversa''.
===rango di una matrice===
Data la matrice:
::::<math>\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\......&....&.....&........\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{vmatrix}</math>
si dice '''rango''' l'ordine massimo dei determinanti diversi da zero contenuti nella matrice. Date '''m''' forme lineari: '''a<sub>r1</sub>x<sub>1</sub>+a<sub>r2</sub>x<sub>2</sub>+...+a<sub>rn</sub>x<sub>n</sub>=U<sub>r</sub>''' con '''r=1,2...m''', la carsatteristica della matrice dei coefficienti dà il numero di tali forme '''''linearmente indipendenti.'''''
::'''''esempio''''': Il rango della seguente matrice quadrata è 2.
::::<math>\begin{vmatrix}5&8&7\\13&11&-2\\18&19&5\end{vmatrix}</math>
Notare che in questo caso la matrice contiene un determinante di terzo ordine che è '''zero''', nove determinanti di secondo ordine non nulli, e nove determinanti di primo ordine (elementi).
[[Categoria:Analisi matematica|Determinanti e matrici]]
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