Matematica per le superiori/Basi di numerazione: differenze tra le versioni

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Tutta l'aritmetica può essere fatta anche usando un numero diverso di simboli, ovvero usando una differente '''base di numerazione'''. E in certi casi è conveniente usare una base diversa.
 
== Scrittura polinomiale ==
 
Prima di passare a studiare la scrittura dei numeri in basi diverse, conviene analizzare meglio la scrittura dei numeri in base 10.
 
Il numero: <math>2357 \text{, in base dieci, significa: }2\text{ migliaia }+3\text{ centinaia }+5\text{ decine }+7\text{ unita} \,</math>
 
possiamo anche scrivere:
 
<math>2357_{dieci} = 2 \times \text{mille} + 3 \times \text{cento} + 5 \times \text{dieci} + 7 \times \text{uno}</math>
 
oppure usando le potenze di 10:
 
<math>2357_{dieci} = 2 \times \text{dieci}^3 + 3 \times \text{dieci}^2 + 5 \times \text{dieci}^1 + 7 \times \text{dieci}^0</math>
 
Risulta che se la scrittura 2357 esprimesse un numero scritto in base 8 il suo significato sarebbe:
 
<math>2357_{otto} = 2 \times \text{otto}^3 + 3 \times \text{otto}^2 + 5 \times \text{otto}^1 + 7 \times \text{otto}^0</math>
 
 
 
Per scrivere numeri in base 8 dovremmo utilizzare solo 8 simboli:
 
<math>0,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 5,\; 6,\; 7</suca!!
 
Ma se con 10 cifre possiamo scrivere qualunque numero, usandone solo 8 ci sono dei numeri che non si possono rappresentare?
 
Come faccio a rappresentare in base 8 il numero 9? e il numero 10? e...
 
Una domanda analoga la possiamo porre anche per i numeri scritti in base 10: come facciamo a rappresentare il numero 12? e il 13? e...
 
Con una sola cifra non possiamo farlo, ma se il numero è maggiore di 9 lo rappresentiamo usando due (o più) cifre:
 
{| {{prettytable}}
! base 10 !! base 8 !! base 5 !! base 2 !! base 16 !! commenti
|-
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
| 2 || 2 || 2 || 10 || 2 || qui ho finito le cifre a disposizione per la base 2
|-
| 3 || 3 || 3 || 11 || 3 ||
|-
| 4 || 4 || 4 || 100 || 4 || qui ho finito le cifre a disposizione per la base 2
|-
| 5 || 5 || 10 || 101 || 5 || qui ho finito le cifre a disposizione per la base 5
|-
| 6 || 6 || 11 || 110 || 6 ||
|-
| 7 || 7 || 12 || 111 || 7 ||
|-
| 8 || 10 || 13 || 1000 || 8 || qui ho finito le cifre a disposizione per la base 8 e per la base 2
|-
| 9 || 11 || 14 || 1001 || 9 ||
|-
| 10 || 12 || 20 || 1010 || a || qui ho finito le cifre a disposizione per la base 10
|-
| 11 || 13 || 21 || 1011 || b ||
|-
| 12 || 14 || 22 || 1100 || c ||
|-
| 13 || 15 || 23 || 1101 || d ||
|-
| 14 || 16 || 24 || 1110 || e ||
|-
| 15 || 17 || 30 || 1111 || f ||
|-
| 16 || 20 || 31 || 10000 || 10 || qui ho finito le cifre a disposizione per la base 16 e per la base 2
|-
| 17 || 21 || 32 || 10001 || 11 ||
|-
| ... || ... || ... || ... || ... || ad libitum
|}
 
Ogni volta che finisco le cifre a disposizione per una certa base, devo aumentare il numero di cifre usato.
 
È evidente che in qualunque base, a patto di utilizzare un sufficiente numero di cifre, si può scrivere qualsiasi numero.
 
Poiché le cifre sono 10, per scrivere un numero in una base maggiore, dovrò procurarmi altre ''cifre''. Nel caso dei numeri esadecimali, servono altri 6 simboli. Generalmente vengono utilizzati: ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'', ''f'' o le corrispondenti lettere maiuscole.
 
Come si vede nella tabella,lo stesso numero può essere scritto in molti modi diversi: 15, 17, 30, 10001, f questi possono essere visti come nomi diversi di uno stesso numero. Per poter interpretare correttamente la scrittura di un numero dobbiamo sapere in che base è scritto. Normalmente lo si ricava dal contesto: se non detto esplicitamente la base è dieci.
 
== Da altra base a base ''dieci'' ==
 
Se ho un numero scritto in una base diversa, come faccio a scriverlo in base ''dieci''? Riprendiamo un esempio precedente:
 
<math>2357_{otto}</math>
 
Recuperiamo anche il significato di questa scrittura:
 
<math>2357_{otto} = 2 \times \text{otto}^3 + 3 \times \text{otto}^2 + 5 \times \text{otto}^1 + 7 \times \text{otto}^0</math>
 
Se vogliamo tradurlo in base ''dieci'' basta che sostituiamo alla base ''otto'' la sua scrittura in base ''dieci'': '''8''':
 
<math>2357_{otto} = 2 \times 8^3 + 3 \times 8^2 + 5 \times 8^1 + 7 \times 8^0=
2 \times 512 + 3 \times 64 + 5 \times 8 + 7 \times 1=1263</math>
 
Controlliamo il meccanismo con un numero presente nella tabella precedente:
 
<math>10001_{due} = 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1+ 1 \times 2^0=
1 \times 16 + 0 \times 8 + 0 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 =17</math>
 
ha suca suca testa di cazzo!!!
 
Ora non ci resta che trovare il modo per tradurre un numero dalla base 10 in un'altra base.
 
Partiamo con qualche esempio: se vogliamo tradurre in base 3 il numero 7, possiamo osservare che è composto da due terzine più una unità:
<math>7_{dieci}=2 \times 3^1 + 1 \times 3^0=21_{tre}</math>
 
Allo stesso modo, il numero 16 è composto da 5 terzine e una unità:
 
<math>16_{dieci}=5 \times 3^1 + 1 \times 3^0=51_{tre}</math>
 
Ma <math>51_{tre}\,</math> non è un numero valido perché un numero in base tre deve essere scritto usando solo le tre cifre: <math>0, \; 1, \; 2</math>
 
In effetti 5 è composto da una terzina più due unità e quindi 5 terzine corrisponderanno a una terzina di terzine più due terzine:
 
<math>15_{dieci}=1 \times 3^2 + 2 \times 3^1 + 0 \times 3^0=120_{tre}</math>
 
Si può sintetizzare il processo in una sequenza di divisioni intere, dove il divisore è la nuova base e si utilizzano i resti presi nell'ordine inverso:
 
[[Immagine:Mat_sup_basi_Cambiabase.png‎ ]]
 
Nell'immagine il numero è 15, il divisore (nonché base) è 3, i resti sono su sfondo giallo e i quozienti interi su sfondo azzurro.
 
== Numeri binari ==