Teoria dei segnali: differenze tra le versioni

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*[[Teoria dei segnali/Segnali nel tempo|Segnali nel tempo]]
 
==*[[Teoria dei segnali/Segnali in frequenza|Segnali in frequenza==]]
 
===Segnali continui aperiodici===
dato un segnale nel dominio del tempo $x(t)$ definiscono
le operazioni di trasformata $\TCF{x(t)} :
(\Re \rightarrow \Re) \rightarrow (\Re \rightarrow \Comp)$
e antitrasformata $\TCFI{X(f)}$ continua di Fourier
(o semplicemente \emph{trasformata di Fourier})
 
\begin{equation}
\TCF{x(t)} = X(f) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j(2 \pi f)t} dt
\end{equation}
 
\begin{equation}
\TCFI{X(f)} = x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) e^{j(2 \pi f)t} dt
\end{equation}
nei punti di discontinuità di $x(t)$, l'antitrasformata ha valore pari alla semisomma dei limiti destro e sinistro
 
Indichiamo con $X(f)$ la trasformata del segnale $x(t)$;
questa è una funzione a valori complessi che può essere scritta come due funzioni reali,
in modulo $A(f)$ e fase $\theta(f)$ tali che
\begin{equation}
X(f) = A(f) \e{j\theta(f)} \phantom{30}
A(f) = \mid X(f) \mid \phantom{3} , \phantom{3} \theta(f) = \angle X(f)
\end{equation}
oppure come parte reale $R(f)$ e parte immaginaria $I(f)$;
\begin{equation}
X(f) = R(f) + jI(f) \phantom{30}
R(f) = \Re\{X(f)\} \phantom{3} , \phantom{3} I(f) = \Im\{X(f)\}
\end{equation}
 
====condizioni di trasformabilità}
Un segnale $x(t)$ è trasformabile se ha energia finita,
\begin{equation}
\intI \mid x(t) \mid ^{2} dt < +\infty
\end{equation}
oppure se è assolutamente sommabile e ha un numero finito di discontinuità e di massimi e minimi in ogni intervallo
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
\intI \mid x(t) \mid dt < \infty \\
\mbox{discontinuità, massimi e minimi finiti in ogni intervallo} \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
 
 
====Trasformate dei segnali più comuni}
\begin{itemize}
\item
Impulso rettangolare
\begin{equation}
\TCF{A \rect{t}{\tau}} = \tau A \sinc (f\tau)
\end{equation}
 
\item
Impulso triangolare
\begin{equation}
\TCF{A \tri{t}{\tau}} = \tau A \sinc^{2} (f \tau)
\end{equation}
 
\item
Esponenziale unilatero
\begin{equation}
\TCF{\e{\frac{t}{\tau}}\gra{t}}
= \frac{\tau}{1 + j(2 \pi f)\tau}
= \frac{\tau} {\sqrt{1+(2\pi f \tau)^{2}}} \e{-\tan^{-1}2\pi f \tau}
\end{equation}
 
\item
Esponenziale bilatero
\begin{equation}
\TCF{\e{\frac{\mid t \mid}{\tau}}\gra{t}} = \frac{2\tau}{1 + (2\pi f\tau)^{2}}
\end{equation}
\end{itemize}
 
le trasformate di segnali a potenza finita possono essere ricavate in funzione della delta di Dirac:
\begin{itemize}
\item
delta di Dirac
\begin{equation}
\TCF{\delta(t)} = 1
\end{equation}
 
\item
Costante
\begin{equation}
\TCF{A} = A\delta{t}
\end{equation}
 
\item
Esponenziale complesso
\begin{equation}
\TCF{\e{j 2 \pi f_{0} t}} = \delta(f - f_{0})
\end{equation}
 
\item
Cosinusoide
\begin{equation}
\TCF{\cos (2 \pi f_{0} t)} = \frac{\delta(f - f_{0}) + \delta(f + f_{0})}{2}
\end{equation}
 
\item
Sinusoide
\begin{equation}
\TCF{\sin (2 \pi f_{0} t)} = \frac{\delta(f - f_{0}) - \delta(f + f_{0})}{2j}
\end{equation}
 
\item
Segno
\begin{equation}
\TCF{\sgn{t}} = \frac{1}{j \pi f}
\end{equation}
(si ricava imponendo
$\sgn{x} = \lim_{a \rightarrow 0} \e{-ax}\gra{x} - \e{ax}\gra{-x}$
e quindi calcolando la trasformata e poi passando al limite)
 
\item
Gradino unitario
\begin{equation}
\TCF{\gra{t}} = \frac{\delta(f)}{2} + \frac{1}{j 2 \pi f}
\end{equation}
\end{itemize}
 
 
 
 
===Segnali continui periodici}
Se un segnale $x(t)$ è periodico di periodo $T_{p}$
si definiscono le operazioni di trasformata
$\TSF{x(t)} : (\Re \rightarrow \Re) \rightarrow (\Int \rightarrow \Comp)$
e antitrasformata serie di Fourier $\TSFI{X(kf_{p})}$
che consentono di scomporre un segnale periodico in una somma di sinusoidi con frequenze multiple della \emph{frequenza fondamentale} $f_{p} = 1/T_{p}$
 
\begin{equation}
X(k f_{p}) = \TSF{x(t+pT_{p})} = \frac{1}{T_{p}} \int_{-T/2}^{+T/2} x(t) \e{-j(2 \pi f_{p}k) t} dt
\end{equation}
 
\begin{equation}
x(t + pT_{p}) = \TSFI{X(k f_{p})} = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(kf_{p}) \e{j(2 \pi f_{p}k) t}
\end{equation}
 
dove $k \in \Int$;
la trasformata può anche essere vista come una sequenza numerica,
ovvero come un vettore di valori complessi $X[k] = X(kf_{p})$
 
\begin{displaymath}
x(t) = A(0) + 2 \sum_{k=1}^{+\infty} A(kf_{p}) \cos\big( 2 \pi f_{p} k t + \theta(kf_{p}) \big)
\end{displaymath}
 
====Trasformate dei segnali più comuni}
\begin{itemize}
\item
Treno di delta
\begin{equation}
\TSF{\sumI{p} \delta(t - pT_{p})} = \frac{1}{T_{p}} \sumI{k} \e{-j 2\pi f_{p}}
\end{equation}
\end{itemize}
 
 
 
===Segnali discreti}
La trasformata di Fourier di un segnale a tempo discreto è detta
\emph{trasformata discreta di Fourier}
ed è periodica di periodo $f_{s} = 1/T_{s}$ (\emph{frequenza di segnalazione})
 
\begin{equation}
X(f + pf_{s}) = \TDF{x(n T_{s})}
= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n T_{s}) \e{-j(2 \pi f) n T_{s}}
\end{equation}
 
\begin{equation}
x(n T_{s}) = \TDFI{X(f+pf_{s})}
= T_{s} \int_{[f_{s}]} X(f) \e{j(2 \pi f) n T_{s}} df
\end{equation}
 
La trasformata di Fourier di un segnale discreto definito su un intervallo limitato $n \in [0 \cdots N-1]$,
ovvero di una sequenza finita
oppure di una sequenza periodica di periodo $N$
(considerando la sequenza finita ripetuta per intervalli $N$),
è detta \emph{trasformata finita di Fourier}
(anche se spesso anche questa è chiamata trasformata discreta di Fourier)
\begin{equation}
X[k + pN] = \TFF{x[n + pN]}
= \sum _{n=0} ^{N-1} x[n] \e{-\frac{j 2 \pi n}{N} k}
\end{equation}
\begin{equation}
x[n + pN] = \TFFI{X[k + pN]}
= \frac{1}{N} \sum _{k=0} ^{N-1} X[k] \e{\frac{j 2 \pi k}{N} n}
\end{equation}
Esistono algoritmi che consentono di calcolare la trasformata finita di fourier di una sequenza di lunghezza $N$ con complessità dell'ordine di $N \log N$
(\emph{fast Fourier trasform} o FFT),
$N$ è generalmente una potenza di $2$
e per il calcolo della TFF si usano comuni calcolatori digitali
 
====Trasformate dei segnali più comuni}
\begin{itemize}
\item
Impulso rettangolare discreto
\begin{equation}
\TDF{\drect{n}{N}} = \frac{\sin (N \pi f NT_{c})}{\sin(\pi f N T_{c})}
\e{-j\pi(N-1)f N T_{c}}
\end{equation}
\end{itemize}
 
 
 
 
 
 
 
===Proprietà comuni delle trasformate}
Queste proprietà sono in generale valide per tutte le trasformate di Fourier;
si suppone $X(f) = \TF{x(t)}$
 
====Linearità}
La trasformata di Fourier è un operatore lineare
(per la linearità delle operazioni di integrazione e moltiplicazione per un esponenziale complesso),
il \emph{teorema della linearità} afferma che
la trasformata di una combinazione lineare di segnali è una combinazione lineare delle trasformate dei due segnali
\begin{equation}
\mbox{se} \phantom{5} x(t) = ax_{1}(t) + bx_{2}(t) \phantom{10}
\mbox{allora} \phantom{5} X(f) = aX_{1}(f) + bX_{2}(f)
\end{equation}
 
 
===Proprietà della trasformata continua===
Se $x(t)$ è un segnale aperiodico e $X(f) = \TCF{x(t)}$
 
$X(0)$ rappresenta l'ampiezza della componente continua (a frequenza nulla) del segnale
e quindi il suo valor medio (????)
\begin{equation}
\M_{x(t)} = X(0)
\end{equation}
 
====Trasformata di segnali reali}
Se il segnale $x(t)$ è \emph{reale}, allora
può essere espresso come somma di sinusoidi e cosinusoidi
e la sua trasformata gode della proprietà di simmetria hermitiana
\begin{displaymath}
R(f) = \intI x(t) \cos (2\pi f t) dt
\end{displaymath}
\begin{equation}
I(f) = \intI x(t) \sin (2\pi f t) dt
\end{equation}
\begin{displaymath}
X(f) = X^{*}(-f)
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
A(f) = A(-f) \phantom{3} , \phantom{3} \theta(f) = -\theta(-f)
\end{displaymath}
\begin{equation}
R(f) = R(-f) \phantom{3} , \phantom{3} I(f) = -I(-f)
\end{equation}
dove $R(f)$ è la parte pari del segnale,
$I(f)$ è la parte dispari,
$R(0)$ corrisponde alla componente continua
 
se $x(t)$ è \emph{reale e pari} allora
può essere espresso come somma di cosinusoidi
e la sua trasformata è reale e pari
\begin{displaymath}
X(f) = R(f) = A(f) = 2 \int _{0} ^{+\infty} x(t) \cos (2\pi f t) dt
\end{displaymath}
\begin{equation}
I(f) = 0 \phantom{30} \theta(f) = 0
\end{equation}
\begin{equation}
X(f) = X(-f)
\end{equation}
 
se $x(t)$ è \emph{reale e dispari} allora
può essere espresso come somma di sinusoidi
e la sua trasformata è immaginaria pura e dispari
\begin{displaymath}
X(f) = -I(f) = jA(f) = -j 2 \int _{0} ^{+\infty} x(t) \sin (2\pi f t) dt
\end {displaymath}
\begin{equation}
R(f) = 0 \phantom{30}
\theta(f) = \left\{ \begin{array}{cl}
\pi & \mbox{per $f>0$} \\
-\pi & \mbox{per $f<0$} \\
\end{array} \right.
\end{equation}
\begin{equation}
X(f) = -X(-f)
\end{equation}
 
====Teorema della dualità}
La trasformata della trasformata di un segnale
(considerando quest'ultima nel dominio del tempo con $t$ scambiato con $f$)
è uguale all'opposto del segnale
(\emph{teorema della dualità})
\begin{equation}
\mbox{se} \phantom{5}
X(t) = \TCF{x(f)} \phantom{10}
\mbox{allora} \phantom{5}
\TCF{X(t)} = x(-f)
\end{equation}
 
====Teorema del cambiamento di scala}
Se si riscala l'asse dei tempi di un fattore $\alpha \in \Re$ la trasformata viene riscalata di un fattore inverso e ne viene variata l'ampiezza
(\emph{teorema del cambiamento di scala})
\begin{equation}
\mbox{se} \phantom{5}
x_{2}(t) = \alpha x_{1}(\alpha t) \phantom{10}
\mbox{allora} \phantom{5}
X_{2}(f) = \frac{1}{\mid\alpha\mid} X_{1}\left(\frac{f}{\alpha}\right)
\end{equation}
 
====Teorema del ritardo}
La trasformata di un segnale ritardato di un tempo $t_{r}$
ha lo stesso spettro di ampiezza
e spettro di fase variato di un fattore lineare
(\emph{teorema del ritardo})
\begin{equation}
\mbox{se} \phantom{5}
x_{2}(t) = x_{1}(t - t_{r}) \phantom{10}
\mbox{allora} \phantom{5}
X_{2}(f) = X_{1}(f) \e{-j2\pi f t_{r}}
\end{equation}
da notare che se il segnale è periodico e il ritardo $t_{r}$ è multiplo del periodo,
allora la trasformata rimane invariata
 
====Teorema della traslazione in frequenza}
Se si trasla lo spettro di una frequenza $f_{r}$, si ottiene la trasformata del segnale originario moltiplicato per un esponenziale complesso
(\emph{teorema della traslazione in frequenza}
\begin{equation}
\mbox{se} \phantom{5}
X_{2}(f) = X_{1}(f - f_{r}) \phantom{10}
\mbox{allora} \phantom{5}
x_{2}(t) = x_{1}(t) \e{j2\pi f_{r} t}
\end{equation}
 
====Teorema della modulazione}
La trasformata di un segnale moltiplicato per una cosinusoide con frequenza fondamentale molto maggiore della banda del segnale è un segnale passa-banda centrato sulle frequenze della cosinusoide (\emph{teorema della modulazione})
\begin{equation}
\mbox{se} \phantom{5}
x_{2}(t) = x_{1}(t)\cos(2 \pi f_{p} t) \phantom{10}
\mbox{allora} \phantom{5}
X_{2}(f) = X_{1}(f) \conv \frac{\delta(f-f_{p}) + \delta(f+f_{p})}{2}
\end{equation}
 
====Teoremi della derivazione e integrazione}
La trasformata della derivata di un segnale è pari alla trasformata del segnale per $j2\pi f$
(\emph{teorema della derivazione})
\begin{equation}
\mbox{se} \phantom{5}
x_{2}(t) = \frac{dx_{1}(t)}{dt} \phantom{10}
\mbox{allora} \phantom{5}
X_{2}(f) = j2\pi f X_{1}(f)
\end{equation}
esiste anche il teorema inverso
(\emph{teorema dell'integrazione})
che consente di valutare la trasformata dell'integrale di un segnale
\begin{equation}
\mbox{se} \phantom{5}
x_{2}(t) = \int _{-\infty} ^{t} x_{1}(\tau) d\tau \phantom{10}
\mbox{allora} \phantom{5}
X_{2}(f) = \left. \frac{X_{1}(f)}{j2\pi f} \right| _{f \not= 0}
+ \frac{X_{1}(0)}{2} \delta(f)
\end{equation}
 
====Teorema della convoluzione}
La trasformata della convoluzione di due segnali è pari al prodotto delle due trasformate
(\emph{teorema della convoluzione})
\begin{equation}
\mbox{se} \phantom{5}
x(t) = x_{1}(t) \conv x_{2}(t) \phantom{10}
\mbox{allora} \phantom{5}
X(f) = X_{1}(f) X_{2}(f)
\end{equation}
 
====Teorema del prodotto}
La trasformata del prodotto di due segnali è pari alla convoluzione delle trasformate
(\emph{teorema del prodotto})
\begin{equation}
\mbox{se} \phantom{5}
x(t) = x_{1}(t) x_{2}(t) \phantom{10}
\mbox{allora} \phantom{5}
X(f) = X_{1}(f) \conv X_{2}(f)
\end{equation}
 
====Teorema della correlazione}
La trasformata della correlazione di due segnali è pari al prodotto della trasformata del primo segnale per la trasformata coniugata del secondo
(\emph{teorema della correlazione})
\begin{equation}
\mbox{se} \phantom{5}
x(t) = x_{1}(t) \conv x_{2}(-t) \phantom{10}
\mbox{allora} \phantom{5}
X(f) = X_{1}(f) X_{2}^{*}(f)
\end{equation}
 
 
 
 
===Proprietà della trasformata serie}
Se $x(t) = x(t+iT_{p})$ è un segnale periodico
e $X[k]= X(kf_{p}) = \TSF{x(t+iT_{p})}$
 
$X[0]$ rappresenta l'ampiezza della componente continua (a frequenza nulla) del segnale
e quindi il suo valor medio
\begin{equation}
\M_{x(t)} = X[0]
\end{equation}
 
 
===Proprietà della trasformata finita}
 
====Teorema della convoluzione ciclica}
La trasformata della convoluzione ciclica di due segnali è pari al prodotto delle due trasformate
(\emph{teorema della convoluzione ciclica})
\begin{equation}
\mbox{se} \phantom{5}
x[n] = x_{1}[n] \cconv{N} x_{2}[n] \phantom{10}
\mbox{allora} \phantom{5}
X[k] = X_{1}[k] X_{2}[k]
\end{equation}
 
====Teorema del prodotto}
La trasformata del prodotto di due segnali è pari alla convoluzione ciclica delle trasformate
(\emph{teorema del prodotto})
\begin{equation}
\mbox{se} \phantom{5}
x[n] = x_{1}[n] x_{2}[n] \phantom{10}
\mbox{allora} \phantom{5}
X[k] = N X_{1}[k] \cconv{N} X_{2}[k]
\end{equation}
 
 
===Misc}
\begin{equation}
\frac{dX(f)}{dt} \Leftrightarrow -j2\pi tx(t)
\end{equation}
 
 
 
 
 
 
==Analisi dei segnali==