Teoria dei segnali/Segnali nel tempo: differenze tra le versioni

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Segnali nel tempo

===Segnali a tempo continuo} Un segnale a tempo continuo (o segnale continuo) è una funzione che associa ad ogni istante $t \in \Re$ un valore; $x(t) : \Re \rightarrow \Re$ è un \emph{segnale analogico}; un segnale a tempo continuo i cui valori sono tutti multipli interi di un valore minimo è detto \emph{segnale quantizzato}; se il segnale è definito solo in un intervallo di tempo limitato, allora si suppone nullo al di fuori di questo intervallo


====Proprietà elementari} \emph{Energia} normalizzata del segnale \begin{equation} E _{x(t)} = \intI \mid x(t) \mid ^{2} dt \end{equation}

\emph{Potenza} normalizzata del segnale \begin{equation} P _{x(t)} = \lim_{T \rightarrow +\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} \mid x(t) \mid ^{2} dt \end{equation} Un segnale a energia finita ha potenza nulla, un segnale a potenza finita ha energia infinita

Per \emph{normalizzato} si intende che la potenza e l'energia sono riferite convenzionalmente ad una impedenza unitaria (che quindi non appare nelle formule)

Valor medio del segnale \begin{equation} \M_{x(t)} = \lim_{T \rightarrow +\infty}

          \frac{1}{T}  \int_{-T/2}^{+T/2} \mid x(t) \mid dt

\end{equation}

Se un segnale ha durata limitata allora potenza, energia e valor medio sono valutati solo nell'intervallo di esistenza del segnale, invece che per tutti i valori reali del tempo (altrimenti avrebbero sempre valore nullo)

La \emph{durata} di un segnale corrisponde all'intervallo di tempo in cui il segnale è definito,

l'\emph{ampiezza} di un segnale corrisponte all'intervallo di valori che questo assume

Un segnale a tempo continuo è \emph{periodico} se esiste un valore minimo $T_{p}$ tale che $x(t) = x(t + iT_{p})$ per ogni $t$, $T_{p}$ è detto \emph{periodo} ed il suo inverso $f_{p} = 1/T_{p}$ è detta \emph{frequenza fondamentale}; se questa proprietà non è soddisfatta un segnale si dice in generale \emph{aperiodico}

La potenza di un segnale periodico può essere valutata più semplicemente come \begin{equation} P_{x(t + iT_{p})} = \frac{1}{T_{p}} \int _{[T_{p}]} \mid x(t) \mid ^{2} dt \end{equation} un segnale periodico (che non sia sempre nullo) ha energia infinita

Anche la valutazione del valore medio può essere semplificata \begin{equation} \M_{x(t + iT_{p})} = \frac{1}{T_{p}} \int _{[T_{p}]} x(t) dt \end{equation}


====Segnali comuni} Diamo qui le espressioni analitiche di alcuni segnali a tempo continuo che si ritrovano comuneemente.

\begin{itemize} \item Gradino unitario \begin{equation} \gra{t} = \left\{

       \begin{array}{ll}
       1 & \mbox{per $t > 0$} \\
       1/2 & \mbox{per $t = 0$} \\
       0 & \mbox{per $t < 0$}
       \end{array}

\right. \end{equation}

\item Segno \begin{equation} \sgn{t} = \left\{

       \begin{array}{ll}
       1 & \mbox{per $t > 0$} \\
       0 & \mbox{per $t = 0$} \\
       -1 & \mbox{per $t < 0$}
       \end{array}

\right. \end{equation}

\item Costante \begin{equation} x(t) = A \end{equation}

\item Esponenziale unilatero \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \e{-\frac{t}{\tau}} & \mbox{per $t \geq 0$} \\ 0 & \mbox{per t < 0} \\ \end{array} \right. \end{equation}

\item Esponenziale bilatero \begin{equation} \e{-\frac{\mid t \mid}{\tau}} \end{equation}

\item Esponenziale complesso \begin{equation} \e{-j 2 \pi f_{0} t} \end{equation}

\item Cosinusoide di frequenza $f_{p}$ e fase $\theta$ \begin{equation} \cos{(2\pi f_{p} t + \theta)} \end{equation}

\item Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata $\tau$ \begin{equation} \rect{t}{\tau} = \left\{

       \begin{array}{ll}
       1 & \mbox{per $\mid t \mid \leq \tau/2$} \\
       0 & \mbox{altrimenti}
       \end{array}

\right. \end{equation}

\item Impulso triangolare di ampiezza unitaria e durata $2\tau$ \begin{equation} \tri{t}{\tau} = \left( 1 - \frac{t}{\tau} \right) \rect{t}{2\tau} = \left\{

       \begin{array}{ll}
       \frac{1}{\tau} \left( 1 - \frac{\mid t \mid}{\tau} \right) 
              & \mbox{per $\mid t \mid \leq\tau$} \\
       0 & \mbox{altrimenti}
       \end{array}

\right. \end{equation}

\end{itemize}



Segnali a tempo discreto

Un \emph{segnale a tempo discreto} (o segnale discreto) è definito solo per alcuni valori del tempo multipli di un \emph{intervallo di segnalazione} $T_{s}$, il suo insieme di esistenza è quindi numerabile, $x(nT_{s}) : \Int \rightarrow \Re$

Si può sottintendere l'intervallo di segnalazione e trattare i segnali discreti come \emph{sequenze} numeriche $x[n]$ (ovvero come \emph{vettori} numerici)

Un segnale a tempo discreto i cui valori sono tutti multipli interi di un valore minimo è detto \emph{segnale digitale}


====Proprietà fondamentali} Alcune proprietà dei segnali discreti differiscono nella loro definizione dalle corrispondenti proprietà dei segnali continui

Energia normalizzata del segnale \begin{equation} E_{x[n]} = \sum _{n = -\infty} ^{+\infty} x^{2}[n] \end{equation}

Potenza normalizzata del segnale \begin{equation} P_{x[n]} = \lim_{N \rightarrow +\infty} \frac{1}{2N-1}

              \sum_{n = -N}^{+N} x^{2}[n]

\end{equation}

Un segnale a tempo discreto è \emph{periodico} se esiste un valore minimo $N_{p} \in \Int$ tale che $x[n] = x[n + iN_{p}]$ per ogni $n$

La potenza di un segnale periodico può essere valutata più semplicemente come \begin{equation} P_{x[n+iN_{p}]} = \frac{1}{N} \sum _{n = 0} ^{N-1} x^{2}[n] dt \end{equation}


====Segnali comuni} Se si restringe la definizione dei segnali a tempo continuo per $t = nT_{s}$, si ottengono i corrispondenti segnali a tempo discreto

\begin{itemize}

\item Gradino unitario a tempo discreto \begin{equation} \dgra{n} = \left\{

       \begin{array}{ll}
       1 & \mbox{per $n \geq 0$} \\
       0 & \mbox{per $n < 0$} \\
       \end{array}

\right. \end{equation}

\item Delta di Kroncker \begin{equation} \delta[n] = \left\{

       \begin{array}{ll}
       1 & \mbox{per $n = 0$} \\
       0 & \mbox{per $n \not= 0$} \\
       \end{array}

\right. \end{equation}


\item Segno \begin{equation} \dsgn{n} = \left\{

       \begin{array}{ll}
       1 & \mbox{per $n \geq 0$} \\
       -1 & \mbox{per $n < 0$} \\
       \end{array}

\right. \end{equation}

\item Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata $N$ \begin{equation} \drect{n}{N} = \left\{

       \begin{array}{ll}
       1 & \mbox{per $0 \leq n \leq N-1$} \\
       0 & \mbox{altrove}
       \end{array}

\right. \end{equation}

\end{itemize}