Teoria dei segnali: differenze tra le versioni

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==*[[Teoria dei segnali/Segnali nel tempo|Segnali nel tempo==]]
 
===Segnali a tempo continuo}
Un segnale a tempo continuo (o segnale continuo) è una funzione che associa ad ogni istante $t \in \Re$ un valore;
$x(t) : \Re \rightarrow \Re$ è un \emph{segnale analogico};
un segnale a tempo continuo i cui valori sono tutti multipli interi di un valore minimo è detto \emph{segnale quantizzato};
se il segnale è definito solo in un intervallo di tempo limitato, allora si suppone nullo al di fuori di questo intervallo
 
 
====Proprietà elementari}
\emph{Energia} normalizzata del segnale
\begin{equation}
E _{x(t)} = \intI \mid x(t) \mid ^{2} dt
\end{equation}
 
\emph{Potenza} normalizzata del segnale
\begin{equation}
P _{x(t)} =
\lim_{T \rightarrow +\infty}
\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} \mid x(t) \mid ^{2} dt
\end{equation}
Un segnale a energia finita ha potenza nulla,
un segnale a potenza finita ha energia infinita
 
Per \emph{normalizzato} si intende che la potenza e l'energia sono riferite convenzionalmente ad una impedenza unitaria
(che quindi non appare nelle formule)
 
Valor medio del segnale
\begin{equation}
\M_{x(t)} = \lim_{T \rightarrow +\infty}
\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{+T/2} \mid x(t) \mid dt
\end{equation}
 
Se un segnale ha durata limitata allora potenza, energia e valor medio sono valutati solo nell'intervallo di esistenza del segnale, invece che per tutti i valori reali del tempo
(altrimenti avrebbero sempre valore nullo)
 
La \emph{durata} di un segnale corrisponde all'intervallo di tempo in cui il segnale è definito,
 
l'\emph{ampiezza} di un segnale corrisponte all'intervallo di valori che questo assume
 
Un segnale a tempo continuo è \emph{periodico} se esiste un valore minimo $T_{p}$ tale che $x(t) = x(t + iT_{p})$ per ogni $t$,
$T_{p}$ è detto \emph{periodo}
ed il suo inverso $f_{p} = 1/T_{p}$ è detta \emph{frequenza fondamentale};
se questa proprietà non è soddisfatta un segnale si dice in generale \emph{aperiodico}
 
La potenza di un segnale periodico può essere valutata più semplicemente come
\begin{equation}
P_{x(t + iT_{p})} = \frac{1}{T_{p}} \int _{[T_{p}]} \mid x(t) \mid ^{2} dt
\end{equation}
un segnale periodico
(che non sia sempre nullo)
ha energia infinita
 
Anche la valutazione del valore medio può essere semplificata
\begin{equation}
\M_{x(t + iT_{p})} = \frac{1}{T_{p}} \int _{[T_{p}]} x(t) dt
\end{equation}
 
 
====Segnali comuni}
Diamo qui le espressioni analitiche di alcuni segnali a tempo continuo che si ritrovano comuneemente.
 
\begin{itemize}
\item
Gradino unitario
\begin{equation}
\gra{t} =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $t > 0$} \\
1/2 & \mbox{per $t = 0$} \\
0 & \mbox{per $t < 0$}
\end{array}
\right.
\end{equation}
 
\item
Segno
\begin{equation}
\sgn{t} =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $t > 0$} \\
0 & \mbox{per $t = 0$} \\
-1 & \mbox{per $t < 0$}
\end{array}
\right.
\end{equation}
 
\item
Costante
\begin{equation}
x(t) = A
\end{equation}
 
\item
Esponenziale unilatero
\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{ll}
\e{-\frac{t}{\tau}} & \mbox{per $t \geq 0$} \\
0 & \mbox{per t < 0} \\
\end{array} \right.
\end{equation}
 
\item
Esponenziale bilatero
\begin{equation}
\e{-\frac{\mid t \mid}{\tau}}
\end{equation}
 
\item
Esponenziale complesso
\begin{equation}
\e{-j 2 \pi f_{0} t}
\end{equation}
 
\item
Cosinusoide di frequenza $f_{p}$ e fase $\theta$
\begin{equation}
\cos{(2\pi f_{p} t + \theta)}
\end{equation}
 
\item
Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata $\tau$
\begin{equation}
\rect{t}{\tau} =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $\mid t \mid \leq \tau/2$} \\
0 & \mbox{altrimenti}
\end{array}
\right.
\end{equation}
 
\item
Impulso triangolare di ampiezza unitaria e durata $2\tau$
\begin{equation}
\tri{t}{\tau} =
\left( 1 - \frac{t}{\tau} \right) \rect{t}{2\tau} =
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{\tau} \left( 1 - \frac{\mid t \mid}{\tau} \right)
& \mbox{per $\mid t \mid \leq\tau$} \\
0 & \mbox{altrimenti}
\end{array}
\right.
\end{equation}
 
\end{itemize}
 
 
 
 
===Segnali a tempo discreto===
Un \emph{segnale a tempo discreto} (o segnale discreto) è definito solo per alcuni valori del tempo multipli di un \emph{intervallo di segnalazione} $T_{s}$,
il suo insieme di esistenza è quindi numerabile,
$x(nT_{s}) : \Int \rightarrow \Re$
 
Si può sottintendere l'intervallo di segnalazione e trattare i segnali discreti come \emph{sequenze} numeriche $x[n]$
(ovvero come \emph{vettori} numerici)
 
Un segnale a tempo discreto i cui valori sono tutti multipli interi di un valore minimo è detto \emph{segnale digitale}
 
 
====Proprietà fondamentali}
Alcune proprietà dei segnali discreti differiscono nella loro definizione dalle corrispondenti proprietà dei segnali continui
 
Energia normalizzata del segnale
\begin{equation}
E_{x[n]} = \sum _{n = -\infty} ^{+\infty} x^{2}[n]
\end{equation}
 
Potenza normalizzata del segnale
\begin{equation}
P_{x[n]} = \lim_{N \rightarrow +\infty} \frac{1}{2N-1}
\sum_{n = -N}^{+N} x^{2}[n]
\end{equation}
 
Un segnale a tempo discreto è \emph{periodico} se esiste un valore minimo $N_{p} \in \Int$ tale che $x[n] = x[n + iN_{p}]$ per ogni $n$
 
La potenza di un segnale periodico può essere valutata più semplicemente come
\begin{equation}
P_{x[n+iN_{p}]} = \frac{1}{N} \sum _{n = 0} ^{N-1} x^{2}[n] dt
\end{equation}
 
 
====Segnali comuni}
Se si restringe la definizione dei segnali a tempo continuo per $t = nT_{s}$, si ottengono i corrispondenti segnali a tempo discreto
 
\begin{itemize}
 
\item
Gradino unitario a tempo discreto
\begin{equation}
\dgra{n} =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $n \geq 0$} \\
0 & \mbox{per $n < 0$} \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
 
\item
Delta di Kroncker
\begin{equation}
\delta[n] =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $n = 0$} \\
0 & \mbox{per $n \not= 0$} \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
 
 
\item
Segno
\begin{equation}
\dsgn{n} =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $n \geq 0$} \\
-1 & \mbox{per $n < 0$} \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
 
\item
Impulso rettangolare di ampiezza unitaria e durata $N$
\begin{equation}
\drect{n}{N} =
\left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{per $0 \leq n \leq N-1$} \\
0 & \mbox{altrove}
\end{array}
\right.
\end{equation}
 
\end{itemize}
 
==Segnali in frequenza==