Comunicazioni digitali/Sistemi analogico-digitali

Sistemi analogico-digitali

Sono sistemi che consentono la trasmissione di un segnale analogico con sistemi di trasmissione digitali

===Quantizzazione} Un segnale discreto $x(nT_{c})$ viene \emph{quantizzato} quando i suoi valori sono ricondotti ad un insieme finito di dimensione $Q$ (\emph{numero di livelli di quantizzazione}) di valori interi multipli di un valore base $\Delta$ (\emph{passo di quantizzazione})

in generale l'insieme di valori quantizzati è scelto simmetrico rispetto a 0 ed in numero pari; il quantizzatore è detto \emph{midriser quantizer} \begin{displaymath} x[n] \in \left\{ -\frac{Q-1}{2}\Delta ,

                -\frac{Q-3}{2}\Delta , \ldots ,
                -\frac{3}{2}\Delta , -\frac{1}{2}\Delta, 
                +\frac{1}{2}\Delta , +\frac{3}{2}\Delta ,
                \ldots , 
                +\frac{Q-3}{2}\Delta , +\frac{Q-1}{2}\Delta \right\} 

\end{displaymath} e gli intervalli di quantizzazione sono \begin{displaymath} x(nT_{c}) \in \left\{ \begin{array}{c} \left[ -\frac{Q}{2}\Delta , -\frac{Q-2}{2}\Delta \right] \\ \vdots \\ \left[ -2\Delta , -\Delta \right] \\ \left[ -\Delta , 0 \right] \\ \left[ 0 , \Delta \right] \\ \left[ \Delta , 2\Delta \right] \\ \vdots \\ \left[ \frac{Q-2}{2}\Delta , \frac{Q}{2}\Delta \right] \\ \end{array} \right. \end{displaymath}

se i valori sono scelti in numero dispari il quantizzatore è detto \emph{midtread quantizer} (tread è la faccia superiore dello scalino)

Il segnale quantizzato differisce dal segnale originario di un \emph{errore di quantizzazione} $\epsilon_{q}[n] = x[n] - x(nT_{c})$ che non è eliminabile e può essere ridotto aumentando il numero di livelli di quantizzazione

====Quantizzatore uniforme} Un quantizzatore è \emph{uniforme} se gli intervalli a cui deve appartenere il valore del segnale $x(nT_{c})$ per essere quantizzato ad un alore $x[n]$ sono della stessa dimensione, ovvero per un quantizzatore uniforme si ha \begin{displaymath} x(n-{0}T_{c}) \Rightarrow x[n_{0}] \phantom{10} \mbox{se} \phantom{10} \left| x(n-{0}T_{c}) - x[n_{0}] \right| < \frac{\Delta}{2} \end{displaymath} in questo modo valori del segnale campionato al di fuori di un \emph{intervallo di dinamica} $\left[ -\frac{Q}{2}\Delta , \frac{Q}{2}\Delta \right]$ di dimensioni $D_{u} = Q \Delta$ (\emph{dinamica del quantizzatore uniforme}) non hanno un corrispondente valore possibile del segnale quantizzato; si ha un \emph{errore di sovraccarico} ed in genere il valore del campione è supposto essere pari al valore estremo dell'intervallo.

\`E conveniente utilizzare quantizzatori uniformi quando ha probabilità uguale di trovarsi in ciascuno degli intervalli di quantizzazione (dinamica del segnale uniforme nella dinamica del quantizzatore); quando invece un segnale è distribuito in maniera non uniforme si utilizzano \emph{quantizzatori non uniformi}

====Quantizzatori non uniformi} Nel caso che un segnale abbia maggiore probabilità di assumere valori bassi piùttosto che valori elevati, il quantizzatore è scelto in modo che gli intervalli di quantizzazione per le ampiezze basse siano più stretti e quelli per le ampiezze alte siano più larghi; in questo modo n numero maggiore di valori del segnale quantizzato è dedicato a rappresentare valori bassi del segnale campionato, aumentando l'accuratezza della ricostruzione del segnale per piccole ampiezze e diminuendo l'accuratezza per grandi ampiezze (che sono supposte meno probabili)

Un quantizzatore non uniforme si può ottenere dalla serie di un \emph{compressore di dinamica} e di un quantizzatore uniforme; il compressore di dinamica varia l'ampiezza del segnale aumentando le ampiezze basse e diminuendo le ampiezze elevate secondo una funzione ingresso-uscita a forma di sigmoide

In fase di ricostruzione del segnale, il ricevitore deve essere preceduto da un \emph{decompressore} che svolge l'operazione inversa del compressore ricostruendo le ampiezze del segnale originario

Esistono due standard principali che stabiliscono la forma della funzione di ingresso-uscita del compressore; lo standard europeo (A-Law) prevede \begin{equation} \left| \frac{y}{y_{max}} \right| = \left\{ \begin{array}{cl} \frac{A \left| \frac{x}{x_{max}} \right| }{1 + \log A} & \mbox{per $\left| \frac{x}{x_{max}} \right| \leq \frac{1}{A} $}\\ \frac{1 + \log\left( A \left| \frac{x}{x_{max}} \right| \right)}{1 + \log A} & \mbox{per $\frac{1}{A} < \left| \frac{x}{x_{max}} \right| < 1$} \\ \end{array} \right. \end{equation} dove $A$ è un parametro che consente di variare il livello di compressione, che è nullo per $A=1$ ed aumenta incrementando $A$, in genere fino a circa $A=100$

lo standard americano ($\mu$-Law) prevede invece \begin{equation} \left| \frac{y}{y_{max}} \right| = \frac{\ln \left( 1+\mu \left| \frac{x}{x_{max}} \right| \right) }{\ln (1+\mu)} \end{equation} dove $\mu$ è il parametro che consente di variare il livello di compressione, che è nulla per $\mu = 0$, la funzione è scelta in modo tale che per $x$ piccolo sia quasi lineare e che per $x$ grande sia quasi logaritmica

===Sistemi PCM} Un sistema PCM (\emph{pulse code modulation}, modulazione ad impulsi codificati) converte un segnale analogico in ingresso in una sequenza di simboli codificati su $n_{b}$ bit che possono poi essere trasmessi con un qualsiasi sistema di trasmissione numerica e quindi riconvertiti in una replica simile al segnale originario

Un \emph{convertitore PCM} è composto da un filtro anti-aliasing $H_{aa}(f)$ passa basso che elimina le frequenze del segnale che non sono codificabili dal sistema, quindi da un campionatore e da un \emph{quantizzatore} che discretizza il valore dei campioni ad un insieme finito di valori multipli di un valore fondamentale; infine un codificatore traduce i campioni quantizzati in simboli binari utilizzando una codifica di Gray

Quando si va a ricostruire il segnale originario $x(t)$ con un interpolatore, non è possibile una ricostruzione esatta nemmeno con un interpolatore cardinale, in quanto i campioni trasmessi differiscono dal segnale originario dell'errore di quantizzazione; questo errore è causa di un \emph{rumore di quantizzazione} sul segnale ricostruito (che è un rumore additivo)

====Parametri caratteristici} \begin{itemize} \item il \emph{rapporto segnale - rumore di quantizzazione} $SQNR$ \item la \emph{probabilità di errore da sovraccarico} $Pr(SOV)$ \end{itemize}

====Dimensionamento del sistema} Il codificatore deve tradurre i $Q$ simboli del quantizzatore su $n_{b}$ bit, il numero di bit utilizzati dipende dal sistema di comunicazioni usato per la trasmissione, che avrà generalmente a disposizione una banda limitata $\B_{T-MAX}$ ed una efficenza in banda massima $\effb_{T-MAX}$; quindi visto che la frequenza del segnale campionato è $f_{c}$ si ha che \begin{equation} 2^{n_{b}} f_{c} < \B_{T-MAX} \effb_{T-MAX} \end{equation} è poi possibile, scelto $n_{b}$, diminuire l'efficenza in banda del sistema o la banda occupata

Se si modellizza l'errore di quantizzazione come un processo aleatorio stazionario con distribuzione di probabilità $f_{\epsilon-{q}}(\epsilon_{q})$ si può valutare la potenza del rumore di quantizzazione: \begin{equation} N_{q} = \Esp{\epsilon_{q}^{2}[n]}

     = \intI \epsilon_{q}^{2} f_{\epsilon_{q}}(\epsilon_{q})

\end{equation} che supponendo che l'errore abbia distribuzione di probabilità uniforme nell'intervallo di dinamica del quantizzatore è \begin{equation} N_{q-unif} = \frac{\Delta^{2}}{12} \end{equation}

il rapporto tra la potenza del rumore di quantizzazione e la potenza del segnale utile è detto SQNR (signal to quantization noise ratio) \begin{equation} SQNR = \frac{\Esp{x^{2}(t)}}{\Esp{\epsilon_{q}^{2}[n]}} \end{equation} che supponendo che anche il segnale $x(t)$ sia un processo aleatorio uniforme nella dinamica del quantizzatore, quindi con potenza $S_{u} = \frac{D^{2}}{12}$, vale \begin{equation} SQNR_{u} = Q^{2} = 20n_{b} \log_{10} \sqrt{Q} \phantom{10} \mbox{dB} \end{equation} se il segnale era codificato in binario su $n_{b}$ bit

Nel caso di sistemi di trasmissione dell'audio, per non perdere l'intellegibilità del parlato, si deve avere un $\sqrt \geq 30 \phantom{3} \mbox{dB}$

si dice \emph{rumore granulare} il rumore che si ha quando la variazione del segnale è minore di $\Delta$ ed il segnale ricostruito presenta delle oscillazioni che non sono presenti nel segnale di ingresso

====Trasmissioni DPCM} Un sistema DPCM è equivalente ad un sistema PCM in cui si trasmette la variazione quantizzata di un campione del segnale in ingresso rispetto al precedente

Il segnale in ingresso al quantizzatore $d(nT_{c})$ è ricavato dalla differenza tra il segnale in ingresso ed il campione quantizzato precedente ritardato di un tempo $T_{c}$; $d(nT_{c}) = x(nT_{c}) - x[n-1]$

Il vantaggio che si ha è che normalmente la rapidità di variazione del segnale in ingresso è limitata, quindi i valori assunti dal segnale differenza sono con maggiore probabilità piccoli ed è possibile utilizzare un quantizzatore con una dinamica minore e circa la metà dei bit per la trasmissione del segnale, oppure avere un rumore di quantizzazione più basso.

Un miglioramento ulteriore si ha con il sistema ADPCM (\emph{adaptive DPCM}) in cui i livelli di quantizzazione sono adattati al segnale in ingresso in ogni istante; è possibile in questo modo dimezzare ulteriormente il numero di bit di codifica.

===Modulatore delta} Un sistema di trasmissione a modulazione delta è costituito da un quantizzatore a due soli livelli $\pm \Delta$; il sistema trasmette impulsi a gradino di ampiezza $\Delta$, la somma degli impulsi trasmessi viene sottratta al segnale in ingresso al quantizzatore

\begin{equation} d[n] = \left\{ \begin{array}{cl} \Delta & \mbox{se $m(nT_{c}) - m[n-1] > 0$} \\ -\Delta & \mbox{se $m(nT_{c}) - m[n-1] < 0$} \\ \end{array}\right. \end{equation}

Si possono avere delle distorsioni sul segnale se questo ha pendenza troppo elevata o se presenta delle zone piatte.

Si dice \emph{rumore da sovraccarico} il rumore causato dalla non corretta trasmissione di un segnale che ha pendenza troppo elevata rispetto ad un treno di gradini di ampiezza $\Delta$ ogni tempo $T_{c}$, ovvero se \begin{equation} \left| \frac{dx(t)}{dt} \right| > \frac{\Delta}{T_{c}} \end{equation} dove la derivata massima di un segnale è la pendenza della cosinusoide corrisponedente alla frequenza più elevata $f_{x(t) - MAX}$ appartenente alla banda del segnale in ingresso, ovvero \begin{equation} f_{x(t) - MAX} > \frac{\Delta}{2 \pi T_{c} |X(f_{x(t) - MAX})|} \end{equation} supponendo che il modulo del segnale in ingresso in corrispondenza della frequenza massima sia sufficentemente elevato

La banda utilizzata da un sistema a modulazione delta è molto più elevata di quella richiesta da un sistema PCM