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==*[[Comunicazioni digitali/Sistemi di comunicazioni numeriche|Sistemi di comunicazioni numeriche==]]
Un sistema di comunicazione può essere modellizzato come una serie di sistemi che chiamiamo:
\begin{enumerate}
\item
Sorgente
\item
Trasmettitore
\item
Canale
\item
Ricevitore
\item
Destinatario
\end{enumerate}
Scopo del sistema di comunicazioni è di trasmettere inalterata l'informazione,
codificata in alfabeto binario,
dalla sorgente al destinatario
Noi tratteremo i sistemi di comunicazioni numerica, in cui l'informazione da trasmettere è composta da successioni di simboli
===Sorgente}
Consiste in un emettitore di \emph{simboli} $a_{i}$
appartenenti ad un \emph{alfabeto} \\
$A = \{A_{1} , A_{2} , \cdots , A_{M_{A}} \}$
di dimensione finita $M_{A}$
i cui elementi supponiamo essere numeri reali
Se simboli opposti sono numeri opposti
($A_{1} = - A_{M_{A}} , A_{2} = - A_{M_{A}-1} , \cdots$)
i simboli sono detti \emph{antipodali}
I simboli sono emessi con una cadenza fissata $T_{s}$
che è detta \emph{intervallo di segnalazione};
l'inverso $R = 1/T_{s}$ è la \emph{velocità di segnalazione} (o symbol rate)
In ingresso al trasmettitore arriva quindi una successione di simboli che è rappresentabile come un processo stocastico (che supponiamo stazionario)
i cui valori ad ogni istante hanno una certa probabilità di essere uno qualsiasi dei simboli dell'alfabeto
(se le probabilità sono uguali i simboli sono detti \emph{equiprobabili} e
$Pr(A_{1..M_{A}}) = 1 / M_{A}$ )
che comincia all'istante $t_{1}$
chiamiamo questo processo \emph{segnale di ingresso}
e lo definiamo attraverso la probabilità di ogni simbolo dell'alfabeto
\begin{equation}
a(t) = \sum _{i = -\infty} ^{+\infty} a_{i} \delta (iT_{s})
\end{equation}
\begin{displaymath}
a_{i} =
\left\{ \begin{array}{ll}
A_{1} & Pr(A_{1}) \\
A_{2} & Pr(A_{2}) \\
\vdots & \vdots \\
A_{M_{A}} & Pr(A_{M_{A}}) \\
\end{array} \right.
\end{displaymath}
in cui l'i-esimo simbolo è trasmesso all'istante $t = iT_{s}$
l'alfabeto utilizzato tipicamente è
\begin{displaymath}
-(M-1) , -(M-3), \ldots , -5, -3, -1, 1 , 3 , 5 , M-3, M-1
\end{displaymath}
Il segnale di ingresso è quindi una successione di delte di Dirac di energia pari al valore del simbolo trasmesso
\`E possibile associare alla successione di simboli una densità di probabilità e trattarla come un processo aleatorio
===Trasmettitore}
Consiste in un sistema che associa ad ogni simbolo ricevuto $a(t_{i})$
una forma d'onda
(che deve essere nota anche al ricevitore)
ovvero un segnale continuo $s(t_{i})$
che viene trasmesso al ricevitore attraverso il canale.
Il segnale deve essere in una forma adatta alla trasmissione nel canale
ed in particolare può essere passa-banda o passa-basso
Un trasmettitore può essere preceduto da un \emph{codificatore} che può variare l'alfabeto dei simboli per la trasmissione
(in questo caso si usa sempre un \emph{codificatore di Gray},
che associa simboli binari a simboli m-ari in modo che ad un errore tra simboli m-ari adiaceenti corriasponda un solo bit di differenza),
oppure codificare l'informazione in maniera ridondante o compressa.
Il sistema che associa una forma d'onda al simbolo può essere descritto
dalla sua risposta impulsiva $g(t)$
o dalla sua funzione di trasferimento $G(f)$
Il sistema che effettua la modulazione in segnale passa banda centrato alla frequenza $f_{p}$ può essere descritto
con un moltiplicatore per una cosinusoide $2 \cos 2 \pi f_{p} t$
A volte viene inserito un filtro $H_{T}(f)$
all'uscita del trasmettitore allo scopo di limitare la banda del segnale trasmesso.
La funzione di trasferimento del trasmettitore si indica con $G_{T}(f)$
oppure con la sua risposta impulsiva $g_{T}(t)$
il segnale trasmesso si indica con $s_{T}(t)$
====Parametri della trasmissione}
si indica con
\begin{itemize}
\item
$E_{g_{T}}$ l'energia dell'impulso
\item
$E_{0}$ l'energia dell'impulso di energia minore
\item
$\overline{E}$ l'energia media per simbolo, rispetto alla loro probabilità
\end{itemize}
===Canale}
Un canale è schematizzato da un filtro $C(f)$ o $c(t)$ lineare
passa-banda (ad esempio se il canale è l'etere)
o passa-basso (in caso ad esempio di cavi elettrici, guide d'onda \dots)
e da un sistema che inserisce un disturbo nel segnale, schematizzato da un sommatore (o da un moltiplicatore a volte) con un segnale di rumore $w(t)$.
Noi supponiamo che
il canale sia tempoinvariante (oltre che lineare)
e che il rumore sia gaussiano bianco additivo (o AGWD) a densità spettrale di potenza costante e pari a $N_{0}/2$
Normalmente un canale attenua il segnale che trasmette e introduce un ritardo di tempo, quindi
\begin{equation}
C(f) = A_{can} \delta(t - t_{can})
\end{equation}
può anche introdurre delle distorsioni non lineari oppure causare interferenze nel segnale.
Un canale ideale ha $C(f) = 1$ e non modifica in alcun modo il segnale
===Ricevitore}
Indichiamo con $s_{R}(t)$ il segnale ricevuto
Un ricevitore è composto da un \emph{filtro di prerivelazione}
$H_{R}(f)$ passa basso
che limita il rumore nella banda del segnale ed elimina le componenti ad alta frequenza del segnale ricevuto
Se il segnale era passa-banda, il filtro è seguito da un demodulatore che effettua l'operazione inversa del modulatore nel trasmettitore,
il sistema che effettua la demodulazione del segnale passa banda centrato alla frequenza $f_{0}$ può essere descritto
con un moltiplicatore per una cosinusoide $\cos (2 \pi f_{0} t + \Theta)$
che in frequenza corrisponde alla convoluzione per
$\frac{\delta (f-f_{0}) + \delta (f+f_{0})}{2}$
Il rumore additivo $w(t)$ introdotto dal canale filtrato dal filtro di prerivelazione arriva al demodulatore come un segnale passa-banda con densità spettrale di potenza del tipo
\begin{displaymath}
S_{w(t) \conv h_{R}(t)} =
\frac{N_{0}}{2} \left( \rect{f+f_{0}}{B} + \rect{f-f_{0}}{B} \right)
\end{displaymath}
Questo sistema da in uscita molte repliche del segnale a diverse frequenze, ma solo la componente in banda base è importante perché il filtro in ricezione elimina le componenti in alta frequenza;
Sono possibili anche dei \emph{ricevitori non coerenti} che consentono di ignorare la fase del segnale
Il \emph{rapporto segnale-rumore} $\stnr$ (o STNR: signal to noise ratio)
è il rapporto tra la potenza del segnale utile e la potenza del rumore;
\begin{equation}
\stnr = \frac{P_{x}}{P_{w(t)}}
\end{equation}
si misura in decibel
Si indica con $s_{C}$ il segnale da campionare
Il segnale filtrato viene quindi campionato ad istanti
$t_{r} + iT_{s}$
ottenendo una successione di valori reali
$z_{i}$
che corrisponderebbero idealmente ai simboli trasmessi,
ma che sono differenti a causa
del rumore introdotto dal canale,
dell'interferenza intersimbolica tra il segnale di un simbolo e del successivo,
e di altri fenomeni
I valori $z_{i}$ sono quindi passati ad un \emph{decisore}
che ha il compito di associare ad essi un simbolo dell'alfabeto $A$ utilizzato in trasmissione e di passare il risultato al destinatario, indichiamo con
$b_{i}$ i simboli decisi
Il decisore associa ad ogni valore il simbolo che ha valore più prossimo
(criterio di decisione a minima distanza)
===Destinatario===
Il destinatario legge i simboli dal ricevitore,
se questi corrispondono a quelli trasmessi ($b_{i} = a_{i}$),
allora si ha corretta ricezione,
altrimenti si è verificato un errore ($b_{i} \not= a_{i}$).
La \emph{probabilità di errore} su simbolo si indica con $Pr(e)$
ed è in genere data in termini delle funzioni distribuzione standard $\Phi(x)$ o $Q(x)$;
se si devono confrontare due probabilità di errore, in genere il termine significativo è l'argomento di queste funzioni rispetto ad eventuali coefficenti moltiplicativi
===Parametri caratteristici di un sistema}
\begin{itemize}
\item
$T_{b}$ il tempo di trasmissione per un bit
\item
$E_{b}$ l'energia media per bit trasmesso
\item
$BER$ la \emph{bit error rate}, la probabilità di errore su simboli apppartenenti ad un alfabeto binario
\item
$\effb$ la \emph{efficenza in banda} il rapporto tra la bit-rate e la banda utilizzata
\begin{equation}
\effb = \frac{R}{\B} = \frac{1}{T_{b}\B}
\end{equation}
\end{itemize}
==Sistemi di comunicazione PAM in banda base==
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