Fondamenti di automatica: differenze tra le versioni

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*[[Fondamenti di automatica/Metodi di analisi|Metodi di analisi]]
 
==*[[Fondamenti di automatica/Modelli di sistemi comuni|Modelli ==di sistemi comuni]]
 
=== Amplificatore ===
Consiste in un unico elemento che ha guadagno costante
<math>
G_{amp}(s) = k
</math>
 
=== Ritardo di tempo ===
Un \emph{sistema ritardo di tempo}
\vedilibro{rif:b}{105, sezione 4.2.5: Ritardo di tempo}
\vedilibro{rif:k}{189, sezione 4-8: Systems with transportation lag}
è usato per rappresentare la non immediata risposta dei sistemi reali.
Un sistema che ritarda la risposta di <math>T_{d}</math> secondi è rappresentato dalla funzione di trasferimento
<math>
G_{rit}(s) = e^{-T_{d}s}
</math>
Un ritardo puro non introduce variazioni di ampiezza ma diminuisce linearmente la fase al crescere di <math>\omega</math>
\vedilibro{rif:k}{881, Bode plot: Pure time delay}
ed ha effetti negativi sulla stabilità di un sistema in anello chiuso
 
\`E possibile approssimare il ritardo con funzioni razionali fratte
scrivendo la funzione esponenziale come serie di Mc Laurin se <math>T_{d}</math> è sufficentemente piccolo
<math>
e^{-T_{d}s} = \frac{1}{1 + T_{d}s + T_{d}^{2}s^{2}/2 + \cdots}
</math>
 
=== Integratore ===
Un \emph{sistema integratore}
\vedilibro{rif:b}{sezione 4.3.3: Integratore}
ha un solo polo nell'origine
<math>
G_{int}(s) = \frac{1}{s}
</math>
 
=== Derivatore ===
Un \emph{sistema derivatore}
\vedilibro{rif:b}{107, sezione 4.3.2: Derivatore ideale}
ha un solo zero e nessun polo,
<math>
G_{der}(s) = 1 + s\tau = z(s+z)
</math>
non è quindi un sistema causale,
ma esistono sistemi reali che si comportano approssimativamente come derivatori ideali,
ovvero sistemi del primo ordine (o di ordine superiore) con poli dominanti a frequenze elevate ed un solo zero a bassa frequenza
 
=== Sistemi del primo ordine ===
Un \emph{sistema del primo ordine} ha un solo polo e al massimo uno zero
\begin{eqnarray}
G_{I} = \frac{1 + \tau s}{1 + T s} = \frac{z}{p} \phantom{2} \frac{s+z}{s+p}
\nonumber\\
G_{I} = \frac{1}{1 + T s} = \frac{1}{p(s+p)}
\end{eqnarray}
Dove <math>T</math> è detto \emph{tempo caratteristico} del sistema
 
==== Risposta al gradino ====
La risposta al gradino di un sistema del primo ordine generico
\vedilibro{rif:b}{112, sezione 4.4.4: Sistemi del primo ordine}
può essere calcolata esplicitamente;
ha un andamento esponenziale
<math>y(t) = 1 + (\tau/T - 1) e^{t/T}</math>;
la velocità di risposta del sistema dipende dalla sua costante di tempo <math>T</math>,
il transitorio si può considerare esaurito dopo circa cinque costanti di tempo;
la presenza di uno zero influenza il valore iniziale della risposta e può causare una sovraelongazione iniziale se <math>\tau > T</math>
 
I parametri della risposta al gradino sono:
\begin{itemize}
\item
tempo di salita:
<math>t_{r} = 2.2 T</math>
\item
tempo di ritardo:
<math>t_{d} = 0.7 T</math>
\item
tempo di assestamento
<math>t_{s} = 3 T</math>
\end{itemize}
 
=== Sistemi del secondo ordine ===
Consideriamo un sistema che abbia due poli e nessuno zero.
Sono di particolare interesse solo i sistemi con poli stabili complessi coniugati;
ci sono altri sistemi con due poli, ma o sono instabili oppure si possono ricondurre a somma di sistemi del primo ordine.
 
<math>
G_{II}(s) = \frac{\omega _{n}^{2}}{
s^{2} + 2 \xi \omega _{n} + \omega _{n}^{2}
}
= \frac{1}{\frac{s^{2}}{\omega_{n}^{2}}+2\frac{\xi s}{\omega_{n}}+1}
</math>
Se i poli sono complessi coniugati negativi stabili, questi valgono
<math>
p_{1},p_{2} = \xi\omega_{n} \pm j\omega_{n}\sqrt{1 - \xi^{2}}
= \alpha \pm j\omega
</math>
 
==== Parametri caratteristici ====
I simboli usati nella funzione di trasferimento del sistema di secondo grado precedente significano:
\vedilibro{rif:k}{390, figura 7.15}
\begin{itemize}
\item
<math>\omega _{n}</math>:
pulsazione naturale non smorzata, modulo dei poli se questi sono complessi coniugati
\vedilibro{rif:b}{108, sezione 4.3.5: Pulsazione naturale e smorzamento}
\item
<math>\xi</math>:
smorzamento, opposto del coseno della fase dei poli se questi sono complessi coniugati negativi
\item
<math>\alpha = \xi \omega_{n}</math>:
fattore di smorzamento, parte reale dei poli
\item
<math>\omega = \omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}}</math>:
pulsazione smorzata, parte immaginaria dei poli
\end{itemize}
 
il tipo dei poli dipende dallo smorzamento <math>\xi</math>
\begin{itemize}
\item
<math>\xi \le -1</math>: due poli reali negativi, se <math>\xi = -1</math> coincidenti: sistema instabile
\item
<math>-1 < \xi < 0</math>: due poli complessi coniugati negativi: sistema instabile
\item
<math>\xi = 0</math>: due poli immaginari puri: sistema criticamente smorzato
\item
<math>0 < \xi < 1</math>: due poli positivi complessi coniugati stabili: sistema smorzato (è questo il caso di maggiore interesse)
\item
<math>\xi \ge 1</math>: due poli positivi reali stabili, se <math>\xi = 1</math> coincidenti: sistema sovrasmorzato
\end{itemize}
 
Per i sistemi smorzati con smorzamento <math>0 < \xi < \sqrt{2}/2</math> esiste un \emph{picco di risonanza}
\vedilibro{rif:k}{544, sezione 9-2-1: Resonant peak and resonant frequency}
il cui valore dipende dallo smorzamento
<math>
M_{r} = \frac{1}{2 \xi \sqrt{1 - \xi^{2}}}
</math>
in corrispondenza della \emph{frequenza di risonanza}
<math>
\omega_{r} = \omega_{n} \sqrt{1 - 2\xi^{2}}
</math>
L'entità del picco di risonanza è inversamente proporzionale allo smorzamento.
Se lo smorzamento è maggiore di <math>0,707</math> allora <math>M_{r} = 1</math> e <math>\omega_{n} = 0</math>
 
La \emph{banda}
\vedilibro{rif:k}{547, sezione 9-2-2: Bandwidth}
di un sistema smorzato del secondo ordine è
<math>
BW = \omega_{n} \big( (1-2\xi^{2}) + \sqrt{4\xi^{4} - 4\xi^{2} + 2} \big)
</math>
 
 
==== Risposta al gradino dei sistemi smorzati ====
La risposta di un sistema ad un ingresso gradino unitario
o \emph{risposta al gradino}
\vedilibro{rif:k}{387, sezione 7-5: Transient response of a prototype second-order system}
\vedilibro{rif:b}{119, sezione 4.4.5 parte terza: Sistemi con solo poli comlessi coniugati}
può essere usata per valutare le prestazioni di un sistema
 
\begin{itemize}
\item
Sovraelongazione massima:
\vedilibro{rif:k}{394, sezione 7-5-3: Maximum overshoot}
Se il sistema è smorzato (<math>0<\xi<1</math>) la risposta al gradino ha un comportamento oscillatorio periodico con massimi e minimi ai tempi <math>t_{i} = \frac{i\pi}{\omega}</math> per <math>i</math> intero, il valore della sovraelongazione dipende solo dallo smorzamento <math>\xi</math> ed è
<math>
M_{p} = e^{-|\frac{\pi\alpha}{\omega}|} = e^{-\frac{\pi\xi}{\sqrt{1- \xi^{2}}}}
</math>
il tempo in cui si raggiunge il massimo è
<math>
t_{max} = \frac{\pi}{\omega}
</math>
 
\item
Tempo di ritardo:
\vedilibro{rif:k}{396, sezione 7-5-4: Delay time and rise time}
Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta a raggiungere la metà del valore di regime
<math>
t_{d} = \frac{1 + 0.7\xi}{\omega_{n}}
</math>
 
\item
Tempo di salita:
\vedilibro{rif:k}{396, sezione 7-5-4: Delay time and rise time}
Si calcola un valore approssimato del tempo necessario alla risposta ad andare dal 10\% al 90\% del suo valore di regime
<math>
t_{r} = \frac{0.8 + 2.5\xi}{\omega_{n}}
</math>
 
\item
Tempo di assestamento:
\vedilibro{rif:k}{398, sezione 7-5-5: Settling time}
si calcola un valore approssimato del tempo dopo cui la risposta non differisce di più del 5\% dal valore di regime
<math>
t_{s_{5\%}} = \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{3}{\xi \omega_{n}} & \textrm{per $0 < \xi < 0.69$} \\
\frac{4.5 \xi}{\omega_{n}} & \textrm{per $0.69 < \xi < 1$} \\
\end{array} \right.
</math>
Se si desidera un assestamento al <math>2\%</math> del valore di regime, si considera
<math>
t_{s_{2\%}} = \frac{4}{\xi \omega_{n}}
</math>
 
\end{itemize}
 
==== Relazioni tra i parametri ====
Esistono delle dipendenze tra i parametri caratteristici del sistema e i parametri della sua risposta al gradino
\vedilibro{rif:k}{550, figura 9-7}
 
\begin{itemize}
\item
Al crescere di <math>\omega_{n}</math> la distanza dei poli dall'origine aumenta
\item
Al crescere di <math>\xi</math> diminuisce l'angolo tra i poli e l'asse reale negativa rispetto all'origine
\item
Al crescere di <math>\omega_{n}</math> il tempo di ritardo diminuisce e il sistema risponde più rapidamente
\item
Al crescere di <math>\xi</math> il tempo di ritardo aumenta e il sistema risponde più lentamente
\item
La banda è direttamente proporzionale alla pulsazione naturale non smorzata <math>\omega_{n}</math> e inversamente proporzionale al tempo di salita <math>t_{r}</math>,
per cui aumentando la banda il sistema risponde più rapidamente
\item
Al crescere del picco di risonanza aumenta la sovraelongazione massima
\end{itemize}
 
=== Riduzione dell'ordine dei sistemi ===
==== Poli dominanti ====
Si possono trascurare in fase di valutazione delle specifiche poli o zeri a frequenze molto elevate rispetto agli altri
\vedilibro{rif:k}{422, sezione 7.8: Dominant poles of transfer function}
 
== Controllo di sistemi lineari ==