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*[[Fondamenti di automatica/Proprietà e prestazioni|Proprietà e prestazioni]]
==*[[Fondamenti di automatica/Metodi di analisi|Metodi ==di analisi]]
=== Composizioni e Scomposizioni ===
Se si hanno due sistemi in serie,
\vedilibro{rif:b}{142, sezione 5.4.1: Stabilità dei sistemi in serie}
in cui uno ha un polo a frequenza pari ad uno zero dell'altro,
il sistema risultante risulta non osservabile o non controllabile,
dipendentemente da come sono definite le variabili di stato
\vedilibro{rif:c}{503, Effect of pole-zero cancellation in transfer function} .
Se i sistemi sono in forma di funzione di trasferimento:
\begin{itemize}
\item
una cancellazione zero-polo causa una perdita di controllabilità,
\item
una cancellazione polo-zero causa una perdita di osservabilità
\end{itemize}
Nel caso di due sistemi in parallelo
\vedilibro{rif:b}{144, sezione 5.4.2: Stabilità dei sistemi in parallelo}
espressi come funzioni di trasferimento,
si può avere cancellazione di poli comuni ai due sistemi,
la parte corrispondente a tali poli risulta non controllabile e non osservabile
Se la parte che viene cancellata corrisponde a poli instabili, allora il sistema è instabile
==== Scomposizione canonica ====
Per un sistema in variabili di stato non completamente raggiungibile e osservabile esiste una forma di scomposizione detta \emph{decomposizione di Kalman}
\vedilibro{rif:b}{93, sezione 3.5.4: Scomposizione canonica e forma minima}
che consente di scomporre il sistema in quattro sottosistemi
tali che lo stato interno del sistema è pari all'unione di tutti gli stati interni dei sottosistemi
\begin{itemize}
\item
non controllabile e non osservabile (<math>nn</math>)
\item
non controllabile ed osservabile (<math>no</math>)
\item
controllabile e non osservabile (<math>cn</math>)
\item
controllabile e osservabile (<math>co</math>)
\end{itemize}
si applica una trasformazione <math>T_{K}</math> (che in generale non è unica) al sistema
ottenendo
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
x_{K}'(t) = T_{K}^{-1}AT_{K} x_{K}(t) + T_{K}^{-1}Bu(t) \\
y(t) = CT_{K}x_{K}(t) + Du(t) \\
\end{array}
\right.
</math>
dove il vettore di stato trasformato <math>x_{K}(t)</math>
(tale che <math>x(t) = x_{K}(t)T_{K}</math>)
è scomposto in quattro parti
\vedilibro{rif:b}{94}
<math>
x_{K}^{T} = \big[ x_{cn} , x_{co} , x_{nn} , x_{no} \big]
</math>
a cui corrispondono
<math>
A_{K} = T_{K}^{-1}AT_{K}=
\left( \begin{array}{cccccc}
A_{cn } & A_{cn-co} & A_{cn-nn} & A_{cn-no} \\
0 & A_{co} & 0 & A_{co-no} \\
0 & 0 & A_{nn} & A_{nn-no} \\
0 & 0 & 0 & A_{no} \\
\end{array} \right)
</math>
<math>
B_{K} = T_{K}^{-1}B =
\left[ \begin{array}{c}
B_{cn} \\
B_{co} \\
0 \\
0 \\
\end{array} \right]
\\
C_{K} = CT_{K} = [ 0 , C_{co} , 0 , C_{no} ]
</math>
Un sistema raggiungibile ed osservabile si dice essere \emph{in forma minima}
in quanto non è possibile usare un numero di variabili di stato minore del suo ordine per descrivere la relazione ta ingresso e uscita che esso stabilisce
Un sistema in forma minima lineare tempoinvariante è stabile esternamente se e solo se è asintoticamente stabile
=== Criterio di Routh ===
\`E possibile verificare la stabilità di un sistema dal suo polinomio caratteristico, le cui radici determinano i poli del sistema
(se il sistema è rappresentato da una funzione di trasferimento razionale, senza ritardi di tempo)
Tutte le radici del polinomio caratteristico devono essere negative o al più nulle,
ma per polinomi di grado elevato risulta difficile stabilire il segno delle radici
Se tutti i coefficenti <math>a_{n} \cdots a_{0}</math> del polinomio caratteristico
non hanno lo stesso segno,
allora alcune radici hanno segno positivo ed il sistema è instabile
(ad una variazione di segno tra coefficenti corrisponde un a radice positiva, ad una permanenza di segno una radice negativa ???);
se il polinomio è di secondo ordine, allora se tutti i coefficenti hanno lo stesso segno, le radici sono tutte negative.
Per sistemi di ordine superiore al secondo,
se la prima colonna della tabella di Routh ha tutti i termini con lo stesso segno,
allora le radici sono tutte negative ed il sistema è stabile
\vedilibro{rif:k}{334, sezione 6-5: Routh-Hurwitz Criterion}
\vedilibro{rif:c}{192, sezione 6.4: Routh stability criterion}
\vedilibro{rif:b}{75, sezione 3.3.4: Stabilità e polinomio caratteristico}
La tabella di Routh è composta dai coefficenti del polinomio caratteristico del sistema nelle prime due righe,
se il grado del polinomio è pari, allora sono:
<math>
\begin{array}{cccccc}
a^{n_{p}} & a^{n_{p}-2} & \cdots & a^{4} & a^{2} & a^{0} \\
a^{n_{p}-1} & a^{n_{p}-3} & \cdots & a^{3} & a^{1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
\end{array}
</math>
se è dispari sono:
<math>
\begin{array}{cccccc}
a^{n_{p}} & a^{n_{p}-2} & \cdots & a^{5} & a^{3} & a^{1} \\
a^{n_{p}-1} & a^{n_{p}-3} & \cdots & a^{4} & a^{2} & a^{0} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &
\end{array}
</math>
La tabella completa ha tante righe quanti sono i termini del polinomio caratteristico (<math>n_{p}+1</math>),
ogni due righe di lunghezza uguale, la riga successiva ha un elemento in meno,
gli elementi delle righe successive
(<math>e_{r,c}</math> se con <math>r</math> riga dell'elemento e <math>c</math> colonna dell'elemento)
sono calcolati sulla base
dei primi due elementi delle due righe superiori (<math>e_{r-2,1}</math> ed <math>e_{r-1,1}</math>) e
dei due elementi delle due righe superiori al di sopra dell'elemento stesso (<math>e_{r-2,c}</math> ed <math>e_{r-1,c}</math>);
secondo lo schema
<math>
e_{r,c} = e_{r-2,c} - \frac{e_{r-2,1}e_{r-1,c}}{e_{r-1,1}}
= -\frac{1}{e_{r-1,1}}
\left| \begin{array}{cc}
e_{r-2,1} & e_{r-2,c} \\
e_{r-1,1} & e_{r-2,c} \\
\end{array} \right|
</math>
ad esempio:
<math>
\begin{array}{lccc}
a_{4} & a_{2} & a_{0} \\
a_{3} & a_{1} & \\
a_{2} - \frac{a_{4}a_{1}}{a_3} & a_{0} - \frac{a_{4}0}{a_3} \\
\vdots \\
\end{array}
</math>
Se nel calcolo della tabella compare uno zero a denominatore, si può considerarlo un numero arbitrariamente piccolo e proseguire con il calcolo
\vedilibro{rif:c}{192, sezione 6.4: Routh stability criterion, special cases}
=== Diagrammi di Bode ===
Consistono in due diagrammi che rappresentano il modulo (in decibel) e la fase della risposta in frequenza in funzione della pulsazione (in scala logaritmica)
i modulo della risposta in frequenza in decibel è:
<math>
|G(j\omega)|_{dB} = 20 \log_{10} |G(j\omega)|
</math>
Possono esser usati per sistemi che non abbiano ritardi di tempo
\vedilibro{rif:k}{615, sezione 9-15-1: bode plots of systems with pure time delays}
(eventualmente questi possono esseere approssimati con funzioni razionali)
Dai diagrammi di Bode è possibile ricavare facilmente il margine di fase e il margine di guadagno, il modulo e la fase della risposta in corrispondenza delle varie frequenze, la posizione di poli e zeri del sistema
\vedilibro{rif:k}{613, sezione 9-15: Stability analysis with the Bode plot}
Per farne un tracciamento approssimato si considera la risposta in frequenza espressa in forma di Bode o in modulo e fase;
=== Diagramma polare ===
Si tratta del diagramma del modulo e della fase della risposta in frequenza <math>G(j\omega)</math> di un sistema in coordinate rettangolari,
Il diagramma rappresenta una curva nel piano complesso con in ascissa <math>\Re\{ G( j \omega ) \}</math> ed in ordinata <math>j \Im\{ G( j \omega ) \}</math> al variare di <math>\omega</math> da <math>0</math> a <math>+\infty</math>.
\vedilibro{rif:k}{865, appendice A-1: Polar plots}
Dai diagrammi polari è possibile ricavare facilmente il margine di guadagno e il margine di fase, il numero di poli e zeri del sistema
Nel diagramma polare del sistema, la pulsazione di taglio è in corrispondenza del punto in cui la curva interseca l'asse reale negativo
il diagramma polare ha le seguenti proprietà:
\begin{itemize}
\item
attraversa <math>n_{p}-1</math> volte gli assi (????),
\item
se ci sono zeri fa delle ondulazioni in punti dipendenti dal valore dello zero,
\item
se ci sono solo zeri è nella parte superiore dell'asse reale
\end{itemize}
\`E possibile tracciare approssimativamente il diagramma polare a mano, valutando
la fase e il modulo della risposta in frequenza per valore nullo e infinito della pulsazione
e i punti di intersezioni con gli assi
=== Luogo delle radici ===
Il \emph{luogo delle radici}
\vedilibro{rif:k}{470, capitolo 8: Root locus tecnique}
\vedilibro{rif:b}{389, capitolo 13: Luogo delle radici}
\vedilibro{rif:c}{201, capitolo 7: The root locus technique}
consiste nel tracciamento delle curve descritte dai poli e dagli zeri di un sistema in retroazione unitaria al variare del guadagno d'anello.
Ci riferiamo ad un sistema <math>G(s)</math> a guadagno unitario retroazionato con un guadagno d'anello <math>k</math>
Si definisce \emph{luogo delle radici inverso} il diagramma per valori negativi del guadagno d'anello.
Permette di trattare unicamente problemi in cui la funzione di trasferimento in anello chiuso è razionale, e quindi priva di ritardi di tempo che si presentano sempre nei sistemi reali
Il luogo delle radici consente di valutare facilmente la stabilità di un sistema in ciclo chiuso e le strategie di controllo necessarie a stabilizzare un sistema instabile
I punti <math>\sigma + j\omega</math> del luogo diretto sono tutti e soli i punti che soddisfano le due condizioni sul modulo e sulla fase:
<math>
| G(\sigma + j\omega) | = 1/k
</math>
ovvero il prodotto dei moduli dei vettori tra il punto e i poli diviso il prodotto dei moduli dei vettori tra il punto e gli zeri è pari al guadagno nel punto
\vedilibro{rif:b}{392}
<math>
k =
\frac{|\sigma +j\omega + p_{1}| \cdots |\sigma +j\omega + p_{n_{p}}|}
{|\sigma +j\omega + z_{1}| \cdots |\sigma +j\omega + z_{n_{z}}|}
</math>
<math>
\angle G(s) = (2i+1)\pi \phantom{4} \textrm{con} \phantom{2} i \in \Int
</math>
ovvero la somma delle fasi dei vettori che uniscono il punto con gli zeri meno la somma delle fasi che uniscono il punto con i poli deve essere <math>\pm\pi</math> a meno di <math>2\pi</math>
\vedilibro{rif:b}{391}
<math>
\tan^{-1}\frac{\omega}{\sigma + z_{1}}
\phantom{3} + \cdots + \tan^{-1}\frac{\omega}{\sigma + z_{n_{z}}}
</math>
<math>
-\tan^{-1}\frac{\omega}{\sigma + p_{1}}
\phantom{3} - \cdots - \tan^{-1}\frac{\omega}{\sigma + p_{n_{p}}}
= \pm \pi \phantom{5} (+2 i \pi)
</math>
Quest'ultima relazione è sufficente per caratterizzare il luogo delle radici,
la precedente è invece utile per trovare il guadagno corrispondente ad un punto appartenente al luogo
==== Proprietà del luogo delle radici diretto ====
Le curve del luogo delle radici diretto hanno le seguenti proprietà:
\vedilibro{rif:k}{500, tabella 8-2: Properties of the root loci}
\begin{enumerate}
\item
Il numero di rami del luogo è pari al grado del sistema
\item
Il luogo è simmetrico rispetto all'asse reale e rispetto agli assi di simmetria dei poli e degli zeri del luogo
\item
Appartengono al luogo le parti dell'asse reale che hanno un numero \emph{dispari} di poli e zeri a destra
\item
al crescere del modulo del guadagno d'anello si segue il luogo dai poli agli zeri, i rami che non terminano in zeri vanno asintoticamente all'infinito
\item
Gli <math>i = n_{p}-n_{z}</math> angoli tra gli asintoti e l'asse reale sono multipli dell'angolo giro diviso per l'eccesso poli-zeri
<math>
\theta_{i} = \frac{(2i-1)\pi}{n_{p} - n_{z}}
</math>
\item
L'intersezione degli asintoti (\emph{centroide} <math>\sigma_{c}</math>) è sull'asse reale nel punto uguale alla somma dei poli meno la somma degli zeri diviso per l'eccesso poli-zeri
<math>
\sigma_{c} = \frac{p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n_{p}}
- z_{1} - z_{2} - \cdots - z_{n_{z}} }{n_{p} - n_{z}}
</math>
(dove è possibile considerare solo la parte reale di poli e zeri, in quanto le parti complesse di poli o zeri complessi coniugati si annullano)
\item
punti di incrocio del luogo sull'asse reale si possono determinare trovando i massimi e i minimi della funzione di trasferimento in anello aperto
\item
I rami del luogo nei punti di incrocio formano tra loro angoli uguali
\item
l'angolo <math>\theta_{t}</math> tra la tangente del ramo del luogo nei poli e negli zeri con molteplicità unitaria e l'asse reale è
<math>
\theta_{t} = \pi + \mathcal{T}( \theta_{Z1} + \cdots + \theta_{Zn_{z}}
- \theta_{P1} - \cdots - \theta_{Pn_{p}} )
</math>
dove <math>\mathcal{T}=1</math> se il punto è un polo,
oppure <math>\mathcal{T}=-1</math> se il punto è uno zero;
<math>\theta_{Z(1 \cdots n_{z})}</math> sono gli angoli tra il punto singolare e gli altri zeri
e <math>\theta_{P(1 \cdots n_{p})}</math> sono gli angoli tra il punto singolare e gli altri poli
(con gli angoli valutati rispetto all'asse reale positivo)
\end{enumerate}
==== Proprietà del luogo delle radici inverso ====
il luogo delle radici inverso differisce dal luogo diretto:
\vedilibro{rif:k}{500, tabella 8-2: Properties of the root loci}
\begin{itemize}
\item[-]
le parti dell'asse reale che appartengono al luogo hanno alla loro destra un numero \emph{pari} di poli e zeri
\item[-]
gli angoli tra gli asintoti e l'asse reale sono ruotati in senso orario di <math>\pi/(n_{p}-n_{z})</math> rispetto al luogo diretto,
in pratica il primo asintoto coincide sempre con l'asse reale positivo
\end{itemize}
=== Diagrammi di Nyquist ===
Il \emph{diagramma di Nyquist}
\vedilibro{rif:b}{305, sezione 11.5.1: Diagramma di Nyquist}
\vedilibro{rif:k}{565, sezione 9-5-5: Nyquist path}
si costruisce con il diagramma polare e il suo simmetrico rispetto all'asse reale,
se il percorso non si chiude, allora si considera come chiusura la semicirconferenza di raggio infinito che sta nel semipiano di parte reale positivo e che ha centro nell'origine
Se nel sistema è presente un ritardo puro di tempo <math>e^{-T_{d}s}</math>, il diagramma di Nyquist è simile a quello del sistema senza ritardo,
con ogni punto corrispondente alla pulsazione <math>\omega</math> ruotato di <math>\omega T_{d}</math> radianti in senso orario
Il diagramma di Nyquist consente di valutare la stabilità di un sistema in ciclo chiuso anche in caso di variazione dei parametri della funzione di trasferimento
=== Matlab e Simulink ===
\`E possibile utilizzare vari programmi per studiare i sistemi dinamici, tra questi Matlab (www.mathworks.com); per molti dei comandi qui listati è necessaria la toolbox dei controlli (control)
\begin{itemize}
\item
roots(a):
fornisce le radici di un polinomio i cui coefficenti sono a
\item
eig(A):
fornisce gli autovalori della matrice A
\item
conv(d,c):
moltiplica i due vettori d e c
\item
zpk(z,p,k):
consente di definire una funzione di trasferimento inserendo zeri, poli e guadagno
\item
tf(n,d)
consente di definire una funzione di trasferimento inserendo il polinomio a numeratore e a denominatore
\item
rlocus(f):
traccia il luogo delle radici del sistema f
\item
bode(f):
traccia il diagramma di bode del sistema f
\item
margin(f):
fornisce i margini del sistema f
\item
nyquist(f):
traccia il diagramma di Nyquist del sistema f
\item
ss2tf(f), tf2zpk(f) \ldots:
consentono di passare da una forma di sistema all'altra
(si può usare anche la forma f = zpk(f), f = tf(f) \ldots)
\item
ss(A,B,C,D):
consente di definire un sistema in variabili di stato
\item
step(f):
traccia la risposta al gradino unitario del sistema f
\item
simulink:
consente di costruire sistemi graficamente
\item
sisotool:
consente di esaminare i sistemi SISO facilmente
\item
size(a):
fornisce le dimensioni di a
\item
whos:
lista tutte le variabili memorizzate
\item
clear:
cancella una variabile, clear all le cancella tutte
\item
place(A,b,l):
assegna al sistema descritto in variabili di stato dalla matrice A e dal vettore b gli autovalori del vettore l utilizzando una reazione totale dello stato
\end{itemize}
== Modelli di sistemi comuni ==
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