Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox2: differenze tra le versioni
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{{Esercizi di fisica con soluzioni}}
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=== Un disco sottile conduttore ===
Un disco sottile conduttore di raggio <math>R\ </math> ha una carica totale <math>Q\ </math>.
La densità di carica superficiale varia con la distanza <math>r\ </math> dal centro secondo la legge:
<math>\sigma =\frac Q{2\pi R\sqrt{R^2-r^2}}\ </math>
Dimostrare che la carica totale sia davvero <math>Q\ </math> e determinare il valore del campo elettrico lungo l'asse del disco.
<span class="noprint">[[#Un_disco_sottile_conduttore_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
=== Due condensatori incrociati ===
Due condensatori <math>C_1\ </math> e <math>C_2\ </math> sono separatamente portati alle tensioni <math>V_1\ </math> e <math>V_2\ </math>.
A un certo istante il morsetto positivo di ognuno viene connesso a quello negativo
dell'altro tramite dei fili resistivi (il cui valore non interessa ai fini del problema).
Determinare la tensione di <math>C_1\ </math> e <math>C_2\ </math> dopo il collegamento.
(dati del problema <math>C_1=1\ \mu F</math> , <math>C_2=10\ \mu F</math>, <math>V_1=20\ V</math>, <math>V_2=30\ V</math>)
<span class="noprint">[[#Due_condensatori_incrociati_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
=== Un condensatore a facce piane ===
Un condensatore a facce piane e parallele ha una capacità a vuoto <math>C_o\ </math>, è collegato ad una batteria di <math>f\ </math>. Se tra le armature del condensatore viene inserito un materiale isolante si trova che la carica varia di <math>\Delta Q\ </math>. Determinare la costante
dielettrica dell'isolante ed il lavoro compiuto dalla batteria per mantenere costante la differenza di potenziale ai capi del condensatore.
(dati del problema <math>\Delta Q=40\ nC</math>, <math>f=12\ V</math>, <math>C_o=50\ nF</math>)
<span class="noprint">[[#Un_condensatore_a_facce_piane_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
=== Un condensatore con una lastra ===
[[Immagine:Condensatore_con_lastra.png|250px|right]]
Un condensatore a facce piane e parallele ha una capacità <math>C_o\ </math> (figura a).
Tra le sue armature viene inserita come in figura b) una lastra metallica di spessore trascurabile. Se la lastra viene mantenuta isolata mentre tra le armature estreme viene messa una carica <math>Q\ </math> e <math>-Q\ </math> determinare la differenza di potenziale della lastra centrale con le due armature.
Determinare inoltre la capacità totale se la lastra inserita viene messa in contatto con l'armatura di destra.
(dati del problema <math>Q=3\ nC</math>, <math>d_1=4d_2\ </math>,<math> C_o=100\ pF</math>)
<span class="noprint">[[#Un condensatore con una lastra_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
=== Spessore strato carico in un conduttore ===
Una lastra di rame, in cui il numero di elettroni liberi nell'unità di volume nale <math>n\ </math>, genera un campo elettrico sulla sua superficie di intensità pari a <math>E_o\ </math>. Determinare lo spessore dello strato di elettroni necessario a generare
un tale campo.
(dati del problema <math>n=8.5\cdot 10^{28}\ m^{-3}</math>, <math>E_o=10^7\ V/m</math>)
<span class="noprint">[[#Spessore strato carico in un conduttore_2|→ Vai alla soluzione]]</span>
== Soluzioni ==
=== Un disco sottile conduttore ===
<span class="noprint">[[#Un_disco_sottile_conduttore|→ Vai alla traccia]]</span>
Un generico elemento della superficie del disco in cui la densità di carica ha lo stesso valore è una corona circolare di raggio <math>r\ </math> e larghezza <math>dr\ </math> la cui superficie vale <math>dS=2\pi r dr\ </math> e quindi la carica in tale superficie vale:
<math>dQ=2\pi r dr\sigma=\frac {Qrdr}{R\sqrt{R^2-r^2}}\ </math>
La carica totale sul disco si ottiene integrando tale espressione tra <math>0\ </math> ed <math>r\ </math>:
<math>\frac QR\int_0^R \frac {rdr}{\sqrt{R^2-r^2}}=\frac QR\left[
-\sqrt{R^2-r^2}\right]_0^R=Q\ </math>
che è quanto si voleva dimostrare.
Tale elemento elementare di superficie può considerarsi a tutti gli effetti un anello di carica
<math>dQ\ </math> e raggio <math>0\ge r \le R\ </math> che genera in un punto generico <math>x\ </math> del suo asse un campo (diretto lungo l'asse) di intensità:
<math>dE_x=\frac {dQ x}{4\pi \varepsilon_o(x^2+r^2)^{3/2}}</math>
Ma essendo <math>dQ=2\pi r dr \sigma\ </math>
<math>dE_x=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {Qrdr}{R\sqrt{R^2-r^2}(x^2+r^2)^{3/2}}</math>
Quindi il campo totale vale:
<math>E_x=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {Qx}R\int_0^R\frac {rdr}{\sqrt{R^2-r^2}(x^2+r^2)^{3/2}}=\ </math>
<math>=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {Qx}R\left[-\frac
{\sqrt{R^2-r^2}}{\sqrt{r^2+x^2}(R^2+x^2)}\right]_0^R\ =\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {QxR}{Rx(R^2+x^2)}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Q{R^2+x^2}\ </math>
=== Due condensatori incrociati ===
<span class="noprint">[[#Due_condensatori_incrociati|→ Vai alla traccia]]</span>
Prima del collegamento:
<math>Q_{10}=C_1V_1=2\cdot 10^{-5}C</math>
<math>Q_{20}=C_2V_2=3\cdot 10^{-4}C</math>
Poiché il collegamento avviene tra armature con carica opposta, la carica totale su ogni ramo si conserva, ma con il suo segno, quindi dove prevale la carica positiva rimane una carica positiva, mentre dove vi è dominante quella negativa rimane quella negativa. In definitiva la carica finale su ogni lato è in modulo:
<math>Q_f=Q_{20}-Q_{10}=2.8\cdot 10^{-4}C\ </math>
Se chiamiamo (<math>Q_{1f}\ </math> e <math>Q_{2f}\ </math>) le cariche finali sui due condensatori, sulle armature collegate all'armatura dominante positiva del condensatore 2, per la conservazione della carica:
<math>Q_{1f}+Q_{2f}=Q_f\ </math>
Passato un tempo sufficientemente lungo la somma delle differenze di potenziale tra i due condensatori (che era inizialmente di <math>V_1+V_2\ </math> )
diviene:
<math>\frac{Q_{1f}}{C_1}-\frac{Q_{2f}}{C_2}=0</math>
notare che si è usato il segno meno per tenere conto delle polarità delle cariche sui condensatori.
Da tale sistema di equazioni:
<math>Q_{1f}=Q_f\
<math>Q_{2f}=Q_f\frac{C_2}{C_1+C_2}=2.5\cdot 10^{-4}C</math>
La differenza di potenziale che è eguale tra le armature:
<math>
=== Un condensatore a facce piane ===
<span class="noprint">[[#Un_condensatore_a_facce_piane|→ Vai alla traccia]]</span>
La capacità diviene:
<math>C_1=\epsilon_r C_o\ </math>
Quindi essendo:
<math>Q_o=C_of\ </math>
<math>Q_1=C_1f=\epsilon_r C_o f\ </math>
<math>\Delta Q= C_o f(\epsilon_r-1)\ </math>
<math>
La variazione di energia immagazzinata nel condensatore è:
<math>
=== Un condensatore con una lastra ===
<span class="noprint">[[#Un condensatore con una lastra|→ Vai alla traccia]]</span>
a)
La tensione totale tra le armature estreme vale (e non cambia con l'inserimento della lastra)
<math>
Immaginando che la carica sia <math>+Q\ </math> sull'armatura di sinistra.
Tale differenza di potenziale è dovuto all'integrale del campo elettrico uniforme all'interno del condesatore quindi la lastra interna ha con l'armatura di sinistra una d.d.p. pari a:
<math>V_1=-V_o\frac {d_1}{d_1+d_2}=- 24\ V</math>
mentre con quella di destra:
<math>V_2=V_o\frac {d_2}{d_1+d_2}=6\ V</math>
b)
Se viene messo in contatto la lastra con l'armatura di destra la d.d.p., si annulla la d.d.p. come il campo tra di loro, quindi la capacità aumenta e diviene:
<math>C=C_o\frac {d_1+d_2}{d_1}=125\ pF</math>
=== Spessore strato carico in un conduttore ===
<span class="noprint">[[#Spessore strato carico in un conduttore|→ Vai alla traccia]]</span>
La densità di carica della nuvola di elettroni liberi (che è compensata esattamente dalle cariche ioniche positive fisse) vale:
<math>\rho =en=1.35\cdot 10^{10}\ C/m^3</math>
La legge di Coulomb si può scrivere in realtà in due forme equivalenti:
<math>E_o=\
Indicando con <math>t\ </math> l'allontanamento dalla posizione di equilibrio delle cariche libere necessario
a generare il campo <math>E_o\ </math>. Quindi:
<math>
<math>t=\frac {E_o \varepsilon_o}{en}=6.4\cdot 10^{-15}\ m</math>
Per quanto l'intensità del campo sia così elevata lo spostamento della nuvola elettronica è talmente piccolo, che a tutti gli effetti giustamente si considera una densità di carica superficiale.
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Elettrostatica nei conduttori]]
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