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{{Esercizi di fisica con soluzioni}}
[[Fisica_classica/Campi_elettrici| Argomento precedente: La legge di Gauss]]
 
==Potenziale elettricoEsercizi ==
=== Un disco sottile conduttore ===
[[Immagine:Two_points_connect_in_two_way.png|thumb|250px|right|Due diversi percorsi che connettono
Un disco sottile conduttore di raggio <math>R\ </math> ha una carica totale <math>Q\ </math>.
due punti dello spazio]]
La densità di carica superficiale varia con la distanza <math>r\ </math> dal centro secondo la legge:
Estendendo il concetto di conservatività definito per le forze ai campi è facile mostrare come il campo elettrico generato da una carica puntiforme sia conservativo, cioè con riferimento alla figura a fianco, l'integrale di linea per andare da un punto a ad un punto b:
 
<math>\sigma =\frac Q{2\pi R\sqrt{R^2-r^2}}\ </math>
<math>
\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math>
 
Dimostrare che la carica totale sia davvero <math>Q\ </math> e determinare il valore del campo elettrico lungo l'asse del disco.
non dipende dal percorso seguito, ma solo dagli estremi di integrazione. Questa è una conseguenza del fatto che la forza elettrica è [[w:Forza_centrale|centrale]]. Quindi, analogamente all'energia potenziale, possiamo definire '''differenza di potenziale elettrico''' (''d.d.p'') <math>V_b-V_a\ </math> presente tra i punti a e b:
 
<span class="noprint">[[#Un_disco_sottile_conduttore_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
<math>
V_b-V_a=-\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math>
 
=== Due condensatori incrociati ===
==Unità di misura ed ordini di grandezza==
Due condensatori <math>C_1\ </math> e <math>C_2\ </math> sono separatamente portati alle tensioni <math>V_1\ </math> e <math>V_2\ </math>.
Le dimensioni fisiche del potenziale elettrico sono quelle del rapporto tra una energia e la carica elettrica, quindi l'unita di misura nel [[w:Sistema_internazionale_di_unit%C3%A0_di_misura|Sistema Internazionale]] è detta [[w:Volt|Volt]] ed equivale a [[w:Joule|Joule]] diviso [[w:Coulomb|Coulomb]], indicato con il simbolo
A un certo istante il morsetto positivo di ognuno viene connesso a quello negativo
dell'altro tramite dei fili resistivi (il cui valore non interessa ai fini del problema).
Determinare la tensione di <math>C_1\ </math> e <math>C_2\ </math> dopo il collegamento.
 
(dati del problema <math>C_1=1\ \mu F</math> , <math>C_2=10\ \mu F</math>, <math>V_1=20\ V</math>, <math>V_2=30\ V</math>)
<math>[V]=\frac {[Energia]}{[Carica]}=\frac {[J]}{[C]}\ </math>
 
Di conseguenza l'unità di misura del campo elettrico, che ha le dimensioni di una forza divisa una carica, non è normalmente scritta come <math>N/C\ </math>, ma si preferisce indicarla in <math>V/m\ </math>.
 
<span class="noprint">[[#Due_condensatori_incrociati_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
<math>[E]=\frac {[Forza]}{[Carica]}=\frac {[V]}{[m]}\ </math>
 
=== Un condensatore a facce piane ===
I campi elettrici sono estremamente difficili da misurare in quanto la presenza di materia li modifica sostanzialmente. Campi elettrici dell'ordine di qualche <math>10^6\ V/m\ </math> nell'aria sono considerati campi molto intensi. Infatti con campi di questo ordine di grandezza l'aria cessa di essere un mezzo simile al vuoto e si comporta come un [[w:Plasma_%28fisica%29|plasma]]. I fulmini, l'effetto più appariscente dell'elettromagnetismo dagli albori della civiltà umana, sono una tipica manifestazione di tali campi intensi. Durante una giornata serena vi è naturalmente un campo elettrico la cui intensità al livello del mare è di circa un centinaio di V/m. Quindi un campo di questo ordine di grandezza presente naturalmente è considerato un campo elettrico di piccola intensità.
Un condensatore a facce piane e parallele ha una capacità a vuoto <math>C_o\ </math>, è collegato ad una batteria di <math>f\ </math>. Se tra le armature del condensatore viene inserito un materiale isolante si trova che la carica varia di <math>\Delta Q\ </math>. Determinare la costante
dielettrica dell'isolante ed il lavoro compiuto dalla batteria per mantenere costante la differenza di potenziale ai capi del condensatore.
 
(dati del problema <math>\Delta Q=40\ nC</math>, <math>f=12\ V</math>, <math>C_o=50\ nF</math>)
Il potenziale elettrico è invece una grandezza che è entrata nell'uso comune, differenze di potenziale tra oggetti carichi isolati sono facilmente misurabili, tra frazioni di Volt a centinaia di Volt. Differenze di potenziali statiche di qualche nV sono estremamente difficili da misurare, mentre differenze di potenziale di molte centinaia di Volt possono essere estremamente pericolose per la salute umana se applicate tra due differenti parti del corpo umano: in realtà la pericolosità è legata alla corrente, di cui parleremo nel seguito.
 
<span class="noprint">[[#Un_condensatore_a_facce_piane_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
La carica dell'elettrone di circa <math>1.6\times 10^{-19}\ C</math>, la minima carica possibile, indica chiaramente cosa sia una carica piccola. Il Coulomb rappresenta una grossa carica se distribuita su volumi di qualche <math>m^3\ </math>, ma se invece consideriamo la carica contenuta in una media nuvola di pioggia, che ha dimensioni di qualche km, facilmente la carica accumulata è di qualche decina di C. Ma dato il volume in gioco la densità volumetrica di carica è di solito inferiore a <math>10^{-9}\ C/m^3\ </math>, la densità di carica presente nell'aria in una giornata
serena è di appena un ordine di grandezza inferiore a tale grandezza.
 
=== Un condensatore con una lastra ===
=== Carica puntiforme===
[[Immagine:Condensatore_con_lastra.png|250px|right]]
Consideriamo, un caso particolare, il campo elettrico <math>\vec E\ </math> generato da una carica puntiforme <math>Q\ </math> posta nell'origine delle coordinate, come abbiamo visto vale:
 
Un condensatore a facce piane e parallele ha una capacità <math>C_o\ </math> (figura a).
<math>\vec E=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Q{r^2}\hat r\ </math>
Tra le sue armature viene inserita come in figura b) una lastra metallica di spessore trascurabile. Se la lastra viene mantenuta isolata mentre tra le armature estreme viene messa una carica <math>Q\ </math> e <math>-Q\ </math> determinare la differenza di potenziale della lastra centrale con le due armature.
Determinare inoltre la capacità totale se la lastra inserita viene messa in contatto con l'armatura di destra.
 
(dati del problema <math>Q=3\ nC</math>, <math>d_1=4d_2\ </math>,<math> C_o=100\ pF</math>)
Sostituendo, questa espressione, nella equazione precedente:
 
<math>V_b-V_a
=-\int_a^b \vec E\cdot d\vec l
=-\int_a^b |\vec E|\cdot |d\vec l|\cos \theta\ </math>
 
<span class="noprint">[[#Un condensatore con una lastra_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
dove <math>\theta\ </math> è l'angolo compreso tra i vettori <math>\vec E\ </math> e <math>d\vec l\ </math>. Il prodotto <math>dl\cos \theta\ </math>, rappresenta la proiezione lungo <math>r\ </math> di <math>dl\ </math>, quindi <math>dl\cos \theta=dr\ </math>:
 
=== Spessore strato carico in un conduttore ===
<math>V_b-V_a
Una lastra di rame, in cui il numero di elettroni liberi nell'unità di volume nale <math>n\ </math>, genera un campo elettrico sulla sua superficie di intensità pari a <math>E_o\ </math>. Determinare lo spessore dello strato di elettroni necessario a generare
=-\int_a^b |E|dr=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q\int_{r_b}^{r_a}\frac 1{r^2}dr=
un tale campo.
\frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q\left[\frac 1{r_b} -\frac 1{r_a} \right]\
</math>
 
(dati del problema <math>n=8.5\cdot 10^{28}\ m^{-3}</math>, <math>E_o=10^7\ V/m</math>)
Quindi:
 
<math>V_b=V_a+
\frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q\left[\frac 1{r_b} -\frac 1{r_a} \right]\ </math>
 
<span class="noprint">[[#Spessore strato carico in un conduttore_2|&rarr; Vai alla soluzione]]</span>
Se <math>r_a=\infty\ </math> e poniamo che <math>V(r_a)=0\ </math>:
 
== Soluzioni ==
<math>V_b=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Q{r_b}\ </math>
 
=== Un disco sottile conduttore ===
Quindi assunto che all'infinito il potenziale sia nullo (una scelta arbitraria) e cambiando il nome di <math>r_b\ </math> in <math>r\ </math>:
<span class="noprint">[[#Un_disco_sottile_conduttore|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
Un generico elemento della superficie del disco in cui la densità di carica ha lo stesso valore è una corona circolare di raggio <math>r\ </math> e larghezza <math>dr\ </math> la cui superficie vale <math>dS=2\pi r dr\ </math> e quindi la carica in tale superficie vale:
<math>V(r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Qr
\ </math>
 
<math>dQ=2\pi r dr\sigma=\frac {Qrdr}{R\sqrt{R^2-r^2}}\ </math>
=== Varie cariche puntiformi===
Se la distribuzione delle cariche è limitata nello spazio è sempre possibile assumere che il potenziale all'infinito sia nullo. Immaginando di avere <math>n\ </math> cariche <math>Q_i\ </math> disposte
ciascuna nella posizione di raggio vettore <math>\overrightarrow{r}_i\ </math>
(applicando il principio di sovrapposizione degli effetti) l'espressione del potenziale elettrico, nel punto individuato dal raggio
vettore <math>\overrightarrow{r}\ </math>, diventa:
 
La carica totale sul disco si ottiene integrando tale espressione tra <math>0\ </math> ed <math>r\ </math>:
<math>V(\overrightarrow{r})=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{|\vec r- \vec {r_{i}}|}\ </math>
 
<math>\frac QR\int_0^R \frac {rdr}{\sqrt{R^2-r^2}}=\frac QR\left[
Essendo V una funzione scalare, il calcolo del potenziale è molto più semplice.
-\sqrt{R^2-r^2}\right]_0^R=Q\ </math>
 
che è quanto si voleva dimostrare.
=== Caso continuo===
Con ovvie estensioni al caso continuo, nel caso di distribuzione di cariche su una linea con densità lineare <math>\lambda\ </math>:
<math>
V(\overrightarrow{r})=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
\int_0^L
\frac{ \lambda dl}{|\vec r-\vec {r_l}|}\ </math>
 
Tale elemento elementare di superficie può considerarsi a tutti gli effetti un anello di carica
Dove <math>\overrightarrow{r_l}\ </math> è il vettore posizione del generico elementino <math>dl\ </math>.
<math>dQ\ </math> e raggio <math>0\ge r \le R\ </math> che genera in un punto generico <math>x\ </math> del suo asse un campo (diretto lungo l'asse) di intensità:
<math>dE_x=\frac {dQ x}{4\pi \varepsilon_o(x^2+r^2)^{3/2}}</math>
 
Ma essendo <math>dQ=2\pi r dr \sigma\ </math>
Con ragionamenti analoghi per distribuzione superficiale:
 
<math>dE_x=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {Qrdr}{R\sqrt{R^2-r^2}(x^2+r^2)^{3/2}}</math>
<math>V
(\overrightarrow{r})=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
\int_S
\frac{ \sigma ds}{|\vec r-\vec {r_s}|}\ </math>
 
Quindi il campo totale vale:
e per distribuzione volumetrica:
 
<math>E_x=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {Qx}R\int_0^R\frac {rdr}{\sqrt{R^2-r^2}(x^2+r^2)^{3/2}}=\ </math>
<math>V
<math>=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {Qx}R\left[-\frac
(\overrightarrow{r})=
{\sqrt{R^2-r^2}}{\sqrt{r^2+x^2}(R^2+x^2)}\right]_0^R\ =\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {QxR}{Rx(R^2+x^2)}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Q{R^2+x^2}\ </math>
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
\int_T
\frac{ \rho d\tau}{|\vec r-\vec {r_{\tau}}|}\ </math>
Queste relazioni sono analoghe alle equazioni ricavate per il campo elettrico.
 
=== Due condensatori incrociati ===
===Dal potenziale elettrico al campo elettrico===
<span class="noprint">[[#Due_condensatori_incrociati|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
Quando abbiamo definito il potenziale elettrico siamo in realtà partiti dalla relazione infinitesima:
 
Prima del collegamento:
<math>dV
=- \vec E\cdot d\vec l\ </math>
 
<math>Q_{10}=C_1V_1=2\cdot 10^{-5}C</math>
Cioè la d.d.p. elettrico tra 2 punti, in coordinate cartesiane (x,y,z) e (x+dx,y+dy,z+dz), è pari all'opposto del prodotto scalare tra il campo elettrico e lo spostamento infinitesimo sulla traiettoria:
 
<math>dV=-E_xdx-E_ydy-E_zdz\ </math>
 
<math>Q_{20}=C_2V_2=3\cdot 10^{-4}C</math>
Ma d'altro canto, secondo la definizione di differenziale, vale:
 
Poiché il collegamento avviene tra armature con carica opposta, la carica totale su ogni ramo si conserva, ma con il suo segno, quindi dove prevale la carica positiva rimane una carica positiva, mentre dove vi è dominante quella negativa rimane quella negativa. In definitiva la carica finale su ogni lato è in modulo:
<math>dV=\frac {\partial V}{\partial x}dx+\frac {\partial V}{\partial y}dy+\frac {\partial V}{\partial z}dz\ </math>
 
<math>Q_f=Q_{20}-Q_{10}=2.8\cdot 10^{-4}C\ </math>
Quindi:
 
Se chiamiamo (<math>Q_{1f}\ </math> e <math>Q_{2f}\ </math>) le cariche finali sui due condensatori, sulle armature collegate all'armatura dominante positiva del condensatore 2, per la conservazione della carica:
<math>E_x=-\frac {\partial V}{\partial x}\ </math>;
<math>E_y=-\frac {\partial V}{\partial y}\ </math>;
<math>E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}\ </math>;
 
<math>Q_{1f}+Q_{2f}=Q_f\ </math>
Ricordando che abbiamo definito <math>\vec {\nabla}</math> (detto ''Nabla'') come:
 
Passato un tempo sufficientemente lungo la somma delle differenze di potenziale tra i due condensatori (che era inizialmente di <math>V_1+V_2\ </math> )
<math>\vec {\nabla}=(\frac {\partial }{\partial x},\frac {\partial }{\partial y},\frac {\partial }{\partial z})\ </math>
diviene:
 
<math>\frac{Q_{1f}}{C_1}-\frac{Q_{2f}}{C_2}=0</math>
Si ha che le equazioni precedenti si possono scrivere in maniera più compatta come:
 
notare che si è usato il segno meno per tenere conto delle polarità delle cariche sui condensatori.
<math>\vec E=-\vec {\nabla}V\ </math>
 
Da tale sistema di equazioni:
==Il dipolo elettrico==
[[Image:Potenziale_dipolo_elettrico.png|thumb|250px|right|Un dipolo elettrico]]
Si chiama dipolo elettrico un insieme di due cariche eguali ed opposte:<math>+q\ </math> e <math>-q\ </math>, poste come nella figura a fianco a distanza <math>2a\ </math>. Un sistema di questo genere viene chiamato dipolo elettrico ed è caratterizzato dal suo momento di dipolo elettrico <math>\vec p\ </math>:
 
<math>Q_{1f}=Q_f\vec pfrac{C_1}{C_1+C_2}=2q \vec a2.5\cdot 10^{-5}C</math>
 
<math>Q_{2f}=Q_f\frac{C_2}{C_1+C_2}=2.5\cdot 10^{-4}C</math>
Orientato dalla carica negativa a quella positiva. Il dipolo elettrico è tra le più semplici distribuzioni di cariche, solo la carica puntiforme è più semplice. Mentre in natura le cariche elementari non sono quasi mai isolate, in quanto la materia è neutra, esistono a livello elementare dipoli molecolari.
 
Il calcolo del potenziale elettrico di un dipolo a distanza molto maggiore della separazione tra le cariche è una espressione molto utile. Il potenziale elettrico (supposta nulla la d.d.p. rispetto all'infinito ) in un punto <math>P\ </math> distante <math>r\ </math> dall'asse del dipolo posto nell'origini delle coordinate lungo un asse cartesiano (vedi figura a fianco) vale:
 
<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\left( \frac q{r_1}-\frac q{r_2}\right)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} q\frac {r_2-r_1}{r_1r_2}\ </math>
 
La differenza di potenziale che è eguale tra le armature:
Se <math>r_1\ </math> ed <math>r_2\ </math> (moduli delle distanze) sono molto maggiori della distanza tra le cariche <math>2a\ </math>, e se indichiamo con <math>\theta\ </math> l'angolo formato tra l'asse del dipolo con la direzione <math>\vec r\ </math>, si può scrivere:
 
<math>r_2-r_1V_f=\approx 2a\cos frac{Q_{1f}}{C_1}=\thetafrac{Q_f}{C_1+C_2}=25.5\ V</math>
 
ed anche:
 
=== Un condensatore a facce piane ===
<math>r_1r_2\approx r^2\ </math>
<span class="noprint">[[#Un_condensatore_a_facce_piane|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
La capacità diviene:
Quindi possiamo riscrivere l'equazione precedente come:
 
<math>C_1=\epsilon_r C_o\ </math>
<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} q\frac {2aq}{r^2}\cos \theta
\ </math>
 
Quindi essendo:
Dalla definizione del momento di dipolo elettrico come vettore potremo scrivere in maniera compatta:
 
<math>Q_o=C_of\ </math>
<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {\vec p\cdot \vec r}{r^3}\ </math>
 
<math>Q_1=C_1f=\epsilon_r C_o f\ </math>
Tale espressione è valida solo per punti a distanza grande rispetto alla separazione delle cariche, nei punti vicini bisogna usare l'espressione esatta.
 
<math>\Delta Q= C_o f(\epsilon_r-1)\ </math>
Nel caso particolare mostrato nella figura assunto come asse delle <math>z\ </math> la direzione del dipolo, in coordiate cartesiane, essendo <math>r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ </math>, tale espressione diventa:
 
<math>V\epsilon_r=1+\frac 1{4\piDelta \varepsilon_oQ} \frac {pz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}C_of}=1.07\ </math>
[[Immagine:VFPt_dipole_electric.svg|thumb|300px|right|Linee del campo elettrico di un dipolo]]
 
La variazione di energia immagazzinata nel condensatore è:
Da tale espressione esplicita è possibile calcolare le tre componenti del campo elettrico secondo i tre assi cartesiani, sempre nell'approssimazione di distanza grande rispetto alle dimensioni del dipolo stesso:
 
<math>E_x\Delta E=-\frac {\partial12 V}{\partialC_1 x}=f^2-\frac 1{4\pi12 \varepsilon_o}C_o f^2=\frac {3pzx}{r12C_of^5}2(\epsilon_r-1)=0.25\ \mu J</math>
 
<math>E_y=-\frac {\partial V}{\partial y}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {3pzy}{r^5}\ </math>
 
=== Un condensatore con una lastra ===
<math>E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {p}{r^5}(3z^2-r^2)\ </math>
<span class="noprint">[[#Un condensatore con una lastra|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
a)
Nella figura accanto sono mostrate le linee del campo elettrico di un dipolo.
La tensione totale tra le armature estreme vale (e non cambia con l'inserimento della lastra)
È possibile scrivere una espressione del campo elettrico in forma più generale che non dipende dall'avere orientato il dipolo secondo l'asse delle z:
 
<math>\vec EV_o=\frac 1Q{4\pi \varepsilon_o r^5C_o}\left[ 3(\vec p\cdot \vec r)\vec r-r^2\vec p\right]=30\ V</math>
 
Immaginando che la carica sia <math>+Q\ </math> sull'armatura di sinistra.
Due esercizi [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Un_dipolo|A]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Dipoli_differenza_di_potenziale|B]] possono servire a chiarire il concetto di dipolo.
Tale differenza di potenziale è dovuto all'integrale del campo elettrico uniforme all'interno del condesatore quindi la lastra interna ha con l'armatura di sinistra una d.d.p. pari a:
 
<math>V_1=-V_o\frac {d_1}{d_1+d_2}=- 24\ V</math>
[[Immagine:Dipolo_en_campo_electrico_uniforme.png|thumb|350px|right|Forze agenti su un dipolo da parte di un campo elettrico uniforme]]
=== Azione dei campi elettrici sui dipoli elettrici===
Dato un dipolo elettrico rigido posto in un campo elettrico esterno come tutti i sistemi rigidi bisogna considera la forza risultante ed il momento risultante. Se il campo elettrico è uniforme la risultante delle forze è chiaramente nulla in quanto la forza agente sulla carica positiva è esattamente eguale e contraria a quella agente sulla negativa. Ben diverso è il caso del momento infatti se il dipolo ha una angolo <math>\theta\ </math> con la direzione del campo, sul sistema agirà una coppia di forze, data da due volte la forza per il braccio:
 
mentre con quella di destra:
<math>|\tau| = 2|F|(a \sin \theta ) = 2a|F|\sin \theta \,\!</math>
 
<math>V_2=V_o\frac {d_2}{d_1+d_2}=6\ V</math>
Il momento si è indicato con la notazione anglosassone <math>\tau| \!</math>, per non generare confusione con grandezze che si studieranno nel magnetismo.
Poichè <math>|F|=q|E|\,\!</math> e <math>|p|=(2a)(q)\,</math>, si ha che:
 
b)
<math>|\tau| = 2aq|E |\sin \theta = pE\sin \theta \,</math>
Se viene messo in contatto la lastra con l'armatura di destra la d.d.p., si annulla la d.d.p. come il campo tra di loro, quindi la capacità aumenta e diviene:
 
<math>C=C_o\frac {d_1+d_2}{d_1}=125\ pF</math>
Per questa ragione un dipolo elettrico immerso in un campo esterno uniforme <math>\scriptstyle \vec E</math>, è soggetto a un momento che tende ad allinearlo alla direzione del campo:
 
<math>\boldsymbol\tau=\vec p \times \vec E</math>
 
=== Spessore strato carico in un conduttore ===
Si deve fare un lavoro (positivo o negativo) mediante una azione esterna per cambiare la direzione relativa del dipolo rispetto al campo esterno. Essendo il campo elettrico conservativo, posso associare a tale lavoro una energia potenziale U.
<span class="noprint">[[#Spessore strato carico in un conduttore|&rarr; Vai alla traccia]]</span>
 
La densità di carica della nuvola di elettroni liberi (che è compensata esattamente dalle cariche ioniche positive fisse) vale:
Se <math>\theta \,\!</math> nella figura (a) ha il valore iniziale <math>{\theta }_0\,\!</math>, il lavoro necessario a ruotare il dipolo fino ad un angolo <math>\theta \,\!</math> è:
 
<math>\rho =en=1.35\cdot 10^{10}\ C/m^3</math>
<math>W=\int dW = -\int_{{\theta}_0}^{\theta} \tau d\theta =-\int_{{\theta}_0}^{\theta} pE\sin \theta d\theta = -pE\int_{{\theta}_0}^{\theta}\sin \theta d\theta=pE[\cos \theta - \cos {\theta}_0]</math>
 
La legge di Coulomb si può scrivere in realtà in due forme equivalenti:
Possiamo associare a tale lavoro (che dipende solo dall'angolo tra il campo e il dipolo) una energia potenziale <math>\Delta U\!</math> che è pari per definizione:
 
<math>E_o=\Deltafrac U=-W=-pE[{\cossigma }{\theta -varepsilon_o}=\frac {\cosrho t }{\thetavarepsilon_o}_0]\ </math>
 
Indicando con <math>t\ </math> l'allontanamento dalla posizione di equilibrio delle cariche libere necessario
Se si assume che l'energia potenziale è nulla per <math>{\theta }_0 \,\!</math>=90º: la scelta corrisponde ad assumere che il potenziale minimo si ha con il dipolo allineato nel verso e nella direzione del campo ed il massimo quando è allineato nella direzione del campo, ma con verso opposto.
a generare il campo <math>E_o\ </math>. Quindi:
Si ha quindi che:
 
<math>U\sigma = -pE\cosrho t\theta \,\!</math>
 
<math>t=\frac {E_o \varepsilon_o}{en}=6.4\cdot 10^{-15}\ m</math>
O in forma vettoriale
 
Per quanto l'intensità del campo sia così elevata lo spostamento della nuvola elettronica è talmente piccolo, che a tutti gli effetti giustamente si considera una densità di carica superficiale.
<math>U = -\vec p\cdot \vec E \ </math>
 
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Elettrostatica nei conduttori]]
Se il campo elettrico non è uniforme la dinamica è chiaramente più compilcata in quanto la risulatante delle forze non è più nulla a meno che il dipolo sia orientato nella direzione in cui il campo elettrico non varia. Ma chiaramente questa non è una situazione di equilibrio in quanto
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il momento sarà massimo in tale posizione e farà ruotare il dipolo allineandolo alle linee del campo. In generale la dinamica è molto complicata. Si semplifica il comportamento dinamico se si assume che l'allineamento del dipolo con le linee del campo avviene rapidamente rispetto al moto di trascinamento. Vi sarà un moto di trascinamento, in quanto se viene assunto come asse
delle <math>x\ </math> la direzione locale del campo elettrico su cui si allineato il dipolo.
Assunta l'origine sul centro del dipolo, la posizione della carica negativa sarà <math>-a\ </math>
e quella della positiva <math>a\ </math>.
La risultante della forza sarà quindi:
 
<math>F_x=qE_x(a)-qE_x(-a)\ </math>
 
Se la variazione di <math>E_x\ </math> non è troppo brusca:
 
<math>E_x(-a)\approx E_x(0)-\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}a\ </math>
 
<math>E_x(a)\approx E_x(0)+\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}a\ </math>
 
Quindi:
 
<math>F_x\approx 2qa\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}=p\frac {\partial E_x}{\partial x}\ </math>
 
Cioè i dipolo sono trascinati nella regione dove più intenso è il campo elettrico. Tale forza di trascinamento viene utilizzata nelle fotocopiatri per trascinare il toner sulla carta.
 
 
== Energia potenziale elettrica==
In condizioni statiche, l'intera energia del sistema di cariche esiste solo come energia potenziale. Tale energia è il lavoro richiesto per formare una certa distribuzione di cariche.
 
Se possiedo semplicemente due cariche <math>q_1\ </math> e <math>q_2\ </math> e proviamo ad avvicinarle alla distanza <math>r_{12}\ </math> a partire da una distanza infinita, la differenza di energia potenziale posseduta dal sistema, nella condizione finale rispetto alla condizione iniziale è evidentemente:
 
<math>U=\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac {q_1q_2}{r_{12}}\ </math>
 
Si può estendere il ragionamento ad un sistema di <math>n\ </math> cariche <math>q_i\ </math>
poste a distanza reciproca <math>r_{ij}\ </math>. Per tale sistema l'energia totale é, per semplice estensione del caso precedente eguale a:
 
<math>U=\frac 12 \frac 1{4\pi \epsilon_o}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n
\frac {q_iq_j}{r_{ij}}\qquad i\ne j\ </math>
 
dove il termine 1/2 è stato introdotto per eliminare le coppie considerate due volte, una volta scambiati ''i'' e ''j''. Separando le due [[w:Serie|sommatorie]] si riconosce il :
 
<math>U = \frac {1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_i \cdot \sum_{j = 1}^{n} \frac {q_j}{4\pi\epsilon_0 r_{ij}} = \frac {1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_i \cdot V_i</math>
 
Nel caso di distribuzioni continue di carica si ha:
 
<math>U= \int_\tau \frac{1}{2} \rho V \operatorname{d}\tau</math>
 
con <math>\rho(x,y,z)\,\!</math> densità di carica e <math>\operatorname{d}\tau=\operatorname{d}x\operatorname{d}y\operatorname{d}z</math> volume infinitesimo.
 
Nell'esempio seguente non viene usata la formula precedente, ma viene fatto un ragionamento fisico.
 
=== Caso di una sfera uniformemente carica===
Immaginiamo di voler costruire una sfera uniformemente carica di raggio <math>R\ </math> e carica totale <math>Q\ </math>. Immaginiamo di assemblarla successivamente aggiungendo via via dei gusci sferici infinitesimi di volume <math>d\tau =4\pi r^2 dr\ </math>. Il processo di costruzione inizia con la sfera di raggio <math>r=0\ </math> e finisce con la sfera di raggio <math>R\ </math>.
 
La densità di carica vale ovviamente:
 
<math>\rho=\frac {3Q}{4\pi R^3}
</math>
Quindi quando la sfera ha un raggio <math>r\ </math> con <math>0\le r \le R</math> il lavoro necessario ad aggiungere un guscio di spessore infinitesimo <math>dr\ </math> vale:
 
<math>dU=V_r\rho d\tau\ </math>
 
Dove <math>V_r\ </math> è la differenza di potenziale tra la superficie della sfera e l'infinito quando il suo raggio vale <math>r\ </math>:
 
<math>V_r=\frac {\rho \frac 43 \pi r^3}{4\pi \varepsilon_o r}=\frac {\rho r^2}{3 \epsilon_o }\ </math>
 
Esplicitando l'eq. 2:
 
<math>dU=\frac {\rho^2 4\pi r^4 dr}{3 \varepsilon_o}</math>
 
Quindi integrando l'ultima espressione tra 0 ed R si ha:
 
<math>U=\int_0^R \frac {\rho^2 4\pi r^4 dr}{3 \varepsilon_o}
=\frac {\rho^2 4\pi R^5}{15 \varepsilon_o}=\frac {3Q^2}{20\pi \varepsilon_o R} \ </math>
 
===Energia associata al campo elettrostatico===
 
Consideriamo una distribuzione finita di carica, nel volume <math>T\ </math> che genera quindi nello spazio un campo elettrico a cui posso associare un potenziale elettrico. L'energia elettrostatica totale del sistema vale (formula precedente):
 
<math>U= \int_T \frac{1}{2} \rho V \operatorname{d}\tau</math>
 
Applicando teorema di [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Il teorema di Gauss in forma differenziale|Gauss in forma differenziale]]
 
<math>U= \int_T \frac{1}{2} \varepsilon_o \left( \vec \nabla \cdot \vec E\right) V \operatorname{d}\tau\ </math>
 
Poichè:
 
<math> \vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)=\left( \vec \nabla \cdot \vec E \right) V+
\vec E \cdot \vec \nabla V\ </math>
 
da cui:
 
<math>\left( \vec \nabla \cdot \vec E\right) V=\vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)-
\vec E \cdot \vec \nabla V\ </math>
 
quindi:
 
<math> U= \int_T \frac{1}{2} \varepsilon_o\left[ \vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)-\vec E \cdot \vec \nabla V\right]\operatorname{d}\tau \ </math>
 
Usando la formula inversa dal potenziale elettrico al campo:
 
<math> U= \frac 12 \varepsilon_o \int_T \vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)\operatorname{d}\tau+\frac{1}{2} \varepsilon_o \int_T E^2\operatorname{d}\tau \ </math>
 
Estendendo l'integrale a tutto lo spazio, quindi una sfera di raggio infinito, il primo termine per il [[w:Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] diventa il flusso del prodotto del campo elettrico che va con <math>1/R^2\ </math> e del potenziale <math>V\ </math> come <math>1/R\ </math> (Entrambi decrescono più velocemente se la carica netta è nulla). Poichè l'integrale superficiate di una sfera va come <math>R^2\ </math> si ha che il primo termine si annulla, quindi rimane solo il secondo termine:
 
<math> U= \frac{1}{2} \varepsilon_o \int_{Spazio} E^2\operatorname{d}\tau \ </math>
 
Quindi <math> \frac{1}{2} \varepsilon_o E^2\ </math> è l'energia per unità di volume del campo elettrostatico.
 
 
==Conservatività del campo elettrostatico==
A causa della conservatività del campo elettrostatico abbiamo che <math>\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math> è indipendente dal percorso che seguiamo per andare da <math>a \ </math> a
<math>b \ </math>. Se in particolare <math>a \ </math> coincide con <math>b \ </math>, cioè il cammino è una linea chiusa si ha che:
 
<math>\oint_l \vec E\cdot d\vec l=0\ </math>
 
Cioè la circuitazione del campo elettrostatico lungo una linea chiusa è identicamente nullo.
Tale proprietà è una proprietà integrale cioè riguarda una porzione macroscopica in cui tale campo
è definito, ma vale qualunque sia la linea chiusa che noi consideriamo.
 
Il prodotto vettoriale di <math>\vec \nabla\ </math> con il generico vettore
<math>\vec A\ </math> viene chiamato rotore:
 
<math>rot \vec A=\vec \nabla \times \vec A=\left ( \begin{matrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
\frac {\partial}{\partial x}& \frac {\partial}{\partial y}& \frac {\partial}{\partial z}\\
A_x&A_y&A_z
\end{matrix} \right) =\left( \frac {\partial A_z}{\partial y}-\frac {\partial A_y}{\partial z} \right) \vec i
+\left( \frac {\partial A_x}{\partial z}-\frac {\partial A_z}{\partial x}\right) \vec j
+\left( \frac {\partial A_y}{\partial x}-\frac {\partial
A_x}{\partial y}\right) \vec k</math>
 
Il rotore di un campo vettoriale dà una misura dei vortici presenti nel campo stesso. Se abbiamo un corpo rigido che ruota con velocità angolare costante <math>\omega\ </math> attorno ad un asse, il rotore del campo delle velocità istantanee è un vettore diretto lungo l'asse di rotazione con
intensità <math>2\omega\ </math>. Mentre se lo stesso oggetto si muove di moto traslatorio il vettore del campo vettoriale velocità è nullo,
 
Si dimostra analiticamente, [[w:Teorema_di_Stokes|Teorema di Stokes]] che la circuitazione di un generico vettore <math>\vec A\ </math> attraverso una linea chiusa <math>L\ </math> che delimita una superficie aperta <math>S\ </math> vale esattamente:
 
<math>
\oint \vec A\cdot \vec {dl}=\int_Srot \vec A\cdot \vec {ds}
\ </math>
 
Questa equazione permette di trasformare un integrale di linea in
uno di superficie.
 
Nel caso specifico della circuitazione del campo Elettrostatico:
 
<math>\oint_l \vec E\cdot d\vec l=\int_S\vec \nabla \times \vec E=0\ </math>
 
Dove <math>S\ </math> è una qualsiasi superfice aperta che ha come contorno la linea <math>l\ </math>.
 
Ma poiché l'ultima identità vale qualsiasi sia la superfice <math>S\ </math>, per verificare tale
condizione occorre che l'integrando sia identicamente nullo:
 
<math>\vec \nabla \times \vec E=0\ </math>
 
Questa è la relazione locale del campo elettrostatico.
 
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