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Fisica classica/Elettrodinamica: differenze tra le versioni

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Se trascorso un tempo <math>dt\ </math> la carica diminuisce di <math>-dQ\ </math>. Per la conservazione della carica una corrente elettrica (rappresentata dalle frecce nella figura) deve avere attraversato la superficie <math>S\ </math>. In maniera che:
{{Equazione|eq=<math> -dQ=\int_S\vec J \cdot \vec {dS} dt\ </math>|id=6}}
Quindi posso scrivere, se la superficie non varia nel tempo:
{{Equazione|eq=<math>-\frac {\partial QdQ}{\partial tdt}=\int_S\vec J \cdot \vec {dS}</math>|id=7}}
Tale equazione è spesso indicata con il nome di ''equazione di continuità in forma integrale''.
In condizioni stazionarie, cioè quando la carica all'interno del volume considerato non varia
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flusso uscente dalla superficie laterale. Si ha che:
[[Image:Conduttoresezionevariabile.png|thumb|250px|right|Un conduttore di sezione variabile]]
 
La equazione di continuità (7) può essere espressa in forma locale se il campo vettoriale
<math>\vec J\ </math> è derivabile. Infatti definendo <math>T\ </math> il volume che ha come contorno la superficie <math>S\ </math> si ha che usando la definizione di <math>Q\ </math> ed:
{{Equazione|eq=<math>-Q(t)=\frac int_{\partial tau}\rho}{\partial t}=d\vec \nabla \cdot \vec Jtau </math>|id=109}}▼
il [[w:Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]]:▼
e se la superficie di contorno <math>S\ </math> non varia nel tempo:
{{Equazione|eq=<math>-\frac {\partial }{\partial t}\int_T\rho d\tau =\int_T\vec \nabla \cdot \vec J d\tau</math>|id=9}}▼
{{Equazione|eq=<math>\frac {dQ}{dt}=\int_{\tau}\frac {\partial \rho}{\partial t} d\tau </math>|id=10}}
La scelta del volume <math>T\ </math> è arbitraria, quindi l'unica possibilità è che gli integrandi siano eguali:▼
Notare come mentre <math>Q(t)\ </math> dipenda solo dal tempo quindi la sua rispetto al tempo è una derivata totale , in genere <math>\rho\ </math> invece dipende anche dallo spazio oltre che dal tempo quindi la derivata temporale è parziale. Se si sostituisce nella equazione (7) al primo membro l'espressione (10) e per quanto riguarda il secondo membro
▲{{Equazione|eq=<math>-\frac {\partial \rho}{\partial t}=\vec \nabla \cdot \vec J </math>|id=10}}
▲si usa il [[w:Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]]:
Che è equazione di continuità in forma locale.▼
▲{{Equazione|eq=<math>-\int_T\frac {\partial \rho}{\partial t}\int_T\rho d\tau =\int_T\vec \nabla \cdot \vec J d\tau</math>|id=911}}
▲La scelta del volume <math>T\ </math> è arbitraria, quindi l'unicaaffinchè possibilitài èdue integrali coincidando occorre che anche gli integrandi siano eguali, cioè:
{{Equazione|eq=<math>-\frac {\partial \rho}{\partial t}=\vec \nabla \cdot \vec J </math>|id=12}}
▲Che è detta l'equazione di continuità in forma locale.
 
Ritornando alla espressione integrale, eq. 8, nel caso stazionario applicato alla figura del conduttore a sezione variabile:
Line 87 ⟶ 92:
Cioè la corrente attraverso le due sezioni è la stessa.
 
Se la regione di spazio in cui convergono più fili conduttori, non ha capacità elettrica, anche in condizioni non stazionarie la carica contenuta nella regione di spazio non può variare essendo
identicamente nulla. Tale regione di spazio viene detto ''nodo''. L'applicazione della (7) comporta che :
{{Equazione|eq=<math>I_1+I_2+I_3+....+I_n=0\ </math>|id=1113}}
La somma delle correnti che convergono su un nodo è nulla: la somma delle correnti entranti eguaglia le uscenti. Questa legge viene detta prima legge di Kirchhoff.
 
Line 110 ⟶ 115:
 
{{Equazione|eq=<math>\vec E=\frac {m} {nq^2\tau }\vec J=\rho \vec J
</math>|id=1214}}
 
Tale legge viene chiamata legge di Ohm in forma microscopica. La legge di Ohm vale sempre nei conduttori, mentre per quanto riguarda le altre sostanze: semiconduttori, isolanti (gas, liquidi solidi) ha un intervallo limitato di validità. Infatti in genere in queste sostanze solo se il campo elettrico è inferiore ad un certo valore (dipendente dal mezzo e spesso dalla sua storia) si ha una proporzionalità diretta tra campo elettrico e densità di corrente. La quantità:
Line 116 ⟶ 121:
<math>\rho= \frac {m}{nq^2\tau }\ </math>
 
é detta resistività elettrica ed è una grandezza che dipende dal mezzo considerato. InoltreNon talesi quantitàfaccia confusione con una altra grandezza la densità di carica contenuta, per la quale si usa per convenzione universalmente accettata lo stesso simbolo, per evitare confusione la densità di carica non verrà più utilizzata nel seguito di questo capitolo. La resistività elettrica nei metalli varia approssimativamente in maniera lineare con la temperatura secondo la
legge:
{{Equazione|eq=<math>\rho=\rho_0(1+\alpha T)\ </math>|id=1315}}
Con <math>\alpha\ </math> detto coefficiente di temperatura, <math>\rho_0\ </math> la resistività alla temperatura di riferimento (comunemente <math>^o0\ C</math>).
 
Line 150 ⟶ 155:
ed i coefficienti di temperatura di alcune sostanze a temperatura ambiente. Volutamente sono state messe nella tabella dei metalli, tutti con resistività molto bassa, ed altri materiali. La distinzione tra conduttori ed isolanti diventa quantitativa con la definizione di resistività elettrica come appare chiaro dalla tabella. Mentre la legge di Ohm, vale senza limitazione nei conduttori, purché la temperatura sia mantenuta costante, nelle altre sostanze la validità è limitata al fatto che il campo elettrico localmente non ecceda la rigidità dielettrica del mezzo.
 
La espressione data in eq.1214 è poco utilizzabile in pratica poiché nei conduttori è più facile misurare la d.d.p. macroscopica che il campo elettrico locale. Consideriamo un cilindro conduttore di lunghezza <math>l\ </math>, sezione normale <math>S\ </math> e resistività <math>\rho\ </math>. Se applichiamo una d.d.p. <math>V\ </math> tra gli estremi:
 
<math>|E|l=V\ </math>
Line 159 ⟶ 164:
 
Sostituendo tale quantità nella eq.12, proiettando nella direzione della velocità di deriva, risulta:
{{Equazione|eq=<math>\frac Vl=\frac {\rho I}S\ </math>|id=1416}}
Da cui se definisco:
{{Equazione|eq=<math>R=\rho \frac lS\ </math>|id=1517}}
la resistenza del conduttore, posso riscrivere la eq.14 come:
{{Equazione|eq=<math>V=IR\ </math>|id=16}}
Line 167 ⟶ 172:
Se il conduttore non è a sezione costante ed al limite la resistività
varia con la posizione la generalizzazione della eq.15 porta a:
{{Equazione|eq=<math>R=\int_0^l\rho (x)\frac {dx}{S(x)}\ </math>|id=1719}}
 
[[Immagine:Simbolo resistore.png|thumb|250px|right|Simbolo di un resistore]]
Line 202 ⟶ 207:
resistenza equivalente di valore eguale a:
 
{{Equazione|eq=<math>R_e= \frac{1}{\sum_{i=1}^n\frac 1{R_i}}\ </math>|id=1820}}
 
=== Resistenze in serie ===
Line 217 ⟶ 222:
Quindi la serie di <math>n\ </math> resistenze equivale ad una resistenza equivalente pari alla somma dei singoli elementi:
 
{{Equazione|eq={{Equazione|eq=<math>R_e=\sum_{i=1}^n R_i\ </math>|id=1921}}
 
Si noti come le resistenze elettriche si comportano in maniera opposta ai condensatori per
Line 227 ⟶ 232:
corrente <math>I\ </math> e ai cui capi vi è una d.d.p. pari a <math>V\ </math>, tutta l'energia elettrica ceduta al conduttore viene dissipata o in calore o in altre forme di energia. Quantitativamente la potenza elettrica dissipata è pari al lavoro compiuto sulla carica <math>dQ\ </math> che nel tempo <math>dt\ </math> va tra il punto <math>a\ </math> e <math>b\ </math> la cui d.d.p. vale <math>V\ </math>.
 
{{Equazione|eq=<math>P=V\frac {dQ}{dt}=VI\ </math>|id=2022}}
 
In particolare, se per il conduttore vale la legge di Ohm, la eq.20 si può scrivere come:
 
{{Equazione|eq=<math>P=I^2R=\frac {V^2}R\ </math>|id=2123}}
 
Da un punto di vista microscopico, considerando i singoli portatori di carica a causa del moto viscoso la potenza dissipata è pari secondo le leggi della meccanica del punto per ogni portatore a :
Line 240 ⟶ 245:
 
 
{{Equazione|eq=<math>dP_T=dTn q \vec E\cdot \vec {v_d}=dT\vec E\cdot (nq\vec {v_d})=dT\vec E\cdot \vec J\ </math>|id=2224}}
 
Quindi per unità di volume:
 
{{Equazione|eq=<math>P_u=\vec E \cdot \vec J\ </math>|id=2325}}
 
Quindi in un volume <math>T\ </math> la potenza totale dissipata vale:
Line 250 ⟶ 255:
<math>P=\int_T\vec E \cdot \vec JdT\ </math>
 
Se vale la legge di Ohm la eq.\ref{Joulelo}(25) si riduce a:
 
{{Equazione|eq=<math>P_u=\rho J^2=\frac {E^2}{\rho}\ </math>|id=2426}}
 
A temperatura ambiente, come regola generale, si può affermare che una potenza dissipata maggiore di qualche decina di <math>W/cm^3\ </math> richiede in genere metodi di dissipazione particolari per evitare che i conduttori si scaldino eccessivamente.
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