Fisica classica/Conduttori: differenze tra le versioni
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La figura mostra un condensatore, cioè un oggetto formato da due conduttori isolati <math>a\ </math> e <math>b\ </math> di forma arbitraria (dette ''armature'' del condensatore). Supponiamo che sulle due armature vengano disposte cariche eguali ed opposte <math>+Q\ </math> e <math>-Q\ </math>. Nel caso più semplice i conduttori sono immersi nel vuoto.
Chiamiamo <math>V\ </math> la differenza di potenziale (d.d.p.) tra i due conduttori. A causa del principio di sovrapposizione degli
effetti, se moltiplichiamo per <math>n\ </math> la carica di ciascuno dei conduttori, anche la d.d.p. aumenterà
della stessa quantità.
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<math>C=\frac QV=4\pi \varepsilon_o R\ </math>
Un conduttore isolato ha una capacità elettrica estremamente piccola, come si evince dalla formula precedente. Se ad esempio <math>R\ </math> è il raggio della Terra, <math>6350\ km</math>, risulta <math>C\ </math> di appena <math>706\ \mu F</math>.▼
▲Un conduttore isolato ha una capacità elettrica estremamente piccola, come si evince dalla formula precedente. Se ad esempio <math>R\ </math> è il raggio della Terra, <math>6350\ km</math>, risulta <math>C\ </math> di appena <math>706\ \mu F</math>.
===Condensatore Piano===
[[Immagine:CONDPIA.png|300px|right|thumb|Un condensatore piano con distanza <math>d\ </math> tra le armature]]
La figura a fianco mostra il più elementare dei condensatori(anche il più usato), il condensatore ''piano''. In questo caso le armature sono due superfici piane parallele di area <math>S\ </math> separate da una distanza <math>d</math> (piccola rispetto alle dimensioni laterali delle armature).
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<math>C=\frac QV=\varepsilon_o\frac Sd\ </math>
=== Unità di misura della costante dielettrica del vuoto===
Dalla relazione precedente per un condensatore a facce piane e parallele possiamo scrivere che
<math>\varepsilon_o=\frac {C\ d}{S}\ </math>
Quindi ha le dimensioni di una capacità elettrica diviso una lunghezza per questa ragione in genere
si dice che:
$$\varepsilon_o=8.854\cdot 10^{-12}\ F/m$$
===Condensatore sferico===
[[Immagine:Spherical Capacitor.svg|150px|right|thumb|Un condensatore sferico]]
Immaginiamo di avere due sfere concentriche di raggio esterno <math>R_1\ </math> e interno <math>R_2\ </math>
come mostrato in figura. Immaginiamo di mettere una carica <math>Q\ </math> nella armatura interna ed una <math>-Q\ </math>, in quella esterna. Il campo tra le armature sarà
semplicemente pari a:
<math>\vec E=\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o r^3}\vec r\qquad R_1<r<R_2\ </math>
Quindi la differenza di potenziale tra le due armature vale:
<math>\Delta V=\int_{R_1}^{R_2}\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o r^3}\vec r\cdot \vec {dl}=
\int_{R_1}^{R_2}\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o r^2}dr=\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o }\left[-\frac 1r \right]_{R_1}^{R_2}=\frac {Q}{4\pi \varepsilon_o }
\frac {R_2-R_1}{R_1R_2}\ </math>
Da cui si ricava:
<math>C=\frac Q{\Delta V}=4\pi \varepsilon_o\frac {R_1R_2}{R_2-R_1}\ </math>
<math>R_2=R_1+d\ </math> se <math>d\ll R_1\ </math> in questo caso <math>R_1R_2\approx R_1^2\ </math>:
<math>C\approx 4\pi \varepsilon_o\frac {R_1^2}d=\varepsilon_o\frac Sd\ </math>
Dove <math>S=4\pi R_1^2\ </math> è la superfice dell'armatura interna. Si ritrova una espressione simile a quella di un condensatore a facce piane e parallele.
===Condensatore Cilindrico===
[[Immagine:Cylindrical Capacitor.svg|250px|right|thumb|Un condensatore cilindrico]]
Immagiamo di avere un conduttore cilindrico di raggio <math>R_1\ </math> e coassialmente un secondo conduttore di raggio interno <math>R_2\ </math>. Se la distanza tra le armature è piccola per cui si un campo radiale che non dipende dalla distanza dagli estremi, chiamata <math>l\ </math>
la lunghezza del condensatore, il campo elettrico è radiale e vale:
<math>\vec E=\frac {Q}{2\pi l\varepsilon_o r^2}\vec r\qquad R_1<r<R_2\ </math>
Dunque:
<math>\Delta V=\int_{R_1}^{R_2}\vec E\cdot \vec{dl}=\frac {Q}{2\pi l\varepsilon_o}\int_{R_1}^{R_2}\frac {dr}r=\frac {Q}{2\pi l\varepsilon_o}\ln {\frac{R_2}{R_1}}\ </math>
Da cui si ricava:
<math>C=\frac Q{\Delta V}=2\pi \varepsilon_ol \frac 1{\ln \frac{R_2}{R_1}}\ </math>
===Altri esempi===
Alcuni esempi chiariscono quanto detto: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss#Tre_gusci_sferici|'''caso di tre gusci sferici concentrici''']],
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss#Una goccia d'acqua|'''una goccia d'acqua: un liquido conduttore''' ]].
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