Fisica classica/Potenziale elettrico: differenze tra le versioni
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vi era una confusione sui segni tra lavoro ed energia potenziale corretto |
Aggiunta energia del campo elettrostatico |
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poste a distanza reciproca <math>r_{ij}\ </math>. Per tale sistema l'energia totale é, per semplice estensione del caso precedente eguale a:
\frac {q_iq_j}{r_{ij}}\qquad i\ne j\ </math>
<math>U = \frac {1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_i \cdot \sum_{j = 1}^{n} \frac {q_j}{4\pi\epsilon_0 r_{ij}} = \frac {1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_i \cdot V_i</math>
Nel caso di distribuzioni continue di carica si ha:
<math>U= \int_\tau \frac{1}{2} \rho V \operatorname{d}\tau</math>
con <math>\rho(x,y,z)\,\!</math> densità di carica e <math>\operatorname{d}\tau=\operatorname{d}x\operatorname{d}y\operatorname{d}z</math> volume infinitesimo.
Nell'esempio seguente non viene usata la formula precedente, ma viene fatto un ragionamento fisico.
=== Caso di una sfera uniformemente carica===
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Quindi quando la sfera ha un raggio <math>r\ </math> con <math>0\le r \le R</math> il lavoro necessario ad aggiungere un guscio di spessore infinitesimo <math>dr\ </math> vale:
Dove <math>V_r\ </math> è la differenza di potenziale tra la superficie della sfera e l'infinito quando il suo raggio vale <math>r\ </math>:
<math>V_r=\frac {\rho \frac 43 \pi r^3}{4\pi \
Esplicitando l'eq. 2:
<math>dU=\frac {\rho^2 4\pi r^4 dr}{3 \
Quindi integrando l'ultima espressione tra 0 ed R si ha:
=\frac {\rho^2 4\pi R^5}{15 \
===Energia associata al campo elettrostatico===
Consideriamo una distribuzione finita di carica, nel volume <math>T\ </math> che genera quindi nello spazio un campo elettrico a cui posso associare un potenziale elettrico. L'energia elettrostatica totale del sistema vale (formula precedente):
<math>U= \int_T \frac{1}{2} \rho V \operatorname{d}\tau</math>
Applicando teorema di [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Il teorema di Gauss in forma differenziale|Gauss in forma differenziale]]
<math>U= \int_T \frac{1}{2} \varepsilon_o \left( \vec \nabla \cdot \vec E\right) V \operatorname{d}\tau\ </math>
Poichè:
<math> \vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)=\left( \vec \nabla \cdot \vec E \right) V+
\vec E \cdot \vec \nabla V\ </math>
da cui:
<math>\left( \vec \nabla \cdot \vec E\right) V=\vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)-
\vec E \cdot \vec \nabla V\ </math>
quindi:
<math> U= \int_T \frac{1}{2} \varepsilon_o\left[ \vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)-\vec E \cdot \vec \nabla V\right]\operatorname{d}\tau \ </math>
Usando la formula inversa dal potenziale elettrico al campo:
<math> U= \frac 12 \varepsilon_o \int_T \vec \nabla \cdot \left( \vec EV \right)\operatorname{d}\tau+\frac{1}{2} \varepsilon_o \int_T E^2\operatorname{d}\tau \ </math>
Estendendo l'integrale a tutto lo spazio, quindi una sfera di raggio infinito, il primo termine per il [[w:Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]] diventa il flusso del prodotto del campo elettrico che va con <math>1/R^2\ </math> e del potenziale <math>V\ </math> come <math>1/R\ </math> (Entrambi decrescono più velocemente se la carica netta è nulla). Poichè l'integrale superficiate di una sfera va come <math>R^2\ </math> si ha che il primo termine si annulla, quindi rimane solo il secondo termine:
<math> U= \frac{1}{2} \varepsilon_o \int_{Spazio} E^2\operatorname{d}\tau \ </math>
Quindi <math> \frac{1}{2} \varepsilon_o E^2\ </math> è l'energia per unità di volume del campo elettrostatico.
==Conservatività del campo elettrostatico==
A causa della conservatività del campo elettrostatico abbiamo che <math>\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math> è indipendente dal percorso che seguiamo per andare da <math>a \ </math> a
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