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[[Fisica_classica/Carica_elettricaCampi_elettrici| Argomento precedente: La caricalegge elettricadi Gauss]]
 
== Definizione di campoPotenziale elettrico ==
[[Immagine:Two_points_connect_in_two_way.png|thumb|250px|right|Due diversi percorsi che connettono
due punti dello spazio]]
Estendendo il concetto di conservatività definito per le forze ai campi è facile mostrare come il campo elettrico generato da una carica puntiforme sia conservativo, cioè con riferimento alla figura a fianco, l'integrale di linea per andare da un punto a ad un punto b:
 
<math>
Sia <math>\vec{F}</math> la [[w:Forza_elettrica|forza coulombiana]] e <math>q_{0}\ </math> la carica elettrica di prova che intendiamo utilizzare.
\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math>
 
non dipende dal percorso seguito, ma solo dagli estremi di integrazione. Questa è una conseguenza del fatto che la forza elettrica è [[w:Forza_centrale|centrale]]. Quindi, analogamente all'energia potenziale, possiamo definire '''differenza di potenziale elettrico''' (''d.d.p'') <math>V_b-V_a\ </math> presente tra i punti a e b:
Possiamo definire un [[w:Campo vettoriale|campo vettoriale]] <math>\vec{E}</math> dato da: <math>\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}</math>
 
<math>
Possiamo definire il campo anche come <math>\vec{E}(\vec{r}) = \lim_{q_0 \rightarrow 0} \frac{\vec{F}(\vec{r})}{q_0}\ </math>, tenendo presente che il limite non è da intendere in senso classico (poiché la carica è quantizzata e quindi non può essere
V_b-V_a=-\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math>
fisicamente resa piccola a piacere) bensì significa che la carica <math>q_0\ </math> deve essere abbastanza piccola rispetto alle cariche che generano il campo, in maniera da modificare il meno possibile la distribuzione di carica che consideriamo.
 
==Unità di misura ed ordini di grandezza==
La forza di interazione elettrostatica è una [[w:Forza_centrale|forza centrale]] e quindi [[w:Forza_conservativa|conservativa]]. Cioè il lavoro fatto dalla forza elettrica non dipende dal percorso lungo il quale è stato calcolato, ma solo dagli estremi del percorso.
Le dimensioni fisiche del potenziale elettrico sono quelle del rapporto tra una energia e la carica elettrica, quindi l'unita di misura nel [[w:Sistema_internazionale_di_unit%C3%A0_di_misura|Sistema Internazionale]] è detta [[w:Volt|Volt]] ed equivale a [[w:Joule|Joule]] diviso [[w:Coulomb|Coulomb]], indicato con il simbolo
Il campo elettrico ha le dimensioni di una forza diviso una carica elettrica, estendendo il concetto di conservatività dalle forze ai campi si può affermare che il campo elettrostatico è conservativo, cioè ammette l'esistenza di un campo scalare detto potenziale elettrico definito in maniera univoca a meno di una costante arbitraria, che vedremo nel seguito.
 
<math>[V]=\frac {[Energia]}{[Carica]}=\frac {[J]}{[C]}\ </math>
Le dimensioni fisiche del campo elettrico sono quelle di una forza divisa una carica. L'unità di misura è nel [[w:Sistema_Internazionale|Sistema Internazionale]] il Newton per Coulomb (N C<sup>-1</sup>) o equivalentemente il Volt per metro (V m<sup>-1</sup>). Il Volt (simbolo V) verrà introdotto nel seguito.
 
Di conseguenza l'unità di misura del campo elettrico, che ha le dimensioni di una forza divisa una carica, non è normalmente scritta come <math>N/C\ </math>, ma si preferisce indicarla in <math>V/m\ </math>.
Dal punto di vista del mondo fisico in realtà si ha che le forze tra oggetti distanti vengono mediate dai campi. Concettualmente la differenza è fondamentale, infatti
mentre alla azione a distanza tra due oggetti non possiamo associare un tempo caratteristico di propagazione, il campo originato da una carica si propaga con una velocità caratteristica del campo
stesso. Nel caso del campo elettrico nel vuoto tale velocità è quella della luce, per cui nella maggior parte dei casi, essendo molto elevata rispetto alle altre velocità con cui siamo abituati a lavorare appare praticamente infinita. Ma nei fenomeni elettrici variabili nel tempo la velocità della luce gioca un ruolo importante per la comprensione dell'elettromagnetismo. Oltre al
ruolo concettualmente essenziale del campo, la sua introduzione
permette di studiare in maniera più semplice l'elettrostatica.
Infatti la presenza di cariche di due segni presenta una ovvia difficoltà nel trattare la distribuzione generale di molte cariche.
== Campo Elettrico generato da una carica puntiforme ==
 
<math>[E]=\frac {[Forza]}{[Carica]}=\frac {[V]}{[m]}\ </math>
Consideriamo il caso di una carica puntiforme <math>q\ </math> posta nell'origine delle coordinate
ed un carica <math>q_o\ </math> posta nel punto <math>P\ </math> a distanza <math>r\ </math> dall'origine.
 
I campi elettrici sono estremamente difficili da misurare in quanto la presenza di materia li modifica sostanzialmente. Campi elettrici dell'ordine di qualche <math>10^6\ V/m\ </math> nell'aria sono considerati campi molto intensi. Infatti con campi di questo ordine di grandezza l'aria cessa di essere un mezzo simile al vuoto e si comporta come un [[w:Plasma_%28fisica%29|plasma]]. I fulmini, l'effetto più appariscente dell'elettromagnetismo dagli albori della civiltà umana, sono una tipica manifestazione di tali campi intensi. Durante una giornata serena vi è naturalmente un campo elettrico la cui intensità al livello del mare è di circa un centinaio di V/m. Quindi un campo di questo ordine di grandezza presente naturalmente è considerato un campo elettrico di piccola intensità.
Con la legge di Coulomb possiamo scrivere:
 
Il potenziale elettrico è invece una grandezza che è entrata nell'uso comune, differenze di potenziale tra oggetti carichi isolati sono facilmente misurabili, tra frazioni di Volt a centinaia di Volt. Differenze di potenziali statiche di qualche nV sono estremamente difficili da misurare, mentre differenze di potenziale di molte centinaia di Volt possono essere estremamente pericolose per la salute umana se applicate tra due differenti parti del corpo umano: in realtà la pericolosità è legata alla corrente, di cui parleremo nel seguito.
<math>\vec{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_0 q}{r^2}\hat{u_n} </math>
 
La carica dell'elettrone di circa <math>1.6\times 10^{-19}\ C</math>, la minima carica possibile, indica chiaramente cosa sia una carica piccola. Il Coulomb rappresenta una grossa carica se distribuita su volumi di qualche <math>m^3\ </math>, ma se invece consideriamo la carica contenuta in una media nuvola di pioggia, che ha dimensioni di qualche km, facilmente la carica accumulata è di qualche decina di C. Ma dato il volume in gioco la densità volumetrica di carica è di solito inferiore a <math>10^{-9}\ C/m^3\ </math>, la densità di carica presente nell'aria in una giornata
dove <math>\hat{u_n}\ </math> è il versore del raggio.
serena è di appena un ordine di grandezza inferiore a tale grandezza.
In questo semplice caso, dalla definizione data di campo elettrico segue che:
 
=== Carica puntiforme===
<math>\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{u_n}</math>
Consideriamo, un caso particolare, il campo elettrico <math>\vec E\ </math> generato da una carica puntiforme <math>Q\ </math> posta nell'origine delle coordinate, come abbiamo visto vale:
 
<math>\vec E=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Q{r^2}\hat r\ </math>
Se la carica <math>q\ </math> fosse stata non nell'origine, ma nel punto <math>P'\ </math> di coordinate
<math>r'\ </math> semplicemente l'espressione del campo cambierebbe in:
 
Sostituendo, questa espressione, nella equazione precedente:
<math>\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{(r-r')^3} (\vec {r}-\vec {r'})\ </math>
 
<math>V_b-V_a
Avendo indicato con <math>\hat {u_n}= \frac {\vec {r}-\vec {r'}}{r-r'}\ </math> il versore che identifica la direzione tra <math>\vec {r'}\ </math> ed <math>\vec {r}\ </math>.
=-\int_a^b \vec E\cdot d\vec l
=== Rappresentazione mediante linee di campo===
=-\int_a^b |\vec E|\cdot |d\vec l|\cos \theta\ </math>
[[Immagine:VFPt plus.svg|left|thumb|200px|Linee di flusso prodotto da una carica positiva nello spazio]]
[[Immagine:VFPt minus.svg|thumb|200px|Linee di flusso entranti per il campo elettrico prodotto da una carica negativa nello spazio]]
Per rappresentare i campi elettrici spesso si usa una utile rappresentazione grafica mediante le cosidette linee del campo.
In tale rappresentazione la tangente alla linea determina la direzione del campo. Quindi esce dalle cariche positive che sono quindi sorgenti del campo (come mostrato nella figura a sinistra) ed entra nelle cariche negative che si considerano dei pozzi (come mostrato nella figura a destra).
La densità delle linee è una misura dell'intesità del campo stesso. Quindi nell'esempio mostrato
vicino alle sorgenti o pozzi del campo vi un maggior numero di linee per unità di superfici, rispetto alle zone lontane dove il campo si attenua. La rappresentazione è utile per mostrare graficamente il campo elettrico e sarà usata nel seguito.
 
dove <math>\theta\ </math> è l'angolo compreso tra i vettori <math>\vec E\ </math> e <math>d\vec l\ </math>. Il prodotto <math>dl\cos \theta\ </math>, rappresenta la proiezione lungo <math>r\ </math> di <math>dl\ </math>, quindi <math>dl\cos \theta=dr\ </math>:
=== Espressione del campo in coordinate cartesiane ===
La rappresentazione in coordinate cartesiane permette di calcolare in maniera analitica il problema. Viene fatto il calcolo esplicito per mostrare l'utilità della formula compatta appena indicata.
 
<math>V_b-V_a
Sia <math>P=(x_0,y_0,z_0)\ </math> il punto in cui risiede la carica che genera il campo elettrico. Il punto dove calcoliamo un campo ha coordinate<math>P = (x,y,z)\ </math>.
=-\int_a^b |E|dr=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q\int_{r_b}^{r_a}\frac 1{r^2}dr=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q\left[\frac 1{r_b} -\frac 1{r_a} \right]\
</math>
 
Quindi:
Il versore <math>\hat{u_n}</math> ha componenti:
<math>\hat{u_n} = \left( \frac{x-x_0}{r-r'}, \frac{y-y_0}{r-r'}, \frac{z-z_0}{r-r'} \right)</math>. Una volta ottenute le componenti del versore possiamo scomporre il campo in componenti lungo gli assi:
 
<math>V_b=V_a+
<math>E_x = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q(x-x_0)}{\left\{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
\frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q\left[\frac 1{r_b} -\frac 1{r_a} \right]\ </math>
 
Se <math>r_a=\infty\ </math> e poniamo che <math>V(r_a)=0\ </math>:
<math>E_y = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q(y-y_0)}{\left\{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
<math>E_z V_b= \frac{ 1}{4\pi \epsilon_0varepsilon_o} \frac Q{q(z-z_0)r_b}{\left\{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
Quindi assunto che all'infinito il potenziale sia nullo (una scelta arbitraria) e cambiando il nome di <math>r_b\ </math> in <math>r\ </math>:
Questa è l'espressione esplicita del campo elettrostatico generato dalla carica <math>q\ </math> posta nel punto di coordinate
<math>r'\ </math> nel punto di coordinate <math>r\ </math>.
 
<math>V(r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac Qr
Se invece di avere una singola carica avessimo più cariche il campo elettrico è semplicemente pari alla somma dei campi generati
\ </math>
dalle singole cariche. Tale proprietà è dovuta al principio di sovrapposizione delle forze elettriche.
 
=== Varie cariche puntiformi===
Se la distribuzione delle cariche è limitata nello spazio è sempre possibile assumere che il potenziale all'infinito sia nullo. Immaginando di avere <math>n\ </math> cariche <math>Q_i\ </math> disposte
ciascuna nella posizione di raggio vettore <math>\overrightarrow{r}_i\ </math>
(applicando il principio di sovrapposizione degli effetti) l'espressione del potenziale elettrico, nel punto individuato dal raggio
vettore <math>\overrightarrow{r}\ </math>, diventa:
 
<math>V(\overrightarrow{r})=
== Distribuzione discreta di carica ==
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
[[Immagine:VFPt_charges_minus_minus.svg|thumb|300px|Campo elettrico prodotto da due cariche negative]]
\sum_{i=1}^n\frac{Q_i}{|\vec r- \vec {r_{i}}|}\ </math>
Nel caso di n cariche disposte nello spazio il principio di sovrapposizione si traduce dal punto di vista matematico, nell'espressione:
 
Essendo V una funzione scalare, il calcolo del potenziale è molto più semplice.
<math>\vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i}{r_i^2} \hat{u_i}</math>
 
=== Caso continuo===
Dove indichiamo con <math>q_i</math> la i-esima carica della distribuzione con posizione <math>r_i=(x_i,y_i,z_i)\ </math>
Con ovvie estensioni al caso continuo, nel caso di distribuzione di cariche su una linea con densità lineare <math>\lambda\ </math>:
<math>
V(\overrightarrow{r})=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
\int_0^L
\frac{ \lambda dl}{|\vec r-\vec {r_l}|}\ </math>
 
Dove <math>\overrightarrow{r_l}\ </math> è il vettore posizione del generico elementino <math>dl\ </math>.
In modo del tutto analogo scriviamo le componenti del campo:
 
Con ragionamenti analoghi per distribuzione superficiale:
<math>E_x = \sum_{i = 1}^n\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i(x-x_i)}{\left\{ (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
<math>V
<math>E_y = \sum_{i = 1}^n\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i(y-y_i)}{\left\{ (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2\right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
(\overrightarrow{r})=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
\int_S
\frac{ \sigma ds}{|\vec r-\vec {r_s}|}\ </math>
 
e per distribuzione volumetrica:
<math>E_z = \sum_{i = 1}^n\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i(z-z_i)}{\left\{ (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
<math>V
== Esercizi utili==
(\overrightarrow{r})=
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Quattro_cariche_eguali|'''Campo generato da quattro cariche eguali sui vertici di un quadrato''']], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Un_semplice_quadrupolo|'''Il campo di un quadrupolo''']] ed anche il campo elettrico di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Otto_cariche_eguali|'''otto cariche elettriche poste sui vertici di un cubo''']].
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
\int_T
\frac{ \rho d\tau}{|\vec r-\vec {r_{\tau}}|}\ </math>
Queste relazioni sono analoghe alle equazioni ricavate per il campo elettrico.
 
===Dal potenziale elettrico al campo elettrico===
== Caso di un sistema con una distribuzione continua di carica ==
Quando abbiamo definito il potenziale elettrico siamo in realtà partiti dalla relazione infinitesima:
 
<math>dV
Fino ad adesso abbiamo trattato casi in cui riuscivamo a contare le particelle cariche. Ma nelle esperienze pratiche si deve tenere conto che il numero di particelle è molto elevato. Quindi introduciamo una nuova entità:
=- \vec E\cdot d\vec l\ </math>
 
Cioè la d.d.p. elettrico tra 2 punti, in coordinate cartesiane (x,y,z) e (x+dx,y+dy,z+dz), è pari all'opposto del prodotto scalare tra il campo elettrico e lo spostamento infinitesimo sulla traiettoria:
Sia <math>d\tau</math> un volumetto infinitesimo tale che contenga un numero abbastanza elevato di cariche. Si definisce densità di carica la quantità: <math>\rho = \frac{dq}{d\tau}</math>, ovvero la quantità di carica inclusa nel volumetto infinitesimo.
 
<math>dV=-E_xdx-E_ydy-E_zdz\ </math>
Supponiamo di voler misurare il campo in un punto di <math>P \in\mathbb{R}^3</math> di coordinate <math>(x,y,z)\ </math> e di avere una distribuzione di carica generatrice del campo. Isoliamo un volumetto che contiene una carica <math>dq</math> a coordinate <math>(x',y',z')\ </math>. Abbiamo che il campo infinitesimo generato dalla distribuzione di carica sarà:
 
Ma d'altro canto, secondo la definizione di differenziale, vale:
<math>d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{u} = \frac{\rho d\tau}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{u}</math>
 
<math>dV=\frac {\partial V}{\partial x}dx+\frac {\partial V}{\partial y}dy+\frac {\partial V}{\partial z}dz\ </math>
Il campo totale sarà ottenuto con una quadratura su tutto lo spazio:
 
Quindi:
<math>\vec{E}(\vec{r}) = \int d\vec{E}(\vec{r}) = \iiint_{\tau}\frac{\rho(x',y',z') dx'dy'dz'}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{u}</math>
 
<math>E_x=-\frac {\partial V}{\partial x}\ </math>;
Analogalmente alla distribuzione discreta possiamo ottenere le componenti del campo:
<math>E_y=-\frac {\partial V}{\partial y}\ </math>;
<math>E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}\ </math>;
 
Ricordando che abbiamo definito <math>\vec {\nabla}</math> (detto ''Nabla'') come:
 
<math>E_x\vec {\nabla}= (\frac {1\partial }{4\pi\epsilon_0}partial \iiint_{\taux} ,\frac {\rho(x',y',z')(x-x')dx'dy'dz'partial }{\left\{partial (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\}^{,\frac {3\partial }{2}}\partial z})\ </math>
 
Si ha che le equazioni precedenti si possono scrivere in maniera più compatta come:
<math>E_y = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\tau} \frac{\rho(x',y',z')(y-y')dx'dy'dz'}{\left\{ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
<math>\vec E=-\vec {\nabla}V\ </math>
<math>E_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\tau} \frac{\rho(x',y',z')(z-z')dx'dy'dz'}{\left\{ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
==Il dipolo elettrico==
Oltre alla densità di carica volumica si definiscono le densità di carica superficiale e lineare:
[[Image:Potenziale_dipolo_elettrico.png|thumb|250px|right|Un dipolo elettrico]]
Si chiama dipolo elettrico un insieme di due cariche eguali ed opposte:<math>+q\ </math> e <math>-q\ </math>, poste come nella figura a fianco a distanza <math>2a\ </math>. Un sistema di questo genere viene chiamato dipolo elettrico ed è caratterizzato dal suo momento di dipolo elettrico <math>\vec p\ </math>:
 
<math>\sigmavec p=2q \frac{dq}{dvec a\Sigma} </math>
 
Orientato dalla carica negativa a quella positiva. Il dipolo elettrico è tra le più semplici distribuzioni di cariche, solo la carica puntiforme è più semplice. Mentre in natura le cariche elementari non sono quasi mai isolate, in quanto la materia è neutra, esistono a livello elementare dipoli molecolari.
<math>\lambda = \frac{dq}{dl}</math>
 
Il calcolo del potenziale elettrico di un dipolo a distanza molto maggiore della separazione tra le cariche è una espressione molto utile. Il potenziale elettrico (supposta nulla la d.d.p. rispetto all'infinito ) in un punto <math>P\ </math> distante <math>r\ </math> dall'asse del dipolo posto nell'origini delle coordinate lungo un asse cartesiano (vedi figura a fianco) vale:
[[Immagine:Electric_Field_of_a_line.PNG|300px|right]]
 
<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\left( \frac q{r_1}-\frac q{r_2}\right)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} q\frac {r_2-r_1}{r_1r_2}\ </math>
Il campo elettrico generato in un punto <math>P\ </math> generico dello spazio, posto alla distanza
<math>\overrightarrow{r}\ </math> dall'origine <math>O\ </math>, da una distribuzione lineare di lunghezza <math>L\ </math>
vale:
 
Se <math>r_1\ </math> ed <math>r_2\ </math> (moduli delle distanze) sono molto maggiori della distanza tra le cariche <math>2a\ </math>, e se indichiamo con <math>\theta\ </math> l'angolo formato tra l'asse del dipolo con la direzione <math>\vec r\ </math>, si può scrivere:
 
<math>r_2-r_1\approx 2a\cos \theta\ </math>
<math>\overrightarrow{E}
(\overrightarrow{r})=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
\int_0^L
\frac{ \lambda dl}{|r-r_l|^3} ( \overrightarrow
r-\overrightarrow
{r_l})\ </math>
 
ed anche:
Dove <math>\overrightarrow{r_l}\ </math> è il vettore posizione del generico
 
elemento <math>dl\ </math> della linea con densità di carica <math>\lambda
<math>r_1r_2\approx r^2\ </math>
 
Quindi possiamo riscrivere l'equazione precedente come:
 
<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} q\frac {2aq}{r^2}\cos \theta
\ </math>
===Esempi su distribuzioni continue di carica===
Per quanto riguarda la distribuzione lineare di carica gli esercizi suggeriti sono:
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Una_sbarretta_sottile_isolante|'''sbarretta isolata''']], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Due_sbarre_allineate|'''due sbarrette allineate''']], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Due_sbarrette_perpendicolari|'''due sbarrette perpendicolari''']] e
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Una_spira_circolare_carica|'''un anello carico''']].
 
Dalla definizione del momento di dipolo elettrico come vettore potremo scrivere in maniera compatta:
La distribuzione superficiale viene esaminata in due casi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Un_disco_uniformemente_carico|'''un disco
 
isolante''']] ed [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Un_disco_sottile_conduttore|'''un disco conduttore''']].
<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {\vec p\cdot \vec r}{r^3}\ </math>
 
Tale espressione è valida solo per punti a distanza grande rispetto alla separazione delle cariche, nei punti vicini bisogna usare l'espressione esatta.
 
Nel caso particolare mostrato nella figura assunto come asse delle <math>z\ </math> la direzione del dipolo, in coordiate cartesiane, essendo <math>r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ </math>, tale espressione diventa:
 
<math>V=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {pz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\ </math>
[[Immagine:VFPt_dipole_electric.svg|thumb|300px|right|Linee del campo elettrico di un dipolo]]
 
Da tale espressione esplicita è possibile calcolare le tre componenti del campo elettrico secondo i tre assi cartesiani, sempre nell'approssimazione di distanza grande rispetto alle dimensioni del dipolo stesso:
 
<math>E_x=-\frac {\partial V}{\partial x}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {3pzx}{r^5}\ </math>
 
<math>E_y=-\frac {\partial V}{\partial y}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {3pzy}{r^5}\ </math>
 
<math>E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {p}{r^5}(3z^2-r^2)\ </math>
 
Nella figura accanto sono mostrate le linee del campo elettrico di un dipolo.
È possibile scrivere una espressione del campo elettrico in forma più generale che non dipende dall'avere orientato il dipolo secondo l'asse delle z:
 
<math>\vec E=\frac 1{4\pi \varepsilon_o r^5}\left[ 3(\vec p\cdot \vec r)\vec r-r^2\vec p\right]\ </math>
 
Due esercizi [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Un_dipolo|A]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica#Dipoli_differenza_di_potenziale|B]] possono servire a chiarire il concetto di dipolo.
 
[[Immagine:Dipolo_en_campo_electrico_uniforme.png|thumb|350px|right|Forze agenti su un dipolo da parte di un campo elettrico uniforme]]
=== Azione dei campi elettrici sui dipoli elettrici===
Dato un dipolo elettrico rigido posto in un campo elettrico esterno come tutti i sistemi rigidi bisogna considera la forza risultante ed il momento risultante. Se il campo elettrico è uniforme la risultante delle forze è chiaramente nulla in quanto la forza agente sulla carica positiva è esattamente eguale e contraria a quella agente sulla negativa. Ben diverso è il caso del momento infatti se il dipolo ha una angolo <math>\theta\ </math> con la direzione del campo, sul sistema agirà una coppia di forze, data da due volte la forza per il braccio:
 
<math>|\tau| = 2|F|(a \sin \theta ) = 2a|F|\sin \theta \,\!</math>
 
Il momento si è indicato con la notazione anglosassone <math>\tau| \!</math>, per non generare confusione con grandezze che si studieranno nel magnetismo.
Poichè <math>|F|=q|E|\,\!</math> e <math>|p|=(2a)(q)\,</math>, si ha che:
 
<math>|\tau| = 2aq|E |\sin \theta = pE\sin \theta \,</math>
 
Per questa ragione un dipolo elettrico immerso in un campo esterno uniforme <math>\scriptstyle \vec E</math>, è soggetto a un momento che tende ad allinearlo alla direzione del campo:
 
<math>\boldsymbol\tau=\vec p \times \vec E</math>
 
Si deve fare un lavoro (positivo o negativo) mediante una azione esterna per cambiare la direzione relativa del dipolo rispetto al campo esterno. Essendo il campo elettrico conservativo, posso associare a tale lavoro una energia potenziale U.
 
Se <math>\theta \,\!</math> nella figura (a) ha il valore iniziale <math>{\theta }_0\,\!</math>, il lavoro necessario a ruotare il dipolo fino ad un angolo <math>\theta \,\!</math> è:
 
<math>W=\int dW = -\int_{{\theta}_0}^{\theta} \tau d\theta =-\int_{{\theta}_0}^{\theta} pE\sin \theta d\theta = -pE\int_{{\theta}_0}^{\theta}\sin \theta d\theta=pE[\cos \theta - \cos {\theta}_0]</math>
 
Possiamo associare a tale lavoro (che dipende solo dall'angolo tra il campo e il dipolo) una energia potenziale <math>\Delta U\!</math> che è pari per definizione:
 
<math>\Delta U=-W=-pE[\cos \theta - \cos {\theta}_0]\ </math>
 
Se si assume che l'energia potenziale è nulla per <math>{\theta }_0 \,\!</math>=90º: la scelta corrisponde ad assumere che il potenziale minimo si ha con il dipolo allineato nel verso e nella direzione del campo ed il massimo quando è allineato nella direzione del campo, ma con verso opposto.
Si ha quindi che:
 
<math>U = -pE\cos \theta \,\!</math>
 
O in forma vettoriale
 
<math>U = -\vec p\cdot \vec E \ </math>
 
Se il campo elettrico non è uniforme la dinamica è chiaramente più compilcata in quanto la risulatante delle forze non è più nulla a meno che il dipolo sia orientato nella direzione in cui il campo elettrico non varia. Ma chiaramente questa non è una situazione di equilibrio in quanto
il momento sarà massimo in tale posizione e farà ruotare il dipolo allineandolo alle linee del campo. In generale la dinamica è molto complicata. Si semplifica il comportamento dinamico se si assume che l'allineamento del dipolo con le linee del campo avviene rapidamente rispetto al moto di trascinamento. Vi sarà un moto di trascinamento, in quanto se viene assunto come asse
delle <math>x\ </math> la direzione locale del campo elettrico su cui si allineato il dipolo.
Assunta l'origine sul centro del dipolo, la posizione della carica negativa sarà <math>-a\ </math>
e quella della positiva <math>a\ </math>.
La risultante della forza sarà quindi:
 
<math>F_x=qE_x(a)-qE_x(-a)\ </math>
 
Se la variazione di <math>E_x\ </math> non è troppo brusca:
 
<math>E_x(-a)\approx E_x(0)-\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}a\ </math>
 
<math>E_x(a)\approx E_x(0)+\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}a\ </math>
 
Quindi:
 
<math>F_x\approx 2qa\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}=p\frac {\partial E_x}{\partial x}\ </math>
 
Cioè i dipolo sono trascinati nella regione dove più intenso è il campo elettrico. Tale forza di trascinamento viene utilizzata nelle fotocopiatri per trascinare il toner sulla carta.
 
 
== Energia potenziale elettrica==
In condizioni statiche, l'intera energia del sistema di cariche esiste solo come energia potenziale. Tale energia è il lavoro richiesto per formare una certa distribuzione di cariche.
 
Se possiedo semplicemente due cariche <math>q_1\ </math> e <math>q_2\ </math> e proviamo ad avvicinarle alla distanza <math>r_{12}\ </math> a partire da una distanza infinita, la differenza di energia potenziale posseduta dal sistema, nella condizione finale rispetto alla condizione iniziale è evidentemente:
 
<math>U=\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac {q_1q_2}{r_{12}}\ </math>
 
Si può estendere il ragionamento ad un sistema di <math>n\ </math> cariche <math>q_i\ </math>
poste a distanza reciproca <math>r_{ij}\ </math>. Per tale sistema l'energia totale é, per semplice estensione del caso precedente eguale a:
 
<math>U=\frac 12 \frac 1{4\pi \epsilon_o}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n
\frac {q_iq_j}{r_{ij}}\qquad i\ne j\ </math>
 
dove il termine 1/2 è stato introdotto per eliminare le coppie considerate due volte, una volta scambiati ''i'' e ''j''. Separando le due [[w:Serie|sommatorie]] si riconosce il :
 
<math>U = \frac {1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_i \cdot \sum_{j = 1}^{n} \frac {q_j}{4\pi\epsilon_0 r_{ij}} = \frac {1}{2} \sum_{i = 1}^{n} q_i \cdot V_i</math>
 
Nel caso di distribuzioni continue di carica si ha:
 
<math>U= \int_\tau \frac{1}{2} \rho V \operatorname{d}\tau</math>
 
con <math>\rho(x,y,z)\,\!</math> densità di carica e <math>\operatorname{d}\tau=\operatorname{d}x\operatorname{d}y\operatorname{d}z</math> volume infinitesimo.
 
Nell'esempio seguente non viene usata la formula precedente, ma viene fatto un ragionamento fisico.
 
=== Caso di una sfera uniformemente carica===
Immaginiamo di voler costruire una sfera uniformemente carica di raggio <math>R\ </math> e carica totale <math>Q\ </math>. Immaginiamo di assemblarla successivamente aggiungendo via via dei gusci sferici infinitesimi di volume <math>d\tau =4\pi r^2 dr\ </math>. Il processo di costruzione inizia con la sfera di raggio <math>r=0\ </math> e finisce con la sfera di raggio <math>R\ </math>.
 
La densità di carica vale ovviamente:
 
<math>\rho=\frac {3Q}{4\pi R^3}
</math>
Quindi quando la sfera ha un raggio <math>r\ </math> con <math>0\le r \le R</math> il lavoro necessario ad aggiungere un guscio di spessore infinitesimo <math>dr\ </math> vale:
 
<math>dU=V_r\rho d\tau\ </math>
 
Dove <math>V_r\ </math> è la differenza di potenziale tra la superficie della sfera e l'infinito quando il suo raggio vale <math>r\ </math>:
 
<math>V_r=\frac {\rho \frac 43 \pi r^3}{4\pi \epsilon_o r}=\frac {\rho r^2}{3 \epsilon_o }\ </math>
 
Esplicitando l'eq. 2:
 
<math>dU=\frac {\rho^2 4\pi r^4 dr}{3 \epsilon_o}</math>
 
Quindi integrando l'ultima espressione tra 0 ed R si ha:
 
<math>U=\int_0^R \frac {\rho^2 4\pi r^4 dr}{3 \epsilon_o}
=\frac {\rho^2 4\pi R^5}{15 \epsilon_o}=\frac {3Q^2}{20\pi \epsilon_o R} \ </math>
 
===Energia associata al campo elettrostatico===
 
Consideriamo una distribuzione finita di carica, che genera quindi nello spazio un campo elettrico a cui posso associare un potenziale elettrico. L'energia elettrostatica totale del sistema vale (formula precedente):
 
<math>U= \int_\tau \frac{1}{2} \rho V \operatorname{d}\tau</math>
 
Applicando teorema di [[Fisica_classica/Legge_di_Gauss#Il teorema di Gauss in forma differenziale|Gauss in forma differenziale]]
 
<math>U= \int_\tau \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \nabla \mathbf{E}_0\right) V \operatorname{d}\tau</math>
 
E' facile mostrate che:
 
 
==Conservatività del campo elettrostatico==
A causa della conservatività del campo elettrostatico abbiamo che <math>\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math> è indipendente dal percorso che seguiamo per andare da <math>a \ </math> a
<math>b \ </math>. Se in particolare <math>a \ </math> coincide con <math>b \ </math>, cioè il cammino è una linea chiusa si ha che:
 
<math>\oint_l \vec E\cdot d\vec l=0\ </math>
 
Cioè la circuitazione del campo elettrostatico lungo una linea chiusa è identicamente nullo.
Tale proprietà è una proprietà integrale cioè riguarda una porzione macroscopica in cui tale campo
è definito, ma vale qualunque sia la linea chiusa che noi consideriamo.
 
Il prodotto vettoriale di <math>\vec \nabla\ </math> con il generico vettore
<math>\vec A\ </math> viene chiamato rotore:
 
<math>rot \vec A=\vec \nabla \times \vec A=\left ( \begin{matrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
\frac {\partial}{\partial x}& \frac {\partial}{\partial y}& \frac {\partial}{\partial z}\\
A_x&A_y&A_z
\end{matrix} \right) =\left( \frac {\partial A_z}{\partial y}-\frac {\partial A_y}{\partial z} \right) \vec i
+\left( \frac {\partial A_x}{\partial z}-\frac {\partial A_z}{\partial x}\right) \vec j
+\left( \frac {\partial A_y}{\partial x}-\frac {\partial
A_x}{\partial y}\right) \vec k</math>
 
Il rotore di un campo vettoriale dà una misura dei vortici presenti nel campo stesso. Se abbiamo un corpo rigido che ruota con velocità angolare costante <math>\omega\ </math> attorno ad un asse, il rotore del campo delle velocità istantanee è un vettore diretto lungo l'asse di rotazione con
intensità <math>2\omega\ </math>. Mentre se lo stesso oggetto si muove di moto traslatorio il vettore del campo vettoriale velocità è nullo,
 
Si dimostra analiticamente, [[w:Teorema_di_Stokes|Teorema di Stokes]] che la circuitazione di un generico vettore <math>\vec A\ </math> attraverso una linea chiusa <math>L\ </math> che delimita una superficie aperta <math>S\ </math> vale esattamente:
 
<math>
\oint \vec A\cdot \vec {dl}=\int_Srot \vec A\cdot \vec {ds}
\ </math>
 
Questa equazione permette di trasformare un integrale di linea in
uno di superficie.
 
Nel caso specifico della circuitazione del campo Elettrostatico:
 
<math>\oint_l \vec E\cdot d\vec l=\int_S\vec \nabla \times \vec E=0\ </math>
 
Dove <math>S\ </math> è una qualsiasi superfice aperta che ha come contorno la linea <math>l\ </math>.
 
Ma poiché l'ultima identità vale qualsiasi sia la superfice <math>S\ </math>, per verificare tale
condizione occorre che l'integrando sia identicamente nullo:
 
<math>\vec \nabla \times \vec E=0\ </math>
 
Questa è la relazione locale del campo elettrostatico.
 
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