Differenze tra le versioni di "Esercizi di fisica con soluzioni/La corrente elettrica"

Sostituisco i link alle sottopagine con il loro contenuto; vedi pagina di discussione per le rispettive cronologie.
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{{Esercizi di fisica con soluzioni}}
{{Avanzamento|100%}}
 
== Esercizi ==
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Filo a tronco di cono|Un filo a tronco di cono]]
 
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Un filo di materiale conduttore|Un filo di materiale conduttore]]
=== Filo a tronco di cono ===
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Un faro abbagliante|Un faro abbagliante]]
Un filo conduttore di rame di lunghezza <math>l\ </math>, (ad esempio a causa della
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Un condensatore carico|Un condensatore carico]]
corrosione) è ben descritto da un tronco di cono
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Tre resistenze|Tre resistenze]]
che inizia con una sezione di raggio
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Carica di un condensatore|Carica di un condensatore]]
<math>a\ </math> e finisce con un raggio <math>b\ </math> in maniera lineare.
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Due generatori di f.e.m.|Due generatori di f.e.m.]]
Se il filo è percorso da una corrente <math>I\ </math>. Determinare:
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Tre generatori su una resistenza R|Tre generatori su una resistenza R]]
# Il campo elettrico massimo e minimo nel filo.
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/RC con r interna|RC con r interna]]
# la resistenza del filo.
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Telefonino semiscarico|Telefonino semiscarico]]
# La massima corrente che può scorrere se la potenza massima dissipabile per unità di volume vale
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Carica condensatore con 2 R|Carica condensatore con 2 R]]
<math>P_{max}\ </math>.
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Scarica condensatore con 2 R|Scarica condensatore con 2 R]]
 
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Due generatori reali su una R variabile|Due generatori reali su una R variabile]]
(dati del problema <math>\rho_{Cu}=1.7\cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot m</math>,
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Due condensatori con una resistenza|Due condensatori con una resistenza]]
<math>a=2\ mm</math>, <math>b=4\ mm</math>, <math>I=10\ A</math>, <math>l=100\ m</math>, <math>P_{max}=1\ W/cm^3</math>)
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/ES1|ES1]]
 
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Resistenze serie parallelo|Resistenze serie parallelo]]
<div class="noprint">
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Generatori_serie_parallelo|Generatori in serie e parallelo]]
<quiz display=simple>
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Scarica di un condensatore con due generatori|Scarica di un condensatore con due generatori]]
{ campo elettrico massimo e minimo nel filo
#[[Esercizi di fisica con soluzioni/La_corrente_elettrica/Una nuvola di pioggia|Una nuvola di pioggia]]
|type="()"}
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Circuiti elettrici]]
+<math>E_{max}=1.35\cdot 10^{-2}\ V/m</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>E_{min}=3.5\cdot 10^{-3} V/m</math>
-<math>E_{max}=1.33\cdot 10^{-3}\ V/m</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>E_{min}=3.6\cdot 10^{-2} V/m</math>
-<math>E_{max}=1.34\cdot 10^{-2}\ V/m</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>E_{min}=3.6\cdot 10^{-3} V/m</math>
-<math>E_{max}=1.35\cdot 10^{-2}\ V/m</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>E_{min}=3.5\cdot 10^{-2} V/m</math>
 
{resistenza del filo <br/>'''La soluzione è approssimata alla terza cifra dopo la virgola
|type="{}"}
{ 0.068|0,068 _6 }
 
{massima corrente che può scorrere
|type="()"}
-10A
-100A
-1000A
+15A
</quiz>
</div>
 
[[#Filo a tronco di cono_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Un filo di materiale conduttore ===
Un filo di materiale conduttore di raggio <math>r\ </math>, resistività
<math>\rho\ </math> ha una lunghezza <math>l\ </math>. Determinare
a) la resistenza del filo, b) la potenza massima dissipabile per
unità di volume sapendo che la massima corrente che può
passare vale <math>I_{max}\ </math> e c) se la velocità di drift dei
portatori di carica per tale valore della corrente vale <math>v_d\ </math> quale
è la densità dei portatori?
 
(dati del problema <math>r=0.5\ mm</math>, <math>\rho=1.7\cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot
m\ </math>, <math>l=100\ m</math>, <math>I_{max}=5\ A</math>, <math>v_d=0.6\ mm/s</math>).
 
 
[[#Un filo di materiale conduttore_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Un faro abbagliante ===
Calcolare la resistenza a caldo <math>R_21\ (T_2=2700\ ^o\ C)\ </math> e a freddo <math>R_1(T_1=20\ ^o\ C)\ </math> di un faro abbagliante di una automobile da <math>P=40\ W</math> alimentato con <math>V=12\ V</math>. Il tungsteno di cui è fatto il filamento ha un coefficiente di temperatura <math>\alpha =0.0045\ ^oC^{-1}\ </math>.
 
 
[[#Un faro abbagliante_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Un condensatore carico ===
[[Immagine:CwithRto4C.png|250px|right]]
 
Le armature di un condensatore di capacità <math>C\ </math> sono portate ad una differenza di potenziale <math>V_o\ </math>. A questo punto attraverso una resistenza <math>R\ </math> una armatura viene connessa alla armatura di un condensatore scarico di capacità <math>4C\ </math>. Le altre due armature erano in contatto sin dall'inizio.
Determinare:
 
a) L'energia elettrostatica dissipata nella resistenza in tale processo.
 
b) La costante di tempo del processo di scarica/carica (a seconda di quale condensatore si considera).
 
(dati del problema <math>V_0=200\ V</math>, <math>R=1\ M\Omega</math>, <math>C=1\ \mu F</math>)
 
 
[[#Un condensatore carico_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Tre resistenze ===
[[Immagine:3Resistance.png|250px|right]]
 
Ciascuna delle tre resistenze della figura (<math>R_1=R_2=R_3\ </math>) può dissipare al massimo <math>P_{max}\ </math>; quale è la corrente massima e di conseguenza la potenza totale dissipata dalle tre resistenze?
 
(Dati del problema <math>P_{max}=100\ W\ </math> , <math>R_1=1\ \Omega\ </math> )
 
 
[[#Tre resistenze_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Carica di un condensatore ===
[[Immagine:TwoRoneC.png|250px|right]]
 
All'istante <math>t=0\ </math> viene chiuso l'interruttore del circuito mostrato
in figura. Calcolare la differenza di potenziale presente ai capi
del condensatore dopo <math>20\ ms\ </math> dalla chiusura dell'interruttore
 
(Dati del problema <math>f=1000\ V\ </math>, <math>R_1=5\ k\Omega\ </math>, <math>C=10\ \mu F\ </math>,
<math>R_2=15\ k\Omega\ </math>)
 
 
[[#Carica di un condensatore_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Due generatori di f.e.m. ===
[[Immagine:TwofemoneR.png|200px|right]]
 
Determinare nel circuito mostrato in figura la corrente che scorre nella resistenza <math>R\ </math> e la potenza fornita dai due generatori.
 
(Dati del problema <math>R=10\ \Omega</math>, <math>f_2=11.5\ V</math>, <math>r_2=5\ \Omega</math>,
<math>f_1=12\ V, r_1=3\ \Omega</math>)
 
 
[[#Due generatori di f.e.m._2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Tre generatori su una resistenza R ===
[[Immagine:3generators1resistance.png|200px|right]]
 
Determinare nel circuito mostrato in figura la corrente che scorre
nella resistenza <math>R\ </math> e la corrente che scorre nel generatore più
a destra.
 
(Dati del problema <math>R=5\ \Omega</math>, <math>f_1=7\ V</math>, <math>r_1=1\ \Omega</math>,
<math>f_2=10\ V</math>, <math>r_2=2\ \Omega</math>, <math>f_3=9\ V</math>, <math>r_3=3\ \Omega</math>,)
 
 
[[#Tre generatori su una resistenza R_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== RC con r interna ===
Ai capi di una resistenza <math>R\ </math> ed un condensatore <math>C\ </math> in serie viene
posto un generatore di f.e.m. di valore <math>f_1\ </math>. All'istante iniziale la potenza dissipata nella resistenza vale <math>P_0\ </math>. Trascorso un tempo <math>t_1\ </math>
la potenza dissipata nella resistenza diventa <math>P_1\ </math>.
Determinare la resistenza interna del generatore ed il valore di <math>C\ </math>.
 
(Dati del problema <math>R=1\ \Omega\ </math>, <math>f_1=12\ V\ </math>, <math>P_0=5\ W\ </math>, <math>P_1=0.2P_0\ </math>,
<math>t_1=1\ ms\ </math>)
 
 
[[#RC con r interna_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Telefonino semiscarico ===
Ad una batteria ricaricabile semiscarica
(rappresentabile come un generatore di f.e.m. <math>f_2\ </math> con resistenza interna
<math>r_2\ </math>), a cui estremi è connesso il circuito di un telefonino acceso ( rappresentabile come una resistenza <math>R\ </math>),
viene collegato, in parallelo, un alimentatore opportuno tale che garantisca sia una corrente di ricarica di <math>I_2\ </math> della batteria che una tensione ai capi del
carico (<math>R\ </math>) pari a <math>V_R\ </math>.
Inoltre, se viene staccato il carico (telefonino spento), l'alimentatore fornisce una corrente di ricarica di <math>I_4\ </math>.
Calcolare le caratteristiche
dell'alimentatore: f.e.m. (<math>f_1\ </math>) e resistenza interna <math>r_1\ </math>
.
 
(Dati del problema <math>R=500\ \Omega</math>, <math>f_2=2.8\ V</math>, <math>r_2=15\ \Omega</math>, <math>I_2=50\ mA</math>, <math>I_4=100\ mA</math>
, <math>V_R=4.5\ V</math>)
 
 
[[#Telefonino semiscarico_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Carica condensatore con 2 R ===
[[Immagine:TwoRoneC.png|200px|right]]
 
All'istante <math>t=0\ </math> viene chiuso l'interruttore del circuito mostrato in figura.
Calcolare la variazione massima della potenza fornita dal generatore.
Determinare inoltre il tempo necessario a dimezzare
(dall'istante iniziale) la corrente che scorre nel ramo del condensatore.
 
(Dati del problema <math>f=14\ V, R_1=18\ \Omega</math>, <math>C=1\ mF</math>, <math>R_2=90\ \Omega</math>)
 
 
[[#Carica condensatore con 2 R_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Scarica condensatore con 2 R ===
[[Immagine:FemR1CR2switch.png|300px|right]]
 
Il circuito mostrato in figura è a regime con l'interruttore
aperto. All'istante <math>t=0\ </math> viene chiuso l'interruttore ed il sistema
raggiunge una nuova situazione di regime. Determinare la carica
ai capi del condensatore nelle due condizioni di regime. Determinare
quando la corrente fornita dal generatore eguaglia quella fornita
dal condensatore.
 
(Dati del problema <math>f=9\ V</math>, <math>R_1=900\ \Omega</math>, <math>R_2=1\ \Omega</math>,
<math>C=1\ mF</math>, come aiuto al calcolo sono indicati i versi delle
correnti dopo la chiusura dell'interruttore)
 
 
[[#Scarica condensatore con 2 R_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Due generatori reali su una R variabile ===
[[Immagine:Two_generator_with_a_variating_resistance.png|300px|right]]
 
Nel circuito mostrato in figura la resistenza <math>R\ </math> è variabile.
Al suo variare la corrente fornita dal generatore <math>f_2\ </math> passa da
concorde al verso del generatore stesso a discorde. Determinare il
valore di <math>R\ </math> per cui avviene tale cambiamento di comportamento ed
in particolare per <math>R=R_f\ </math> determinare la potenza fornita dal
generatore <math>f_2\ </math>.
 
(dati del problema <math>R_1=3\ \Omega\ </math>, <math>R_2=4\ \Omega\ </math>, <math>R_f=9\Omega\ </math>, <math>f_1=8\ V\ </math>, <math>f_2=7\ V\ </math>. )
 
 
[[#Due generatori reali su una R variabile_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Due condensatori con una resistenza ===
[[Immagine:Two_capacitor_and_a_resistance.png|300px|right]]
 
Nel circuito indicato in figura il condensatore di sinistra ha
una capacità <math>C\ </math> ed è portato ad una d.d.p di <math>V_o\ </math> (mediante un
generatore non mostrato in figura in quanto inessenziale). Infine
viene collegato attraverso la resistenza <math>R\ </math> alla armatura di un
altro condensatore inizialmente scarico. Dimostrare che l'energia
elettrostatica persa coincide con quella dissipata nella resistenza.
 
 
[[#Due condensatori con una resistenza_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== ES1 ===
Un filo conduttore di rame di lunghezza <math>l\ </math>, (ad esempio a causa della
corrosione) è ben descritto da un tronco di cono
che inizia con una sezione di raggio
<math>a\ </math> e finisce con un raggio <math>b\ </math> in maniera lineare.
Se il filo è percorso da una corrente <math>I\ </math>. Determinare:
a) Il campo elettrico massimo e minimo nel filo.
b)la resistenza del filo.
c) La massima corrente che può scorrere se la potenza massima dissipabile per unità di volume vale
<math>P_{max}\ </math>.
 
(dati del problema <math>\rho_{Cu}=1.7\cdot 10^{-8}\ \Omega \cdot m</math>,
<math>a=2\ mm</math>, <math>b=4\ mm</math>, <math>I=10\ A</math>, <math>l=100\ m</math>, <math>P_{um}=1\ W/cm^3</math>)
 
 
[[#ES1_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Resistenze serie parallelo ===
Un differenza di potenziale <math>\Delta V\ </math> applicata ad una
resistenza <math>R_1\ </math> produce una potenza dissipata in calore <math>P_1=25\ W</math> pari al doppio di <math>P_2\ </math> di quella generata se applicata ad una seconda resistenza <math>R_2\ </math>. Calcolare la potenza dissipata se la stessa <math>\Delta V\ </math> viene applicata, invece che alle singole resistenze, ai capi del sistema delle resistenze <math>R_1\ </math> e <math>R_2\ </math> messe a) in serie o b) in parallelo.
 
 
[[#Resistenze serie parallelo_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Generatori_serie_parallelo ===
Un generatore di f.e.m. (<math>f_1\ </math> e resistenza interna <math>r_1\ </math>) e posto in serie ad un altro generatore con <math>f_2\ </math>, <math>r_2\ </math> (non noti) ed entrambi alimentano una resistenza <math>R\ </math> (costituiscono una maglia). Se i morsetti sono collegati in una polarità la corrente che scorre è <math>I_A\ </math>, collegando i morsetti di <math>f_1\ </math> in direzione opposta la corrente che scorre cambia verso e diviene <math>I_B\ </math>.
 
Determinare A) la differenza di potenziale ai capi di <math>f_1\ </math> nel caso A, b) il valore di <math>f_2\ </math> e <math>r_2\ </math>, c) la differenza di potenziale ai capi di <math>f_2\ </math> nel caso <math>A\ </math> e <math>B\ </math>.
 
Dati del problema <math>f_1=2.8\ V</math>, <math>r_1=1.4\ \Omega</math>, <math>R=1.5\ \Omega</math>, <math>I_A=1.5\ A</math>, <math>I_B=-0.26\ A</math> (preso a riferimento positivo il verso della
corrente nella condizione <math>A\ </math>).
 
 
[[#Generatori_serie_parallelo_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Scarica di un condensatore con due generatori ===
[[Immagine:Tansitoriocapacitivo--Category---.png|250px|right]]
Dopo che l'interruttore <math>T\ </math> è rimasto aperto per lungo tempo a <math>t=0\ </math> viene chiuso. Determinare 1) la carica iniziale del condensatore; 2) la carica finale del condensatore dopo il transiente iniziale; 3) l'istante nel quale la corrente che scorre nel ramo del condensatore vale <math>I_o\ </math>.
 
(dati del problema <math>R=2r\ </math>, <math>r=1\ \Omega\ </math>, <math>f=20\ V\ </math>, <math>C=1\ \mu F\ </math>, <math>I_o=1\ A\ </math>)
 
 
[[#Scarica di un condensatore con due generatori_2|→ Vai alla soluzione]]
 
=== Una nuvola di pioggia ===
Una nuvola di pioggia è approssimabile come una sfera di diametro <math>d\ </math> con una tipica differenza di potenziale di <math>V_o\ </math> tra un punto generico nella nuvola e il punto in cui si scarica un fulmine. Per effetto
del fulmine la densità degli ioni presenti diminuisce di <math>\Delta n\ </math>.
Immaginando che la corrente del fulmine sia stazionaria (costante nel tempo) durante la sua durata <math>t_o\ </math>, determinare a) la carica trasferita, b) la corrente c) l'energia e la potenza dissipata durante il fulmine.
 
(dati del problema <math>V_o=5\times 10^7\ V\ </math>, <math>d=6\ km\ </math>, <math>t_o=0.2\ s\ </math>, <math>\Delta n=110\ cm^{-3}\ </math>)
 
 
[[#Una nuvola di pioggia_2|→ Vai alla soluzione]]
 
 
== Soluzioni ==
 
=== Filo a tronco di cono ===
[[#Filo a tronco di cono|→ Vai alla traccia]]
 
1)
 
La densità di corrente è massima sulla sezione minore:
 
<math>J_{max}=\frac I{\pi a^2}=8\cdot 10^5\ A/m^2</math>
 
minima in quella maggiore:
 
<math>J_{min}=\frac I{\pi b^2}=2\cdot 10^5\ A/m^2</math>
 
Applicando la legge di Ohm in forma locale, di conseguenza il campo elettrico vale:
 
<math>E_{max}=\rho_{Cu}J_{max}=1.35\cdot 10^{-2}\ V/m</math>
 
<math>E_{min}=\rho_{Cu}J_{min}=3.5\cdot 10^{-3}\ V/m</math>
 
2)
 
Il raggio del filo segue la legge:
 
<math>r=a+(b-a)\frac xl\qquad \ 0<x<l</math>
 
La resistenza vale:
 
<math>R=\int_0^l\rho_{Cu}\frac {dx}{\pi r^2}=
\frac {\rho_{Cu}}{\pi}\int_0^l\frac {dx}{\left[ a+(b-a)\frac xl
\right]^2}</math>
 
Facendo il cambiamento di variabile:
 
<math>y=a+(b-a)\frac xl</math>
 
segue che:
 
<math>R=\frac {\rho_{Cu}l}{\pi(b-a)}\int_a^b \frac {dy}{y^2}=
\frac {\rho_{Cu}l}{\pi ab}=0.068 \Omega</math>
 
3)
 
Imponendo che:
 
<math>\rho |J_{max}|^2\le P_{max}</math>
 
<math>|J_{max}|=\sqrt {\frac {P_{max}}{\rho}}</math>
 
Quindi essendo la massima densità di corrente sulla sezione più piccola:
 
<math>I_{max}=|J_{max}|\pi a^2=\sqrt {\frac {P_{max}}{\rho}}\pi a^2=99\ A</math>}}
 
 
=== Un filo di materiale conduttore ===
[[#Un filo di materiale conduttore|→ Vai alla traccia]]
 
Ovviamente:
 
<math>R=\rho \frac l{\pi r^2}=2.16\ \Omega</math>
 
Dopo avere convertito le grandezze nell' MKSA.
 
<math>
J_{max}=\frac {I_{max}}{\pi r^2}=6.4\cdot 10^6\ A/m^2</math>
 
Dalla legge di Joule in forma microscopica:
 
<math>
P_u=\rho J_{max}^2=0.7\ W/cm^3</math>
 
<math>|J_{max}|=\sqrt{\frac {P_u}{\rho}}=7.7\cdot 10^6\ A/m^2</math>
 
Mentre da:
 
<math>|J_{max}|=nev_d\ </math>
 
segue che:
 
<math>
n=6.6\cdot 10^{28} m^{-3}</math>
 
 
=== Un faro abbagliante ===
[[#Un faro abbagliante|→ Vai alla traccia]]
 
Essendo un oggetto ohmico:
 
<math>R_2=\frac {V^2}P=3.6\ \Omega</math>
 
Essendo la resistività una funzione lineare della temperatura:
 
<math>\rho=\rho_0(1+\alpha T)\ </math>
 
Potrò anche scrivere, trascurando la dilatazione termica del filo:
 
<math>R_1=R_o(1+\alpha T1)\ </math>
 
<math>R_2=R_o(1+\alpha T2)\ </math>
 
Quindi facendo il rapporto tra queste due equazioni:
 
<math>\frac {R_1}{R_2}=\frac {1+\alpha T_1}{1+\alpha T_2}\ </math>
 
<math>R_1(20\ ^oC)=R_2\frac {1+\alpha T_1}{1+\alpha T_2}=0.3
\ \Omega</math>
 
 
=== Un condensatore carico ===
[[#Un condensatore carico|→ Vai alla traccia]]
 
a)
 
Sulle armature del I condensatore vi è una carica iniziale:
 
<math>Q_0=CV_o=200\ \mu C</math>
 
Con una energia iniziale pari a:
 
<math>E_0=\frac 12 CV_o^2=20\ mJ</math>
 
Alla fine del processo tale carica si deve conservare, quindi le cariche finali valgono:
 
<math>Q_{1f}+Q_{2f}=Q_0\ </math>
 
Inoltre le differenze di potenziale ai capi dei due condensatori debbono equivalersi:
 
<math>\frac {Q_{1f}}C=\frac {Q_{2f}}{4C}</math>
 
Cioè:
 
<math>Q_{1f}=\frac {Q_o}5=40\ \mu C</math>
 
<math>Q_{2f}=\frac 45Q_o=160\ \mu C</math>
 
Per cui:
 
<math>
E_f=\frac 12\frac {Q_{1f}^2}C+\frac 12\frac {Q_{2f}^2}{4C}=\frac 15\frac 12 \frac {Q_0^2}C</math>
 
Quindi l'energia dissipata vale:
 
<math>\Delta E=E_0-E_f=16\ mJ</math>
 
 
b)
 
L'equazione della maglia:
 
<math>\frac {Q_1}{C}+RI-\frac {Q_2}{4C}=0</math>
 
Con in ogni istante:
 
<math>Q_1+Q_2=Q_0\ </math>
 
Quindi:
 
<math>\frac {Q_1}{C}+RI-\frac {Q_0-Q_1}{4C}=0\ </math>
 
<math>Q_1+\frac 45RC\frac {dQ_1}{dt}-\frac {Q_0}{5}=0\ </math>
 
Quindi la costante di tempo vale:
 
<math>\tau=\frac 45RC=0.8\ s</math>
 
e separando le variabili:
 
<math>\frac {dQ_1}{Q_1-Q_0/5}=-\frac {dt}{\tau}</math>
 
<math>\ln \frac {Q_1-Q_0/5}{Q_0-Q_0/5}=-\frac t{\tau}\ </math>
 
<math>Q_1=\frac {Q_0}5+\frac {4Q_0}5e^{-t/\tau}\ </math>
 
'E facile vedere come per <math>t=0\ </math> e <math>t=\infty\ </math> assume i valori dati nel punto a).
 
 
=== Tre resistenze ===
[[#Tre resistenze|→ Vai alla traccia]]
 
Da come è fatto il circuito l'elemento critico è la resistenza <math>R_3\ </math>, in quanto in esso scorre tutta la corrente.
 
Nelle resistenze <math>R_1\ </math> ed <math>R_2\ </math> scorre la stessa corrente:
 
<math>I_1=I_2=\frac I2\ </math>
 
Quindi:
 
<math>P_{tot}=\sum_{i=1}^3RI_i^2=\frac 32 RI^2\ </math>
 
Quindi la massima corrente dipende dalla massima potenza dissipabile:
 
<math>I=\sqrt {\frac {P_{max}}R}=10\ A</math>
 
quindi:
 
<math>P_{tot}=\frac 32 P_{max}=150\ W</math>
 
 
=== Carica di un condensatore ===
[[#Carica di un condensatore|→ Vai alla traccia]]
 
Utilizzando il teorema di Thevenin il condensatore vede ai suoi capi un dipolo attivo con:
 
<math>f_{th}=\frac f{R_1+R_2}R_2=750\ V</math>
 
ed un resistenza di Thevenin di:
 
<math>R_{th}=\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}=3.75\ K\Omega\ </math>
 
Quindi la costante di tempo di carica vale:
 
<math>\tau =R_{th}C=0.04\ s\ </math>
 
Quindi dopo <math>t_1\ </math> la tensione ai capi del condensatore vale:
 
<math>V=\frac QC=f_{th}\left( 1- e^{-t_1/\tau} \right)=310\ V\ </math>
 
 
=== Due generatori di f.e.m. ===
[[#Due generatori di f.e.m.|→ Vai alla traccia]]
 
Se definiamo rispettivamente <math>I_1\ </math>, <math>I_2\ </math> ed <math>I\ </math> le correnti nei tre rami, tutte in senso
orario.
 
Dalle legge di Kirchhoff applicate al nodo:
 
<math>I_1+I_2=I\ </math>
 
Dalle legge di Kirchhoff applicate alle due maglie:
 
<math>f_1=I_1r_1+IR\ </math>
 
<math>f_2=I_2r_2+IR\ </math>
 
Eliminando <math>I_1\ </math> e <math>I_2\ </math> nel sistema:
 
<math>I(R/r_1+R/r_2+1)= \frac {f_1}{r_1}+\frac {f_2}{r_2}\ </math>
 
da cui:
 
<math>I=1\ A</math>
 
quindi:
 
<math>I_1=\frac {f_1-IR}{r_1}=0.68\ A</math>
 
<math>I_2=\frac {f_2-IR}{r_2}=0.31\ A</math>
 
<math>P_1=f_1I_1=8.2\ W</math>
 
<math>P_2=f_2I_2=3.6\ W</math>
 
 
=== Tre generatori su una resistenza R ===
[[#Tre generatori su una resistenza R|→ Vai alla traccia]]
 
Applicando il teorema di Thevenin ai generatori 1 e 2, diventano
equivalenti ad unico gene\-ratore di resistenza interna e f.e.m.:
 
<math>r'=\frac {r_1r_2}{r_1+r_2}=0.66\ \Omega</math>
 
<math>f'=f_2-\frac {f_2-f_1}{r_1+r_2}r_2=8\ V</math>
 
Quindi scrivendo l'equazioni di Kirkhhoff per le maglie (detta <math>I'\ </math>
la corrente nella maglia del generatore equivalente e <math>I_3\ </math> la
corrente nel ramo del generatore <math>3\ </math> e <math>I\ </math> la corrente nel ramo di
<math>R\ </math>):
 
<math>I'+I_3=I\ </math>
 
<math>f'=I'r'+IR\ </math>
 
<math>f_3=I_3r_3+IR\ </math>
 
Da cui eliminando <math>I'\ </math>:
 
<math>
f'=(I-I_3)r'+IR\ </math>
 
<math>I_3=\frac {f_3-IR}{r_3}\ </math>
 
Quindi:
 
<math>I=\frac {f'+f_3r'/r_3}{r'+Rr'/r_3+R}=1.47\ A</math>
<math>
I_3=\frac {f_3-IR}{r_3}=0.54\ A</math>
 
 
=== RC con r interna ===
[[#RC con r interna|→ Vai alla traccia]]
 
Nel transitorio iniziale la capacità si comporta come un corto circuito
per cui la corrente circolante vale:
 
<math>i_o=\frac {f_1}{R+r}\ </math>
 
Quindi essendo:
 
<math>P_0=i_o^2R=\frac {f_1^2}{(R+r)^2}R\ </math>
 
<math>r=f_1\sqrt {\frac R{P_0}}-R=4.4\ \Omega\ </math>
 
Mentre la corrente che scorre nel circuito vale nel generico istante di tempo <math>t\ </math>:
 
<math>i(t)=i_oe^{-t/\tau }\ </math>
 
con <math>\tau=(R+r)C\ </math>, <math>i_o=f_1/(R+r)=2.2\ A\ </math>. Quindi se:
 
<math>P_1=i_o^2e^{-2t_1/\tau }R\ </math>
 
<math>\tau =\frac {2t_1}{\ln \frac {i_o^2}{P_1R}}=2.9\ ms\ </math>
 
<math>C=\frac {\tau}{r+R}=0.53\ mF\ </math>
 
 
=== Telefonino semiscarico ===
[[#Telefonino semiscarico|→ Vai alla traccia]]
 
Dai dati del problema nel primo caso il generatore fornisce
una corrente pari a:
 
<math>I_1=I_2+\frac {V_R}R=59\ mA</math>
 
Posso scrivere che:
 
<math>f_1-I_1r_1=V_R\ </math>
 
Inoltre nel secondo caso:
 
<math>f_1-f_2=I_4(r_1+r_2)\ </math>
 
Quindi con semplici passaggi:
 
<math>r_1=\frac {V_R-f_2-I_4r_2}{I_4-I_1}=4.9\ \Omega</math>
 
 
<math>f_1=4.8\ V</math>
 
 
=== Carica condensatore con 2 R ===
[[#Carica condensatore con 2 R|→ Vai alla traccia]]
 
Nell'istante iniziale il condensatore si comporta come un corto circuito per cui la corrente che fornisce il generatore è massima:
 
<math>I_{max}=\frac f{R_1}=0.78\ A</math>
 
Quindi:
 
<math>P_{max}=fI_{max}=11\ W</math>
 
Mentre, passato un tempo sufficiente lungo, la corrente diventa:
 
<math>I_{min}=\frac f{R_1+R_2}=0.13\ A</math>
 
<math>P_{min}=fI_{min}=1.8\ W</math>
 
Mentre per quant riguarda la seconda domanda, utilizzando il teorema di Thevenin, ai capi del condensatore:
 
<math>f_{th}=\frac f{R_1+R_2}R_2=11.7\ V</math>
 
<math>R_{th}=\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}=15\ \Omega</math>
 
Detta <math>\tau =R_{th}C=15\ ms</math>
 
Imponendo che:
 
<math>\frac {f_{th}}{2R_{th}}=\frac {f_{th}}{R_{th}}e^{-t_1/\tau}\ </math>
<math>
t_1=\tau \ln 2=10.4\ ms</math>
 
 
=== Scarica condensatore con 2 R ===
[[#Scarica condensatore con 2 R|→ Vai alla traccia]]
 
La carica iniziale vale:
 
<math>Q_o=Cf=9\ mC\ </math>
 
Mentre una volta andato a regime il sistema con l'interruttore chiuso, la tensione ai capi di
<math>R_2</math> vale ovviamente:
 
<math>f'=\frac f{R_1+R_2}R_2=1\ mV</math>
 
E quindi la carica finale ai capi di <math>C\ </math> vale:
 
<math>Q_f=Cf'=10\ \mu C</math>
 
Se definisco <math>I_1\ </math> la corrente in <math>R_1\ </math>, <math>I_3\ </math> quella in <math>R_2\ </math> ed
<math>I_2\ </math> la corrente nel ramo del condensatore tale che la carica
istantanea nel condensatore:
 
<math>I_2=-\frac {dQ}{dt}\ </math>
 
L'equazione dei
nodi e della maglie sono:
 
<math>
f=I_1R_1+I_3R_2\ </math>
 
<math>I_3=I_1+I_2\ </math>
 
<math>\frac QC=R_2I_3\ </math>
 
Da cui eliminando <math>I_1\ </math> ed <math>I_3\ </math>:
 
<math>f'C=I_3R'C+Q\ </math>
 
con <math>R'=R_2-R_1/R_2\approx 900\ \Omega</math> da cui, definendo <math>\tau =R'C=0.9\ s</math>:
 
<math>-\frac {dQ}{dt}\tau=Q-f'C\ </math>
 
Separando le variabili ed integrando:
 
<math>\int_{Q_o}^{Q}\frac {dQ}{Q-Q_f}=-\int_o^t\frac {dt}{\tau}\ </math>
 
<math>Q(t)=Q_f+(Q_o-Q_f)e^{-t/\tau}\ </math>
 
Da cui:
 
<math>I_2=-\frac {dQ}{dt}=\frac {Q_o}{\tau }e^{-t/\tau}\ </math>
 
<math>I_1=\frac {f-I_2R_2}{R_1+R_2}=\frac f{R_1+R_2}\left( 1-e^{-t/\tau
}\right)\ </math>
 
Imponendo che:
 
<math>I_2=I_1\ </math>
 
<math>
\frac {e^{-t_1/\tau}
}{R_2}=\frac 1{R_1+R_2}\left( 1-e^{-t_1/\tau }\right)\ </math>
 
<math>
t_1=\tau \ln\left(\frac {R_1+2\cdot R_2}{R_2}\right)=0.62\ s\ </math>
 
 
=== Due generatori reali su una R variabile ===
[[#Due generatori reali su una R variabile|→ Vai alla traccia]]
 
Detta <math>I_1\ </math> la corrente nel ramo di <math>f_1\ </math>, <math>I_2\ </math> la corrente
concorde al generatore <math>f_2\ </math> ed <math>I_3\ </math> la corrente in <math>R\ </math>.
 
Le equazioni delle due maglie sono:
 
:<math>I_1+I_2=I_3\ </math>
 
:<math>f_1=I_1R_1+I_3 R\ </math>
 
:<math>f_1-I_1R_1=f_2-I_2R_2\ </math>
 
La inversione di corrente avviene quando: <math>I_2=0\ </math> cioè
dall'ultima quando:
 
:<math>f_1-I_1R_1=f_2\ </math>
 
:<math>I_1=\frac {f_1-f_2}{R_1}=0.33\ A</math>
 
di conseguenza dalla prima:
 
:<math>I_3=0.33\ A</math>
 
:<math>R=\frac {f_1-I_1R_1}{I_3}=21\ \Omega</math>
 
Nel caso generale invece eliminando dal sistema di tre equazioni
prima <math>I_1\ </math>:
 
:<math>f_1=I_3R_1-I_2R_1+I_3 R_f\ </math>
 
:<math>f_1-I_3R_1+I_2R_1=f_2-I_2R_2\ </math>
 
da cui:
 
:<math>I_3=\frac {f_1-I_2R_1}{R_1+R_f}\ </math>
 
:<math>I_3=\frac {f_1-f_2+I_2(R_1+R_2)}{R_1}\ </math>
 
Eliminando <math>I_3\ </math>:
 
:<math>\frac {f_1-I_2R_1}{R_1+R}=\frac {f_1-f_2+I_2(R_1+R_2)}{R_1}\ </math>
 
da cui:
 
:<math>I_2(\frac {R_1+R_2}{R_1}+ \frac {R_1}{R_1+R_f})=\frac
{f_1}{R_1+R_f}-\frac {f_1-f_2}{R_1}\ </math>
 
:<math>I_2=\left(\frac
{f_1}{R_1+R_f}-\frac {f_1-f_2}{R_1} \right) /\left(\frac
{f_1}{R_1+R_f}-\frac {f_1-f_2}{R_1}\right)=0.16\ A\ </math>
 
:<math>P_2=f_2I_2=1.12\ W\ </math>
 
 
=== Due condensatori con una resistenza ===
[[#Due condensatori con una resistenza|→ Vai alla traccia]]
 
La carica iniziale del primo condensatore vale:
 
:<math>Q_{10}= CV_o=Q_o\ </math>
 
Mentre sul secondo:
 
:<math>Q_{20}=0\ </math>
 
Nello stato finale la carica si conserva (la positiva sull'armatura superiore la negativa sulle inferiori) in maniera che:
 
<math>Q_{1f}+Q_{2f}=Q_o\ </math>
 
Ma anche la d.d.p. ai capi dei due condensatori deve essere eguale:
 
:<math>\frac {Q_{1f}}C=\frac {Q_{2f}}{\alpha C}</math>
 
Dall'insieme di queste due equazioni risulta che:
 
:<math>Q_{1f}=\frac {CV_o}{1+\alpha }\ </math>
 
:<math>Q_{2f}=\frac {\alpha CV_o}{1+\alpha }\ </math>
 
Ora mentre l'energia elettrostatica iniziale vale:
 
:<math>E_0=\frac 12CV_o^2\ </math>
 
quella finale vale:
 
:<math>E_f=\frac 12\frac {Q_{1f}^2}C+\frac 12\frac {Q_{2f}^2}{\alpha C}=\frac 12 \frac {CV_o^2}{\alpha +1}\
</math>
 
Quindi la energia elettrostatica è diminuita di:
 
:<math>E_0-E_f=\frac {\alpha}{\alpha +1}\frac 12CV_o^2\ </math>
 
Determiniamo ora l'energia dissipata per effetto Joule durante il transitorio, definita
la corrente in senso orario, e <math>Q_1\ </math> la carica istantanea sulla armatura di sopra del I condensatore,
<math>Q_2\ </math> quella sulla armatura superiore del II condensatore:
 
:<math>\frac {Q_1}C=IR+\frac {Q_2}{\alpha C}\ </math>
 
Ma per la conservazione della carica:
 
:<math>Q_2+Q_1=Q_o\ </math>
 
:<math>Q_2=Q_o-Q_1\ </math>
 
Chiaramente la corrente (al limite per <math>\alpha=\infty\ </math> deve coincidere con un corto circuito
cioè il caso visto nella scarica)
 
:<math>I=-\frac {dQ_1}{dt}\ </math>
 
Sostituendo:
 
:<math>\frac {Q_1}C+\frac {dQ_1}{dt}R-\frac {Q_o-Q_1}{\alpha C}=0\ </math>
 
:<math>\alpha Q_1+\frac {dQ_1}{dt}\alpha C R-Q_o+Q_1=0\ </math>
 
Separando le variabili:
 
:<math>\frac {dQ_1}{(\alpha +1)Q_1-Q_o}=-\frac {dt}{\alpha RC}\ </math>
 
Integrando, tra il tempo 0 ed il tempo t, viene:
 
:<math>\frac 1{\alpha +1}\ln \frac {(\alpha +1)Q_1(t)-Q_o}{\alpha Q_o}=-\frac t{\alpha RC}\ </math>
 
:<math>Q_1(t)=\frac {Q_o}{1+\alpha }\left({1+\alpha }e^{-t(\alpha +1)/\alpha RC}\right)</math>
 
La sua derivata:
 
:<math>I=\frac {dQ_1}{dt}=-\frac {Q_o}{RC}e^{-t(\alpha +1)/\alpha RC}\ </math>
 
L'energia dissipata per effetto Joule vale:
 
:<math>E_d=\int_0^{\infty}R\frac {Q_o^2}{R^2C^2}e^{-2t(\alpha +1)/\alpha RC}dt=
\int_0^{\infty}\frac {V_o^2}{R}e^{-2t(\alpha +1)/\alpha RC}dt=
\frac {\alpha}{\alpha +1}\frac 12CV_o^2
\ </math>
 
 
=== ES1 ===
[[#ES1|→ Vai alla traccia]]
 
a)
 
La densità di corrente è massima sulla sezione minore:
 
<math>J_{max}=\frac I{\pi a^2}=8\cdot 10^5\ A/m^2</math>
 
minima in quella maggiore:
 
<math>J_{min}=\frac I{\pi b^2}=2\cdot 10^5\ A/m^2</math>
 
Applicando la legge di Ohm in forma locale, di conseguenza il campo elettrico vale:
 
<math>E_{max}=\rho_{Cu}J_{max}=1.35\cdot 10^{-2}\ V/m</math>
 
<math>E_{min}=\rho_{Cu}J_{min}=3.5\cdot 10^{-3}\ V/m</math>
 
b)
 
Il raggio del filo segue la legge:
 
<math>r=a+(b-a)\frac xl\qquad \ 0<x<l</math>
 
La resistenza vale:
 
<math>R=\int_0^l\rho_{Cu}\frac {dx}{\pi r^2}=
\frac {\rho_{Cu}}{\pi}\int_0^l\frac {dx}{\left[ a+(b-a)\frac xl
\right]^2}</math>
 
Facendo il cambiamento di variabile:
 
<math>y=a+(b-a)\frac xl</math>
 
segue che:
 
<math>R=\frac {\rho_{Cu}l}{\pi(b-a)}\int_a^b \frac {dy}{y^2}=
\frac {\rho_{Cu}l}{\pi ab}=0.068\ \Omega</math>
 
c)
 
Imponendo che:
<math>\rho |J_m|^2\le P_{um}</math>
<math>|J_m|=\sqrt {\frac {P_{um}}{\rho}}</math>
Quindi essendo la massima densità di corrente sulla sezione più piccola:
<math>I_m=|J_m|\pi a^2=\sqrt {\frac {P_{um}}{\rho}}\pi a^2=99\ A</math>
 
 
=== Resistenze serie parallelo ===
[[#Resistenze serie parallelo|→ Vai alla traccia]]
 
Dai dati del problema:
<math>P_1=\Delta V^2/R_1\ </math>
 
<math>P_2=\Delta V^2/R_2\ </math>
 
<math>P_1=2P_2\ </math>
 
Quindi:
 
<math>R_2=2R_1\ </math>
 
Se vengono disposte in serie:
 
<math>P_a=\Delta V^2/(R_1+R_2)=P_1/3=8.34\ W\ </math>
 
Mentre se sono disposte in parallelo:
 
<math>R_p=\frac {R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac 23 R_1\ </math>
 
Quindi:
 
<math>P_b=\frac 32\Delta V^2/R_1=\frac 32P_1=37.5\ W\ </math>
 
 
=== Generatori_serie_parallelo ===
[[#Generatori_serie_parallelo|→ Vai alla traccia]]
 
a) Essendo <math>|I_A|>|I_B|\ </math> il caso indipendentemente dal valore della f.e.m. dei due generatori implica che sono disposti con i morsetti <math>-+-+\ </math>, quindi:
 
<math>V_{1A}=f_1-I_Ar_1=0.7\ V</math>
 
b)
 
Nel primo caso l'equazione della maglia è:
 
<math>f_2+f_1=I_A(r_1+r_2+R)\ </math>
 
Nel secondo caso:
 
<math>f_2-f_1=I_B(r_1+r_2+R)\ </math>
 
Facendo quindi il rapporto tra queste due equazioni:
 
<math>\frac {f_2+f_1}{f_2-f_1}=\frac {I_A}{I_B}=r\ </math>
 
Detto : <math>r=\frac {I_A}{I_B}=-5.8\ </math>
Da cui:
 
<math>f_2=f_1\frac {1+r}{r-1}=1.97\ V</math>
 
Con semplici passaggi dalla prima equazione:
 
<math>r_2=0.28\ \Omega</math>
 
c)
Nel primo caso:
 
<math>V_{2A}=f_2-I_Ar_2=1.55\ V</math>
 
Nel secondo caso:
 
<math>V_{2B}=f_2-I_Br_2=2.04\ V</math>
 
 
=== Scarica di un condensatore con due generatori ===
[[#Scarica di un condensatore con due generatori|→ Vai alla traccia]]
 
Prima della chiusura dell'interruttore la corrente che scorre nella maglia dove sono presenti entrambi i generatori vale:
 
<math>i_c=\frac {2f}{2r+R}=\frac {2f}{4r}=10\ A\ </math>
 
La tensione ai capi del condensatore vale:
 
<math>V_c=f-i_cr=\frac f2=10\ V\ </math>
 
Quindi la carica iniziale vale:
 
<math>Q_o=CV_c=C\frac f2=10\ \mu C\ </math>
 
Mentre quella finale è:
 
<math>Q_f=0\ </math>
 
Da cui la variazione di carica sul condensatore vale:
 
<math>\Delta Q=Q_o=10\ \mu C\ </math>
 
La costante di tempo di scarica è pari a:
 
<math>\tau=rC/2=0.5\ \mu s\ </math>
 
Quindi essendo:
 
<math>Q(t)=Q_o e^{-t/\tau}\ </math>
 
<math>I(t)=-\frac {Q_o}{\tau}e^{-t/\tau}=\frac {f}{r}e^{-t/\tau}\ </math>
 
Imponendo che:
 
<math>I(t_x)=\frac {f}{r}e^{-t_x/\tau}=I_o\ </math>
 
Si ha che:
 
<math>t_x=\tau \log(20)=1.5\ \mu s\ </math>
 
 
=== Una nuvola di pioggia ===
[[#Una nuvola di pioggia|→ Vai alla traccia]]
 
 
Riscrivendo nel [[w:Sistema_internazionale_di_unità_di_misura|SI]]:
 
<math>\Delta n=1.10\cdot 10^8\ 1/m^3\ </math>
 
Quindi la variazione di densit\'a di carica vale:
 
<math>\Delta \rho=e\Delta n=1.8\cdot 10^{11}\ C/m^3\ </math>
 
Quindi la carica trasferita durante una scarica vale:
 
<math>\Delta Q=\Delta \rho \frac 43 \pi (d/2)^3=2 C\ </math>
 
La corrente vale:
 
<math>I=\frac {\Delta Q}{t_o}=10\ A\ </math>
 
Quindi l'energia dissipata vale:
 
<math>E_d=V_o\Delta Q=1\cdot 10^8\ J\ </math>
 
La potenza invece vale:
 
<math>P=IV_o=5\cdot 10^8\ W\ </math>}}
 
 
 
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|La corrente elettrica]]
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