Esercizi di fisica con soluzioni/Dinamica di sistemi di punti materiali: differenze tra le versioni
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{{Esercizi di fisica con soluzioni}}
== Esercizi ==
=== Treno ===
Un treno è composto di una motrice e da tre vagoni, ed ha, inizialmente, una accelerazione <math>a_o\ </math>. Supponiamo che la motrice ed i vagoni abbiano ognuno massa <math>M\ </math>. Determinare: a) la forza motrice <math>F_M\ </math> della motrice, b) la forza <math>f_1\ </math> che esercita la motrice sul I vagone, c) la forza <math>f_3\ </math> che esercita il II vagone sul III.
(dati del problema <math>a_o=0.5\ m/s^2</math>, <math>M=2\cdot 10^4 kg</math>)
[[#Treno_2|→ Vai alla soluzione]]
=== Manubrio ===
Un manubrio è costituito da due masse uguali collegate da una sbarretta di massa
trascurabile di lunghezza <math>2d\ </math>: supponiamo che inizialmente esso ruoti liberamente
intorno ad un asse ortogonale al centro della sbarretta con velocità angolare
<math>\omega_i\ </math>. Se in virtù di forze interne le due masse vengono avvicinate in maniera da
distare alla fine solo <math>d/2\ </math> dal centro dell'asse di rotazione.
Determinare: La velocità angolare finale del sistema ed il lavoro fatto dalle forze interne.
(dati del problema <math>\omega_i=20\ rad/s\ </math>, <math>d=0.5\ m</math>, <math>m=2\ kg</math>)
[[#Manubrio_2|→ Vai alla soluzione]]
=== Blocchi con molla ===
Su un piano orizzontale sono posti due blocchi di masse <math>M_1\ </math> ed <math>M_2\ </math> rispettivamente. Tra i due blocchi, inizialmente fermi, è sistemata una molla, di massa trascurabile, mantenuta compressa con un corto filo di collegamento tra i blocchi. Ad un certo istante il filo viene tagliato ed i due blocchi vengono messi in movimento dalla molla.
Si osserva che la velocità acquistata dalla massa <math>M_1\ </math> è <math>v_1\ </math>.
Determinare l'energia elastica della molla nella configurazione iniziale.
(dati del problema <math>M_1=2\ kg</math>, <math>M_2=3\ kg</math>, <math>v_1=0.5\ m/s</math>, si trascuri l'attrito del piano)
[[#Blocchi_con_molla_2|→ Vai alla soluzione]]
== Soluzioni ==
=== Treno ===
[[#Treno|→ Vai alla traccia]]
Il sistema ha un solo grado di libertà, per cui ogni grandezza cinematica o dinamica, può esprimersi come uno scalare nella direzione del moto. Le equazioni del moto sono:
<math>F_M-f_1=Ma_o\ </math>
<math>f_1-f_2=Ma_o\ </math>
<math>f_2-f_3=Ma_o\ </math>
<math>f_3=Ma_o\ </math>
Sommandole:
<math>F_M=4Ma_o=40\ kN</math>
<math>f_1=F_M-Ma_o=30\ kN</math>
<math>f_3=Ma_o=10\ kN</math>
=== Manubrio ===
[[#Manubrio|→ Vai alla traccia]]
Dovendosi conservare il momento della quantità di moto:
<math>2dm\omega_id=2\frac d2m\omega_f\frac d2\ </math>
<math>\omega_f=4\omega_i=80\ rad/s</math>
L'energia cinetica iniziale vale:
<math>E_i=m\omega_i^2d^2\ </math>
<math>E_f=m\omega_f^2\frac {d^2}{4}=4E_i\ </math>
Quindi l'energia cinetica aumenta di:
<math>E_f-E_i=3E_i=600\ J</math>
L'aumento di energia cinetica è dovuto alle sole forze interne.
=== Blocchi con molla ===
[[#Blocchi_con_molla|→ Vai alla traccia]]
Le forze che agiscono sono solo interne quindi essendo nulla la quantità di moto iniziale:
<math>M_2v_2+M_1v_1=0\ </math>
<math>v_2=-\frac {M_1}{M_2}v_1=-0.33\ m/s</math>
Che è anche l'energia cinetica della massa 2 quindi l'energia cinetica vale:
<math>E_k=\frac 12 M_1v_1^2+\frac 12 M_2v_2^2=0.42\ J</math>
che coincide con l'energia elastica della molla.
[[Categoria:Esercizi di fisica con soluzioni|Dinamica dei sistemi di punti materiali]]
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