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Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox2: differenze tra le versioni

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[[Fisica_classica/Carica_elettricaCampi_elettrici| Argomento precedente: LaCampo carica elettricaelettrico]]
 
=== DefinizioneIntroduzione dial campoteorema di elettricoGauss ===
Calcolare il campo generato da una distribuzione qualsiasi di carica può essere molto laborioso, anche se da un punto di vista concettuale è semplice. Infatti basta suddividere le cariche sorgenti in piccoli elementi e calcolare il campo risultante.
Tale esemplificazione è sempre possibile in condizioni statiche. Il teorema di Gauss che vale non solo per il campo elettrico, ma anche per quello gravitazionale, permette di determinare nel caso di situazioni di particolare simmetria il valore del campo.
 
=== Flusso di un campo vettoriale===
Sia <math>\vec{F}</math> la [[w:Forza_elettrica|forza coulombiana]] e <math>q_{0}\ </math> la carica elettrica di prova che intendiamo utilizzare.
Dato un campo vettoriale <math>\vec A\ </math> ed un generico elemento infinitesimo di superficie <math>ds\ </math> nello spazio in cui è definito <math>\vec A\ </math>, è possibile associare ad ognuno di tali elementi superficie una grandezza scalare:
 
:<math>d\Phi (\vec A)=ds \vec A \cdot \hat n\ </math>
Possiamo definire un [[w:Campo vettoriale|campo vettoriale]] <math>\vec{E}</math> dato da: <math>\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}</math>
 
che viene chiamata il flusso di <math>\vec A\ </math> attraverso la superficie <math>ds\ </math>, avendo definito con <math>\hat n\ </math> il versore normale alla superficie. Fin quando la superficie è aperta, vi è un'indeterminazione nella direzione dell'elemento di superficie. Se l'elemento di superficie fa invece parte di una superficie chiusa, si assume per convenzione che la normale sia diretta nella direzione esterna alla superficie. Spesso si preferisce associare un campo vettoriale agli elementi di superficie definendo:
Possiamo definire il campo anche come <math>\vec{E}(\vec{r}) = \lim_{q_0 \rightarrow 0} \frac{\vec{F}(\vec{r})}{q_0}\ </math>, tenendo presente che il limite non è da intendere in senso classico (poiché la carica è quantizzata e quindi non può essere
fisicamente resa piccola a piacere) bensì significa che la carica <math>q_0\ </math> deve essere abbastanza piccola rispetto alle cariche che generano il campo, in maniera da modificare il meno possibile la distribuzione di carica che consideriamo.
 
:<math>\vec {ds}=ds\hat n\ </math>
La forza di interazione elettrostatica è una [[w:Forza_centrale|forza centrale]] e quindi [[w:Forza_conservativa|conservativa]]. Cioè il lavoro fatto dalla forza elettrica non dipende dal percorso lungo il quale è stato calcolato, ma solo dagli estremi del percorso.
Il campo elettrico ha le dimensioni di una forza diviso una carica elettrica, estendendo il concetto di conservatività dalle forze ai campi si può affermare che il campo elettrostatico è conservativo, cioè ammette l'esistenza di un campo scalare detto potenziale elettrico definito in maniera univoca a meno di una costante arbitraria, che vedremo nel seguito.
 
Quindi il flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa <math>S\ </math> del vettore <math>\vec A\ </math> è definito da:
Le dimensioni fisiche del campo elettrico sono quelle di una forza divisa una carica. L'unità di misura è nel [[w:Sistema_Internazionale|Sistema Internazionale]] il Newton per Coulomb (N C<sup>-1</sup>) o equivalentemente il Volt per metro (V m<sup>-1</sup>). Il Volt (simbolo V) verrà introdotto nel seguito.
 
:<math>\Phi (\vec A)=\int_S \vec A\cdot \vec {ds}\ </math>
Dal punto di vista del mondo fisico in realtà si ha che le forze tra oggetti distanti vengono mediate dai campi. Concettualmente la differenza è fondamentale, infatti
mentre alla azione a distanza tra due oggetti non possiamo associare un tempo caratteristico di propagazione, il campo originato da una carica si propaga con una velocità caratteristica del campo
stesso. Nel caso del campo elettrico nel vuoto tale velocità è quella della luce, per cui nella maggior parte dei casi, essendo molto elevata rispetto alle altre velocità con cui siamo abituati a lavorare appare praticamente infinita. Ma nei fenomeni elettrici variabili nel tempo la velocità della luce gioca un ruolo importante per la comprensione dell'elettromagnetismo. Oltre al
ruolo concettualmente essenziale del campo, la sua introduzione
permette di studiare in maniera più semplice l'elettrostatica.
Infatti la presenza di cariche di due segni presenta una ovvia difficoltà nel trattare la distribuzione generale di molte cariche.
== Campo Elettrico generato da una carica puntiforme ==
 
Il concetto di flusso deriva dall'idraulica, nel quale il flusso della velocità di un fluido attraverso una superficie è proporzionale alla portata, cioè la quantità di fluido che attraversa la sezione del condotto considerato. Se il fluido è incompressibile e la superficie attraverso cui si calcola la portata è chiusa, il flusso è identicamente nullo, altrimenti la materia non si conserverebbe.
Consideriamo il caso di una carica puntiforme <math>q\ </math> posta nell'origine delle coordinate
ed un carica <math>q_o\ </math> posta nel punto <math>P\ </math> a distanza <math>r\ </math> dall'origine.
 
===Enunciazione del teorema di Gauss ===
Con la legge di Coulomb possiamo scrivere:
L'enunciato del teorema di Gauss è che '''il fluire del campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è pari alla somma algebrica delle cariche interne diviso la costante dielettrica del vuoto''':
 
:<math>\Phi_S(\vec{F} E)= \frac {\sum_{i=1}^n Q_i}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_0varepsilon_o q}{r^2}\hat{u_n} </math>
 
Eventuali cariche all'esterno della superficie chiusa non portano alcun contributo al flusso di <math>\vec E\ </math>.
dove <math>\hat{u_n}\ </math> è il versore del raggio.
In questo semplice caso, dalla definizione data di campo elettrico segue che:
 
Il teorema di Gauss vale per qualunque campo vettoriale additivo tale che, esistendo sorgenti puntiformi del campo stesso, abbia una dipendenza in modulo proporzionale all'inverso del quadrato della distanza. Il teorema di Gauss può essere applicato al campo gravitazionale.
<math>\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{u_n}</math>
 
Per somma algebrica s'intende che se all'interno della superficie la carica totale è nulla, il flusso è nullo. Se la somma delle cariche è positiva, il flusso è positivo, se la somma delle cariche è negativa, il flusso è negativo.
Se la carica <math>q\ </math> fosse stata non nell'origine, ma nel punto <math>P'\ </math> di coordinate
<math>r'\ </math> semplicemente l'espressione del campo cambierebbe in:
 
Se la distribuzione di cariche è continua (densità volumetrica, superficiale o lineare) alla somma algebrica si
<math>\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{(r-r')^3} (\vec {r}-\vec {r'})\ </math>
sostituirà l'integrale.
 
AvendoLa indicatodimostrazione consegue <math>\hatdirettamente {u_n}=dalla \fraclegge {\vecdi {r}-\vecCoulomb, {r'}}{r-r'}secondo cui ogni carica puntiforme <math>Q_i\ </math> ilgenera versoreun checampo identificaradiale lache direzione travaria come <math>\vec {r'}1/r_i^2\ </math> ed(dove <math>\vec {r}r_i\ </math> è la distanza dalla carica stessa).
=== Rappresentazione mediante linee di campo===
[[Immagine:VFPt plus.svg|left|thumb|200px|Linee di flusso prodotto da una carica positiva nello spazio]]
[[Immagine:VFPt minus.svg|thumb|200px|Linee di flusso entranti per il campo elettrico prodotto da una carica negativa nello spazio]]
Per rappresentare i campi elettrici spesso si usa una utile rappresentazione grafica mediante le cosidette linee del campo.
In tale rappresentazione la tangente alla linea determina la direzione del campo. Quindi esce dalle cariche positive che sono quindi sorgenti del campo (come mostrato nella figura a sinistra) ed entra nelle cariche negative che si considerano dei pozzi (come mostrato nella figura a destra).
La densità delle linee è una misura dell'intesità del campo stesso. Quindi nell'esempio mostrato
vicino alle sorgenti o pozzi del campo vi un maggior numero di linee per unità di superfici, rispetto alle zone lontane dove il campo si attenua. La rappresentazione è utile per mostrare graficamente il campo elettrico e sarà usata nel seguito.
 
La scelta della forma della [[Fisica_classica/Carica_elettrica|legge di Coulomb]], in cui artificialmente abbiamo introdotto come costante moltiplicativa <math>1/4\pi\ </math>, dipende dal fatto che con tale definizione la legge di Gauss in elettrostatica assume la forma semplice fornita dall'equazione appena data.
=== Espressione del campo in coordinate cartesiane ===
La rappresentazione in coordinate cartesiane permette di calcolare in maniera analitica il problema. Viene fatto il calcolo esplicito per mostrare l'utilità della formula compatta appena indicata.
 
La legge di Gauss è di notevole importanza in quanto consente, non solo di dedurre le cariche presenti una volta che si conosca il campo elettrico, ma anche di calcolare il campo elettrico in maniera semplice, quando la situazione fisica è dotata di particolare simmetria.
Sia <math>P=(x_0,y_0,z_0)\ </math> il punto in cui risiede la carica che genera il campo elettrico. Il punto dove calcoliamo un campo ha coordinate<math>P = (x,y,z)\ </math>.
 
===Dimostrazione del Teorema di Gauss===
Il versore <math>\hat{u_n}</math> ha componenti:
[[Image:GAUSS1.png|thumb|250px|right|Una carica puntiforme all'interno di una superficie chiusa]]
<math>\hat{u_n} = \left( \frac{x-x_0}{r-r'}, \frac{y-y_0}{r-r'}, \frac{z-z_0}{r-r'} \right)</math>. Una volta ottenute le componenti del versore possiamo scomporre il campo in componenti lungo gli assi:
Consideriamo una carica puntiforme positiva all'interno di una superficie <math>S\ </math> dello spazio (in un punto qualsiasi all'interno). Il flusso elementare del campo elettrico vale:
 
:<math>E_xd\Phi( \overrightarrow{E}) = \fracoverrightarrow{1E} \cdot \overrightarrow{dS} = \frac 1{4\pi \epsilon_0varepsilon_o} \frac Q{q(x-x_0)r^2}{\lefthat r\{cdot (x-x_0)^2\hat +n (y-y_0)^2dS=\frac + (z-z_0)^21{4\pi \right\varepsilon_o}^{ \frac {3QdS_n}{r^2}}}</math>
 
Dove <math>dS_n\ </math> è la proiezione dell'elemento di superficie <math>\overrightarrow{dS}</math> sulla sfera di raggio <math>r\ </math> e centro sulla carica <math>Q\ </math>.
<math>E_y = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q(y-y_0)}{\left\{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
L'estensione agli angoli nel piano sono gli [[w:Angolo_solido|angoli solidi]]. Si definisce angolo solido come rapporto tra l'elemento di superficie normale intercettato ed il quadrato della distanza:
<math>E_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q(z-z_0)}{\left\{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
<math>d \Omega=\frac {dS_n}{r^2}\ </math>
Questa è l'espressione esplicita del campo elettrostatico generato dalla carica <math>q\ </math> posta nel punto di coordinate
<math>r'\ </math> nel punto di coordinate <math>r\ </math>.
 
L'integrale lungo tutte le direzioni possibili in 3 dimensioni di un angolo solido vale <math>4\pi\ </math>. Da questa considerazione segue che:
== Sovrapposizione dei Campi Elettrici ==
Se invece di avere una singola carica avessimo più cariche il campo elettrico è semplicemente pari alla somma dei campi generati
dalle singole cariche. Tale proprietà non è banale in quanto non tutti campi di forze godono di tale principio elementare di sovrapposizione.
 
:<math>d\Phi( \overrightarrow{E})=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} Qd\Omega</math>
Vi è da aggiungere che
anche il campo elettrico in
presenza di materia non rispetta più tale principio.
Infatti, quando i campi raggiungono intensità molto elevate, la loro azione può produrre effetti irreversibili sulla materia stessa.
Quindi a tale irreversibilità si accompagna una non sovrapposizione degli effetti. La ragione di questo fatto può dipendere da vari fenomeni:
 
[[Immagine:GAUSS2.png|thumb|250px|right|Una carica puntiforme all'interno di una superficie chiusa rientrante]]
* ''La materia sulla terra è fatta di molecole, cioè aggregati di atomi, tenute insieme da forze di natura elettrica. Quando i campi esterni eguagliano o superano tali forze di coesione le molecole stesse vengono spaccate.''
Per calcolare il flusso totale attraverso <math>S\ </math> basta integrare su tutta la superficie <math>S\ </math>. Cioè:
 
<math>\Phi_S(\vec E)= \int_S d\Phi= \frac 1{4\pi \varepsilon_o} Q
* ''Le forze elettriche determinano la coesione del nucleo con gli elettroni, quindi, quando i campi esterni sono confrontabili con i campi interni agli atomi, i campi esterni spaccano gli atomi.
\int_{4\pi } d\Omega= \frac Q{\varepsilon_o}</math>
''
 
La superficie chiusa copre, intorno alla carica <math>Q\ </math>, l'intero angolo solido. Vediamo quindi che il flusso di <math>\overrightarrow{E}\ </math> non dipende dalla forma della superficie: se la superficie avesse delle rientranze tali rientranze verrebbero attraversate dal cono un numero dispari di volte e i vari contributi si eliderebbero due a due. Come appare nella figura a fianco.
* ''In presenza di cariche libere, queste vengono accelerate dai campi, e se nel processo raggiungono velocità così elevate che la loro energia cinetica è sufficiente a [[w:Ionizzazione|ionizzare]] gli atomi che urtano alla fine del loro cammino, tali elettroni liberati nel processo a loro volta vengono accelerati e quindi si produce una moltiplicazione a valanga.''
 
Lo spostare la carica in un altro punto all'interno della superficie non cambierebbe in nessuna maniera il risultato. Se la carica all'interno fosse stata negativa il flusso sarebbe risultato negativo in quanto le linee del campo sarebbero dirette verso la carica stessa.
Vi è da osservare che la non sovrapponibilità degli effetti in ogni caso riguarda il mondo macroscopico con la sua complessità, ma a livello microscopico
la sovrapposizione degli effetti è invece sempre valida per quanto riguarda il campo elettrico.
In ogni caso la trattazione inizialmente riguarda i campi elettrici nel vuoto
o con presenza molto scarsa di materia. Quindi tale principio generale di sovrapposizione lo considereremo inizialmente valido.
Se non fosse valido non potremmo fare in maniera semplice somme o integrali come faremo nella trattazione seguente.
 
Se sono poste <math>n\ </math> cariche <math>Q_i\ </math> all'interno della superficie <math>S\ </math> potremo scrivere:
== Distribuzione discreta di carica ==
[[Immagine:VFPt_charges_minus_minus.svg|thumb|300px|Campo elettrico prodotto da due cariche negative]]
Nel caso di n cariche disposte nello spazio il principio di sovrapposizione si traduce dal punto di vista matematico, nell'espressione:
 
<math>d\Phi( \overrightarrow{E}) = \overrightarrow{E} \cdot
<math>\vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i}{r_i^2} \hat{u_i}</math>
\overrightarrow{dS} =\left(\sum_{i=1}^n \overrightarrow{E_i}\right)
\cdot \overrightarrow{dS}=\sum_{i=1}^n \left(\overrightarrow{E_i}\cdot
\overrightarrow{dS}\right)=\sum_{i=1}^n d\Phi_i</math>
 
Abbiamo applicato il principio di sovrapposizione dei campi generati dalle singole cariche. Integrando su tutta la superficie abbiamo quindi che:
Dove indichiamo con <math>q_i</math> la i-esima carica della distribuzione con posizione <math>r_i=(x_i,y_i,z_i)\ </math>
 
<math>\Phi_S(\vec E)= \int_S d\Phi= \int_S \sum_{i=1}^n d\Phi_i=\sum_{i=1}^n \int_S d\Phi_i=
In modo del tutto analogo scriviamo le componenti del campo:
\sum_{i=1}^n \Phi_i=\frac {\sum_{i=1}^n Q_i}{\varepsilon_o }</math>
 
Consideriamo ora il caso di una carica <math>Q\ </math> esterna alla superficie <math>S\ </math>, così come in figura. [[Image:GAUSS3.png|thumb|250px|right|Una carica puntiforme all'esterno di una superficie chiusa rientrante]]
<math>E_x = \sum_{i = 1}^n\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i(x-x_i)}{\left\{ (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
Il contributo al flusso degli elementi <math>dS_1\ </math> e <math>dS_2\ </math> è in modulo eguale, ma di segno opposto;
<math>E_y = \sum_{i = 1}^n\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i(y-y_i)}{\left\{ (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2\right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
quindi il loro contributo si può omettere, come quello di <math>dS_3\ </math> e <math>dS_4\ </math>. In generale, partendo dal punto <math>O\ </math> ed andando in qualsiasi direzione, la superficie chiusa, attraverso la quale si vuole calcolare il flusso del campo elettrico, viene intersecata sempre un numero pari di volte.
<math>E_z = \sum_{i = 1}^n\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i(z-z_i)}{\left\{ (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
I contributi delle varie intersezioni si elidono sempre due a due. Quindi, comunque sia fatta tale superficie, si ha sempre:
== Esercizi utili==
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Quattro_cariche_eguali|'''Campo generato da quattro cariche eguali sui vertici di un quadrato''']], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Un_semplice_quadrupolo|'''Il campo di un quadrupolo''']] ed anche il campo elettrico di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Otto_cariche_eguali|'''otto cariche elettriche poste sui vertici di un cubo''']]
 
<math>\Phi_S(\vec E)=0\ </math>
== Caso di un sistema con una distribuzione continua di carica ==
 
Il teorema di Gauss è conseguenza diretta della legge di Coulomb, quindi non aggiunge niente rispetto a tale legge. Tale teorema permette di determinare le cariche presenti in una regione di spazio una volta che si conosca il campo elettrico. D'altro canto quando si hanno condizioni di simmetria permette di calcolare
Fino ad adesso abbiamo trattato casi in cui riuscivamo a contare le particelle cariche. Ma nelle esperienze pratiche si deve tenere conto che il numero di particelle è molto elevato. Quindi introduciamo una nuova entità:
esattamente il valore del campo.
 
Se le cariche fossero distribuite in maniera continua, ad esempio con densità di carica <math>\rho\ </math>, se si indica con <math>T\ </math> il volume racchiuso dalla superficie <math>S\ </math> e con <math>d\tau\ </math> l'elemento di volume:
Sia <math>d\tau</math> un volumetto infinitesimo tale che contenga un numero abbastanza elevato di cariche. Si definisce densità di carica la quantità: <math>\rho = \frac{dq}{d\tau}</math>, ovvero la quantità di carica inclusa nel volumetto infinitesimo.
 
<math>\Phi_S(\vec E)=\int_S \overrightarrow{E} \cdot
Supponiamo di voler misurare il campo in un punto di <math>P \in\mathbb{R}^3</math> di coordinate <math>(x,y,z)\ </math> e di avere una distribuzione di carica generatrice del campo. Isoliamo un volumetto che contiene una carica <math>dq</math> a coordinate <math>(x',y',z')\ </math>. Abbiamo che il campo infinitesimo generato dalla distribuzione di carica sarà:
\overrightarrow{dS}=\frac 1{\varepsilon_o}\int_T\rho d\tau</math>
=== Campo Elettrico di una sfera uniformente carica===
[[Immagine:GaussSphere.svg|thumb|250px|right|Una sfera uniformemente carica]]
Immaginiamo di avere una sfera di raggio <math>R\ </math> uniformente carica con una densità volumetrica di carica <math>\rho\ </math>.
 
Per ragioni di simmetria il campo elettrico interno ed esterno deve essere radiale ed eguale in tutti i punti che sono equidistanti dal centro. Quindi si tratta di determinare <math>E_r(r)\ </math>. Dove con <math>E_r\ </math> si è descritta la componente radiale del campo.
<math>d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{u} = \frac{\rho d\tau}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{u}</math>
 
Il calcolo va fatto considerando due casi distinti:
Il campo totale sarà ottenuto con una quadratura su tutto lo spazio:
 
a) Il campo all'interno della sfera per <math>r<R\ </math>. La superfice Gaussiana è una sfera di raggio <math>r\ </math> e quindi il flusso del campo elettrico varrà:
<math>\vec{E}(\vec{r}) = \int d\vec{E}(\vec{r}) = \iiint_{\tau}\frac{\rho(x',y',z') dx'dy'dz'}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{u}</math>
<math>\Phi_S(\vec E)=\int_S \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{dS}=E_r(r)4\pi r^2\ </math>
La carica all'interno di tale distribuzione vale:
<math>Q_{int}=\frac 43\pi r^3 \rho\ </math>
Quindi per il teorema di Gauss:
<math>E_r(r)4\pi r^2=\frac {Q_{int}}{\varepsilon_o}=\frac 4{3\varepsilon_o}\pi r^3 \rho\ </math>
===Casi con particolari simmetria===
Alcuni esempi mostrano l'applicazione del teorema di Gauss, in genere gli esempi sono classificati in funzione delle proprietà di simmetria. La simmetria sferica è quella che permette maggior numero di esempi:
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss/Una_nuvola_sferica_carica|nuvola sferica]],
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss/Guscio_sferico|guscio sferico]],
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss/Guscio_sferico_con_foro|guscio con foro]],
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss/Campo_elettrico_terrestre|campo elettrico sulla terra]]. Possono essere fatti altri esempi di [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss/Nuvola_cilindrica|simmetria cilindrica]], due
esempi con simettria piana: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss/Doppio_strato|doppio strato]],
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/La_legge_di_Gauss/Giunzione_p-n_graduale|giunzione p-n]].
 
===Il teorema di Gauss in forma differenziale===
Analogalmente alla distribuzione discreta possiamo ottenere le componenti del campo:
Spesso tale teorema in forma locale viene chiamato ''[[w:Equazioni di Maxwell|prima equazione di Maxwell]]''. Notiamo come tale espressione locale sia soggetta a delle limitazioni al contrario della forma integrale appena data. La dimostrazione si basa su un teorema di matematica, il [[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Teorema_della_divergenza|teorema della divergenza]]. Tale teorema afferma che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa <math>S\ </math> è pari all'integrale di volume della divergenza del campo stesso calcolato sul volume <math>T\ </math> racchiuso da <math>S\ </math>.
 
La divergenza di un campo vettoriale è uno scalare che misura in qualche maniera la variazione spaziale del campo stesso. La sua definizione è la seguente, dato un campo vettoriale <math>\vec A\ </math> e un operatore vettoriale, definito con <math>\vec \nabla\ </math>:
 
<math>E_x\vec \nabla= \left(\frac {1\partial}{4\pi\epsilon_0}partial x}\iiint_{\tau}vec i+ \frac {\rho(x',y',z')(x-x')dx'dy'dz'partial}{\left\{partial (x-x')^2 + (y-y')^2}\vec j+ (z-z')^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
{\partial}{\partial z}\vec k
\right)\ </math>
 
Il prodotto scalare di <math>\vec \nabla\ </math> con tale generico campo vettoriale viene chiamata divergenza:
<math>E_y = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\tau} \frac{\rho(x',y',z')(y-y')dx'dy'dz'}{\left\{ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
<math>div \vec A=\vec \nabla \cdot \vec A=\frac {\partial A_x}{\partial x}+ \frac
<math>E_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\tau} \frac{\rho(x',y',z')(z-z')dx'dy'dz'}{\left\{ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
{\partial A_y}{\partial y}+\frac {\partial A_z}{\partial z} \ </math>
 
Tenuto conto di tale affermazione, il teorema di Gauss esteso ad una generica superficie <math>S\ </math> che racchiude il volume <math>T\ </math> si può riscrivere:
Oltre alla densità di carica volumica si definiscono le densità di carica superficiale e lineare:
 
<math>\int_S \vec{E} \cdot \vec{dS}=\int_T \vec \nabla \cdot \vec E dT=\frac 1{\varepsilon_o}
<math>\sigma = \frac{dq}{d\Sigma}</math>
\int_T\rho dT </math>
 
Dall'eguaglianza nell'ultima espressione dei due integrali, qualunque sia il volume di integrazione <math>T\ </math>, segue che gli integrandi coincidono, quindi:
<math>\lambda = \frac{dq}{dl}</math>
 
<math>\vec \nabla \cdot \vec E=\frac {\rho}{\varepsilon_o}\ </math>
[[Immagine:Electric_Field_of_a_line.PNG|300px|right]]
 
Questa espressione detta equazione in forma locale è formalmente equivalente alla legge di Gauss, da cui è stata ricavata con l'ipotesi implicita che nel dominio considerato (il volume T) il campo elettrico sia derivabile in ogni punto. Quindi la limitazione della forma locale è proprio nei casi in cui si ha discontinuità del campo elettrico.
Il campo elettrico generato in un punto <math>P\ </math> generico dello spazio, posto alla distanza
<math>\overrightarrow{r}\ </math> dall'origine <math>O\ </math>, da una distribuzione lineare di lunghezza <math>L\ </math>
vale:
 
Ad esempio, nella separazione tra due mezzi, caso non del vuoto, il campo elettrico ha in genere una discontinuità. Tale limitazione non comporta nessun problema se si divide il dominio in sottodomini in cui tale discontinuità è rimossa. Il problema riguarderà il fatto di imporre le condizioni di raccordo tra i vari domini. Il teorema di Gauss in forma locale collega la divergenza del campo elettrico alla densità volumetrica di carica. Tale forma mal si adatta a considerare casi in cui la carica sia distribuita su superfici o lungo linee.
 
[[Fisica_classica/Potenziale_elettrico| Argomento seguente: Potenziale elettrico]]
<math>\overrightarrow{E}
(\overrightarrow{r})=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
\int_0^L
\frac{ \lambda dl}{|r-r_l|^3} ( \overrightarrow
r-\overrightarrow
{r_l})\ </math>
 
[[Categoria:Fisica classica|Legge di Gauss]]
Dove <math>\overrightarrow{r_l}\ </math> è il vettore posizione del generico
elemento <math>dl\ </math> della linea con densità di carica <math>\lambda
\ </math>
 
Sono suggeriti alcuni esempi riguardanti la distribuzione lineare di carica su una
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Una_sbarretta_sottile_isolante|sbarretta isolata]],
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Due_sbarrette_perpendicolari|coppia di sbarrette]],
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Una_spira_circolare_carica|un anello carico]].
La distribuzione superficiale in due casi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Un_disco_uniformemente_carico|un disco
isolante]] ed [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Un_disco_sottile_conduttore|un disco conduttore]].
 
[[Fisica_classica/Legge_di_Gauss| Argomento seguente: La legge di Gauss]]
 
 
[[Categoria:Fisica classica|Campi elettrici]]
Estratto da "https://it.wikibooks.org/wiki/Utente:Pasquale.Carelli/Sandbox2"