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[[Fisica_classica/Carica_elettrica| Argomento precedente: La carica elettrica]]
L'elettromagnetismo rappresenta nel suo insieme una teoria completa che inquadra in un insieme estremamente compatto
i fenomeni elettrici e magnetici. La costruzione di tale teoria è iniziata con le prime osservazioni fenomenologiche fatte
al tempo dei greci, della esistenza e delle proprietà della [[w:magnetite|magnetite]] ne abbiamo notizia già dalle opere di [[w:Talete_di_Mileto|Talete]]. Nel tardo medioevo, verso il 1000 d.C., incomincia ad essere usata la [[w:Bussola|bussola]], probabilmente viene scoperta dai cinesi e riportata nell'area mediterranea dagli arabi, e secondo la tradizione italiana da [[w:Flavio_Gioia|Flavio Gioia]]. Data l'importanza della bussola nella navigazione il magnetismo
terrestre e la sua fenomenologia sono state ben studiate sin dal tardo medioevo. Al contrario
l'elettricità non ha avuto applicazioni fino al '700.
 
== Definizione di campo elettrico ==
Le leggi che inquadrano perfettamente i fenomeni sono dette equazioni di Maxwell, che sono il frutto del lavoro sperimentale
e teorico di un numero notevole di scienziati. Le leggi di Maxwell sono compatibili con la [[w:Relativit%C3%A0_speciale|relatività]], anzi si può dire che [[w:Albert_Einstein|Einstein]] partendo dall'equazione dell'elettromagnetismo pose le basi della sua teoria. I fenomeni dell'elettromagnetismo sono stati infine inquadrati in maniera completa
nella [[w:Meccanica_Quantistica|meccanica quantistica]] mediante la cosidetta [[w:Elettrodinamica_quantistica|elettrodinamica quantistica]]. In questo libro di fisica classica ci limiteremo alla descrizione dovuta all'equazioni di Maxwell, quindi
dando la spiegazione che storicamente era possibile dare fino alla fine dell'Ottocento.
 
Sia <math>\vec{F}</math> la [[w:Forza_elettrica|forza coulombiana]] e <math>q_{0}\ </math> la carica elettrica di prova che intendiamo utilizzare.
== Fenomeni elettrici==
[[Immagine:Static_repulsion.jpg|thumb|200px|Dimostrazione della repulsione tra due nastri di plastica carichi negativamente]]
Gia nel VI secolo a. C. si era visto che strofinando oggetti di sostanze eguali ad esempio l'[[w:Ambra_(resina)|ambra]], si esercitava tra di loro una azione a distanza repulsiva, come mostrato nella figura a fianco). L'effetto è più appariscente nella figura, di quanto sarebbe apparso ad un ricercatore del VI secolo a. C., in quanto le plastiche manifestano in maniera appariscente il fenomeno, a causa della loro bassissima resistenza elettrica che vedremo nel seguito. Mentre si può osservare che strofinando tra di loro due oggetti diversi, ad esempio vetro contro ambra, si aveva una forza attrattiva. Tale forza soddisfa il principio di azione e reazione.
Le sostanze che per strofinio assumono la stessa carica dell'ambra sono dette cariche negativamente, mentre gli oggetti che si caricano come il vetro si dice che assumono carica elettrica positiva.
[[Immagine:Charges_repulsion_attraction.svg|left|thumb|200px|I tre casi possibili di azioni elettriche]]
Il concetto nuovo dell'elettromagnetismo è il concetto di '''carica elettrica'''.
La carica elettrica è un concetto chiave per comprendere i fenomeni [[w:elettromagnetismo|elettromagnetici]]. Essa come la massa è una '''proprietà della materia'''. Questa proprietà si manifesta attraverso l'azione di forze a distanza (senza contatto dei corpi). Corpi carichi elettricamente interagiscono fra di loro manifestandosi forze di tipo elettrico (forza attrattiva o repulsiva). Le cariche si presentano in due forme (esprimibili grazie al segno + o -): positiva e negativa. La forza elettrica ha notevoli somiglianze con la [[Fisica_classica/Gravitazione|forza gravitazionale]], ma a differenza della gravità in cui esistono solo masse gravitazionali positive, la presenza di due diversi tipi di cariche, rende la forza elettrica peculiare. Infatti due cariche dello stesso segno si respingono, mentre cariche di segno opposto si attraggono.
La spiegazione microscopica del fenomeno risiede nella natura degli atomi, fatti da un numero eguale di elettroni (carichi negativamente) e da protoni (carichi positivamente). Le due cariche sono eguali ed opposte e tutti gli atomi hanno lo stesso numero di elettroni e protoni, quindi nello stato stabile sono neutri. Il nome elettrone deriva dal nome greco dell'ambra (in [[w:lingua greca antica|greco antico]] ἤλεκτρον, ''elektron'').
Gli elettroni orbitano intorno alla parte centrale dell'atomo, e sono quelli che possono essere o tolti o aggiunti per strofinio. Le dimensione degli atomi di circa 0.2-0.4 nm dipendono dalle dimensione degli [[w:Orbitali|orbitali]] degli elettroni. Il nucleo di dimensione dell'ordine di 10<sup>-15</sup> m contiene i protoni, assieme a delle particelle simili per quanto riguarda la massa, ma neutre dette neutroni.
[[Immagine:Electroscope showing induction.png|thumb|left|300px|Un elettroscopio a foglie in cui viene mostrato il fenomeno della induzione elettrostatica.]]
Vi è una sostanziale differenza tra le sostanze isolanti in cui una volta strofinate le cariche in eccesso o in difetto rimangono per un tempo molto lungo dove sono state tolte o aggiunte e altre sostanze detti conduttori in cui le cariche sono apparentemente libere di muoversi tutti i metalli
ma in genere quelli che vengono chiamati conduttori. Un conduttore può essere elettrizzato per strofinio ma anche mettendo in contatto con una altro corpo conduttore carico, in quanto le cariche libere si distribuiscono tra i due conduttori. Un ulteriore fenomeno che vedremo nel seguito è l'induzione elettrostatica in cui un conduttore isolato, a causa della presenza nelle sua vicinanze di un oggetto carico, ridistribuisce la carica sulla sua superfice, come vedremo per annulare il campo elettrico nel suo interno, e quindi può con parico
 
Possiamo definire un [[w:Campo vettoriale|campo vettoriale]] <math>\vec{E}</math> dato da: <math>\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}</math>
==Legge di Coulomb==
Sperimentalmente si verifica che due corpi puntiformi elettricamente carichi, fermi e posti nel vuoto, si scambiano una [[w:Forza|forza]] proporzionale al prodotto delle loro cariche ed inversamente proporzionale al quadrato della loro rispettiva distanza. Tale forza è diretta lungo la congiungente i due corpi ed è repulsiva se le cariche dei corpi sono di segno uguale ed in caso contrario attrattiva. La prima determinazione sperimentale delle proprietà sopra enunciate fu fatta da [[w:Charles_Coulomb|C. A. Coulomb]] che eseguì gli esperimenti tra il 1777 ed il 1785. Per tale ragione la forza che regola queste interazioni è chiamata '''legge di Coulomb'''. Tale legge analiticamente si esprime come:
 
Possiamo definire il campo anche come <math>\vec{E}(\vec{r}) = \lim_{q_0 \rightarrow 0} \frac{\vec{F}(\vec{r})}{q_0}\ </math>, tenendo presente che il limite non è da intendere in senso classico (poiché la carica è quantizzata e quindi non può essere
<math>\overrightarrow{F}_{12}=\frac 1{4\pi \varepsilon _o}\text{ }\frac{q_1\text{ }
fisicamente resa piccola a piacere) bensì significa che la carica <math>q_0\ </math> deve essere abbastanza piccola rispetto alle cariche che generano il campo, in maniera da modificare il meno possibile la distribuzione di carica che consideriamo.
q_2}{r_{12}^2}\frac{\overrightarrow{r}_{12}}{r_{12}}\ </math>
 
La forza di interazione elettrostatica è una [[w:Forza_centrale|forza centrale]] e quindi [[w:Forza_conservativa|conservativa]]. Cioè il lavoro fatto dalla forza elettrica non dipende dal percorso lungo il quale è stato calcolato, ma solo dagli estremi del percorso.
Dove <math>q_1\ </math> e <math>q_2\ </math> sono le due cariche. La costante <math>\varepsilon _o\ </math> ha il valore, determinato sperimentalmente, di:
Il campo elettrico ha le dimensioni di una forza diviso una carica elettrica, estendendo il concetto di conservatività dalle forze ai campi si può affermare che il campo elettrostatico è conservativo, cioè ammette l'esistenza di un campo scalare detto potenziale elettrico definito in maniera univoca a meno di una costante arbitraria, che vedremo nel seguito.
 
Le dimensioni fisiche del campo elettrico sono quelle di una forza divisa una carica. L'unità di misura è nel [[w:Sistema_Internazionale|Sistema Internazionale]] il Newton per Coulomb (N C<sup>-1</sup>) o equivalentemente il Volt per metro (V m<sup>-1</sup>). Il Volt (simbolo V) verrà introdotto nel seguito.
<math>\varepsilon _o=8.85419\cdot 10^{-12}\text{ }N^{-1}\text{ }m^{-2}\text{ }C^2\ </math>
 
Dal punto di vista del mondo fisico in realtà si ha che le forze tra oggetti distanti vengono mediate dai campi. Concettualmente la differenza è fondamentale, infatti
Il suo valore dipende dalla scelta dell'unità di misura della carica elettrica; questa non può essere ricavata da quantità meccaniche, ma ne è completamente indipendente. Di conseguenza, per potere misurare quantitativamente le interazioni fra cariche elettriche, è necessario definire l'unità di misura di una grandezza elettrica, presa come fondamentale. La grandezza scelta come
mentre alla azione a distanza tra due oggetti non possiamo associare un tempo caratteristico di propagazione, il campo originato da una carica si propaga con una velocità caratteristica del campo
fondamentale nel sistema internazionale (SI) è l'intensità di corrente, cioè la carica elettrica che attraversa una sezione di un circuito elettrico nell'unità di tempo. Tale unità di misura è
stesso. Nel caso del campo elettrico nel vuoto tale velocità è quella della luce, per cui nella maggior parte dei casi, essendo molto elevata rispetto alle altre velocità con cui siamo abituati a lavorare appare praticamente infinita. Ma nei fenomeni elettrici variabili nel tempo la velocità della luce gioca un ruolo importante per la comprensione dell'elettromagnetismo. Oltre al
chiamata Ampère ('''A'''). Quindi, nel SI, la carica elettrica è una
ruolo concettualmente essenziale del campo, la sua introduzione
grandezza derivata chiamata ''Coulomb'' (C) <math>1\ C=A\cdot s\ </math>.
permette di studiare in maniera più semplice l'elettrostatica.
Infatti la presenza di cariche di due segni presenta una ovvia difficoltà nel trattare la distribuzione generale di molte cariche.
== Campo Elettrico generato da una carica puntiforme ==
 
Consideriamo il caso di una carica puntiforme <math>q\ </math> posta nell'origine delle coordinate
Notiamo come la forza elettrica sia in genere molto più intensa di quella gravitazionale almeno a livello atomico. Con un semplice esempio di
ed un carica <math>q_o\ </math> posta nel punto <math>P\ </math> a distanza <math>r\ </math> dall'origine.
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Forza_elettrica_e_gravitazionale|'''confronto tra le due forze a livello atomico''']] si può dimostrare come il rapporto tra l'attrazione elettrica e la attrazione gravitazionale nell'atomo di idrogeno è di circa <math>10^{39}\ </math>, quindi a livello
atomico in genere solo la forza elettrica genera effetti degni di nota. A livello nucleare l'interazione elettrica negli atomi di piccola massa è in genere meno importante della cosidetta [[w:Interazione_forte|interazione forte]] che rappresenta un'altra delle forze fondamentali della natura.
 
Con la legge di Coulomb possiamo scrivere:
==Quantizzazione della carica elettrica==
Come è stato dimostrato nel 1909 da [[w:Robert_Millikan|R. Millikan]], con il famoso [[w:esperimento della goccia di olio|Esperimento di Millikan]], tutte le cariche misurate in natura sono multiple intere di un valore di base, definito '''quanto di carica''' o '''carica fondamentale'''. Esso ha valore pari a '''e'''=1.60217653 × 10<sup>-19</sup> [[w:Coulomb|C]]. La carica elementare è una delle [[w:Costante fisica|costanti fisiche]] della fisica moderna. La carica di un elettrone è pari a '''-e''', mentre quella del protone è pari ad '''e'''.
 
<math>\vec{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_0 q}{r^2}\hat{u_n} </math>
Bisogna precisare che il [[w:Modello_Standard|modello standard]] della fisica moderna prevede l'esistenza di particelle con carica frazionaria, i [[w:Quark_%28particella%29|quark]], che hanno carica 2/3 e -1/3 in unità di '''e''', ma il modello prevede che i
quark non possono essere separati e quindi esistono solo all'interno di particelle con carica intera. Il fatto che non siano state mai misurate singolarmente, a causa di tale proprietà intrinseca, fa sì che non possano essere considerate cariche elementari.
 
dove <math>\hat{u_n}\ </math> è il versore del raggio.
==Conservazione della carica elettrica==
In questo semplice caso, dalla definizione data di campo elettrico segue che:
La legge di conservazione della carica stabilisce che la [[w:Carica_elettrica|carica elettrica]] non può essere né creata né distrutta. Quindi la quantità di carica elettrica è sempre conservata. In nessun esperimento mai è stata rilevata la non conservazione della carica, la conservazione della carica vale sia in Fisica classica, in [[w:Teoria_della_relativit%C3%A0|teoria della relatività]] che nella [[w:Meccanica_quantistica|meccanica quantistica]].
 
<math>\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat{u_n}</math>
In pratica tale principio stabilisce che, dato un certo volume, la variazione di carica al suo interno può solo avvenire mediante una corrente elettrica che fluisce attraverso la superficie di separazione del volume stesso
con il mondo esterno (se il flusso è entrante la carica cresce, se il flusso è uscente la carica decresce).
 
Se la carica <math>q\ </math> fosse stata non nell'origine, ma nel punto <math>P'\ </math> di coordinate
==La materia è elettricamente neutra==
<math>r'\ </math> semplicemente l'espressione del campo cambierebbe in:
Gli [[w:Atom|atomi]], nello stato di equilibrio, hanno un numero esattamente eguale di elettroni (carichi negativamente) e di protoni (carichi positivamente). Per cui, nello stato di equilibrio, gli atomi che sono le entità elementari che costituiscono la materia, nella credenza ottocentesca, sono neutri. La materia nello stato elementare sulla terra è composta da atomi, che essendo elettricamente e singolarmente neutri determinano la neutralità della materia.
 
<math>\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{(r-r')^3} (\vec {r}-\vec {r'})\ </math>
Vi è da aggiungere che a temperatura ambiente, media della temperatura sulla terra, la probabilità che gli atomi perdano degli elettroni per agitazione termica è estremamente bassa, ma a temperatura elevata come ad esempio all'interno di una stella, l'agitazione termica rende molto probabile la non neutralità degli atomi: atomi che hanno perso o acquistato uno o più elettroni si chiamano [[w:Ione|ioni]]. Quindi lo stato più comune della materia nell'universo, all'interno delle stelle, è quello di [[w:Plasma_%28fisica%29|plasma]], cioè un fluido globalmente neutro in cui si muovono liberamente cariche elettriche positive e negative.
 
Avendo indicato con <math>\hat {u_n}= \frac {\vec {r}-\vec {r'}}{r-r'}\ </math> il versore che identifica la direzione tra <math>\vec {r'}\ </math> ed <math>\vec {r}\ </math>.
[[Fisica_classica/Campi_elettrici| Argomento seguente: I Campi Elettrici]]
=== Rappresentazione mediante linee di campo===
[[Immagine:VFPt plus.svg|left|thumb|200px|Linee di flusso prodotto da una carica positiva nello spazio]]
[[Immagine:VFPt minus.svg|thumb|200px|Linee di flusso entranti per il campo elettrico prodotto da una carica negativa nello spazio]]
Per rappresentare i campi elettrici spesso si usa una utile rappresentazione grafica mediante le cosidette linee del campo.
In tale rappresentazione la tangente alla linea determina la direzione del campo. Quindi esce dalle cariche positive che sono quindi sorgenti del campo (come mostrato nella figura a sinistra) ed entra nelle cariche negative che si considerano dei pozzi (come mostrato nella figura a destra).
La densità delle linee è una misura dell'intesità del campo stesso. Quindi nell'esempio mostrato
vicino alle sorgenti o pozzi del campo vi un maggior numero di linee per unità di superfici, rispetto alle zone lontane dove il campo si attenua. La rappresentazione è utile per mostrare graficamente il campo elettrico e sarà usata nel seguito.
 
=== Espressione del campo in coordinate cartesiane ===
[[Categoria:Fisica classica|Elettrostatica]]
La rappresentazione in coordinate cartesiane permette di calcolare in maniera analitica il problema. Viene fatto il calcolo esplicito per mostrare l'utilità della formula compatta appena indicata.
 
Sia <math>P=(x_0,y_0,z_0)\ </math> il punto in cui risiede la carica che genera il campo elettrico. Il punto dove calcoliamo un campo ha coordinate<math>P = (x,y,z)\ </math>.
 
Il versore <math>\hat{u_n}</math> ha componenti:
<math>\hat{u_n} = \left( \frac{x-x_0}{r-r'}, \frac{y-y_0}{r-r'}, \frac{z-z_0}{r-r'} \right)</math>. Una volta ottenute le componenti del versore possiamo scomporre il campo in componenti lungo gli assi:
 
<math>E_x = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q(x-x_0)}{\left\{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
<math>E_y = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q(y-y_0)}{\left\{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
<math>E_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q(z-z_0)}{\left\{ (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
Questa è l'espressione esplicita del campo elettrostatico generato dalla carica <math>q\ </math> posta nel punto di coordinate
<math>r'\ </math> nel punto di coordinate <math>r\ </math>.
 
== Sovrapposizione dei Campi Elettrici ==
Se invece di avere una singola carica avessimo più cariche il campo elettrico è semplicemente pari alla somma dei campi generati
dalle singole cariche. Tale proprietà non è banale in quanto non tutti campi di forze godono di tale principio elementare di sovrapposizione.
 
Vi è da aggiungere che
anche il campo elettrico in
presenza di materia non rispetta più tale principio.
Infatti, quando i campi raggiungono intensità molto elevate, la loro azione può produrre effetti irreversibili sulla materia stessa.
Quindi a tale irreversibilità si accompagna una non sovrapposizione degli effetti. La ragione di questo fatto può dipendere da vari fenomeni:
 
* ''La materia sulla terra è fatta di molecole, cioè aggregati di atomi, tenute insieme da forze di natura elettrica. Quando i campi esterni eguagliano o superano tali forze di coesione le molecole stesse vengono spaccate.''
 
* ''Le forze elettriche determinano la coesione del nucleo con gli elettroni, quindi, quando i campi esterni sono confrontabili con i campi interni agli atomi, i campi esterni spaccano gli atomi.
''
 
* ''In presenza di cariche libere, queste vengono accelerate dai campi, e se nel processo raggiungono velocità così elevate che la loro energia cinetica è sufficiente a [[w:Ionizzazione|ionizzare]] gli atomi che urtano alla fine del loro cammino, tali elettroni liberati nel processo a loro volta vengono accelerati e quindi si produce una moltiplicazione a valanga.''
 
Vi è da osservare che la non sovrapponibilità degli effetti in ogni caso riguarda il mondo macroscopico con la sua complessità, ma a livello microscopico
la sovrapposizione degli effetti è invece sempre valida per quanto riguarda il campo elettrico.
In ogni caso la trattazione inizialmente riguarda i campi elettrici nel vuoto
o con presenza molto scarsa di materia. Quindi tale principio generale di sovrapposizione lo considereremo inizialmente valido.
Se non fosse valido non potremmo fare in maniera semplice somme o integrali come faremo nella trattazione seguente.
 
== Distribuzione discreta di carica ==
[[Immagine:VFPt_charges_minus_minus.svg|thumb|300px|Campo elettrico prodotto da due cariche negative]]
Nel caso di n cariche disposte nello spazio il principio di sovrapposizione si traduce dal punto di vista matematico, nell'espressione:
 
<math>\vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i = 1}^n \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i}{r_i^2} \hat{u_i}</math>
 
Dove indichiamo con <math>q_i</math> la i-esima carica della distribuzione con posizione <math>r_i=(x_i,y_i,z_i)\ </math>
 
In modo del tutto analogo scriviamo le componenti del campo:
 
<math>E_x = \sum_{i = 1}^n\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i(x-x_i)}{\left\{ (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
<math>E_y = \sum_{i = 1}^n\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i(y-y_i)}{\left\{ (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2\right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
<math>E_z = \sum_{i = 1}^n\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i(z-z_i)}{\left\{ (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
== Esercizi utili==
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Quattro_cariche_eguali|'''Campo generato da quattro cariche eguali sui vertici di un quadrato''']]
ed infine [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Un_semplice_quadrupolo|'''Il campo di un quadrupolo''']].
 
== Caso di un sistema con una distribuzione continua di carica ==
 
Fino ad adesso abbiamo trattato casi in cui riuscivamo a contare le particelle cariche. Ma nelle esperienze pratiche si deve tenere conto che il numero di particelle è molto elevato. Quindi introduciamo una nuova entità:
 
Sia <math>d\tau</math> un volumetto infinitesimo tale che contenga un numero abbastanza elevato di cariche. Si definisce densità di carica la quantità: <math>\rho = \frac{dq}{d\tau}</math>, ovvero la quantità di carica inclusa nel volumetto infinitesimo.
 
Supponiamo di voler misurare il campo in un punto di <math>P \in\mathbb{R}^3</math> di coordinate <math>(x,y,z)\ </math> e di avere una distribuzione di carica generatrice del campo. Isoliamo un volumetto che contiene una carica <math>dq</math> a coordinate <math>(x',y',z')\ </math>. Abbiamo che il campo infinitesimo generato dalla distribuzione di carica sarà:
 
<math>d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{u} = \frac{\rho d\tau}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{u}</math>
 
Il campo totale sarà ottenuto con una quadratura su tutto lo spazio:
 
<math>\vec{E}(\vec{r}) = \int d\vec{E}(\vec{r}) = \iiint_{\tau}\frac{\rho(x',y',z') dx'dy'dz'}{4\pi\epsilon_0 r^2} \hat{u}</math>
 
Analogalmente alla distribuzione discreta possiamo ottenere le componenti del campo:
 
 
<math>E_x = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\tau} \frac{\rho(x',y',z')(x-x')dx'dy'dz'}{\left\{ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
<math>E_y = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\tau} \frac{\rho(x',y',z')(y-y')dx'dy'dz'}{\left\{ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
<math>E_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\tau} \frac{\rho(x',y',z')(z-z')dx'dy'dz'}{\left\{ (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2 \right\}^{\frac{3}{2}}}</math>
 
Oltre alla densità di carica volumica si definiscono le densità di carica superficiale e lineare:
 
<math>\sigma = \frac{dq}{d\Sigma}</math>
 
<math>\lambda = \frac{dq}{dl}</math>
 
[[Immagine:Electric_Field_of_a_line.PNG|300px|right]]
 
Il campo elettrico generato in un punto <math>P\ </math> generico dello spazio, posto alla distanza
<math>\overrightarrow{r}\ </math> dall'origine <math>O\ </math>, da una distribuzione lineare di lunghezza <math>L\ </math>
vale:
 
 
<math>\overrightarrow{E}
(\overrightarrow{r})=
\frac 1{4\pi \varepsilon_o}
\int_0^L
\frac{ \lambda dl}{|r-r_l|^3} ( \overrightarrow
r-\overrightarrow
{r_l})\ </math>
 
Dove <math>\overrightarrow{r_l}\ </math> è il vettore posizione del generico
elemento <math>dl\ </math> della linea con densità di carica <math>\lambda
\ </math>
 
Sono suggeriti alcuni esempi riguardanti la distribuzione lineare di carica su una
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Una_sbarretta_sottile_isolante|sbarretta isolata]],
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Due_sbarrette_perpendicolari|coppia di sbarrette]],
[[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Una_spira_circolare_carica|un anello carico]].
La distribuzione superficiale in due casi: [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Un_disco_uniformemente_carico|un disco
isolante]] ed [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Un_disco_sottile_conduttore|un disco conduttore]].
 
[[Fisica_classica/Legge_di_Gauss| Argomento seguente: La legge di Gauss]]
 
 
[[Categoria:Fisica classica|Campi elettrici]]
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