Differenze tra le versioni di "Fisica classica/Potenziale elettrico"

aggiunta azione dei campi elettrici sui dipoli
(aggiunta azione dei campi elettrici sui dipoli)
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[[w:]][[Immagine:Dipolo.png|right|thumb|250px|Forze agenti su un dipolo elettrico immerso in un campo elettrico esterno]]
==Potenziale elettrico==
[[ImageImmagine:Two_points_connect_in_two_way.png|thumb|250px|right|Due diversi percorsi che connettono
due punti dello spazio]]
Estendendo il concetto di conservatività definito per le forze ai campi è facile mostrare come il campo elettrico generato da una carica puntiforme sia conservativo, cioè con riferimento alla figura a fianco, l'integrale di linea per andare da un punto a ad un punto b:
Queste relazioni sono analoghe alle equazioni ricavate per il campo elettrico.
 
===Dal Potenzialepotenziale elettrico al campo elettrico===
Quando abbiamo definito il potenziale elettrico siamo in realtà partiti dalla relazione infinitesima:
 
<math>\vec E=-\vec {\nabla}V\ </math>
 
===Il dipolo elettrico===
[[Image:Potenziale_dipolo_elettrico.png|thumb|250px|right|Un dipolo elettrico]]
Si chiama dipolo elettrico un insieme di due cariche eguali ed opposte:<math>+q\ </math> e <math>-q\ </math>, poste come nella figura a fianco a distanza <math>2a\ </math>. Un sistema di questo genere viene chiamato dipolo elettrico ed è caratterizzato dal suo momento di dipolo elettrico <math>\vec p\ </math>:
 
<math>V=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {pz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\ </math>
[[Immagine:VFPt_dipole_electric.svg|thumb|300px|right|Linee del campo elettrico di un dipolo]]
 
Da tale espressione esplicita è possibile calcolare le tre componenti del campo elettrico secondo i tre assi cartesiani, sempre nell'approssimazione di distanza grande rispetto alle dimensioni del dipolo stesso:
<math>E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {p}{r^5}(3z^2-r^2)\ </math>
 
Nella figura accanto sono mostrate le linee del campo elettrico di un dipolo.
È possibile scrivere una espressione del campo elettrico in forma più generale che non dipende dall'avere orientato il dipolo secondo l'asse delle z:
 
Due esercizi [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Un_dipolo|A]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Dipoli_differenza_di_potenziale|B]] possono servire a chiarire il concetto di dipolo.
 
[[w:]][[Immagine:DipoloDipolo_en_campo_electrico_uniforme.png|right|thumb|250px350px|right|Forze agenti su un dipolo elettricoda immersoparte indi un campo elettrico esternouniforme]]
===Unità di misura ed ordini di grandezza===
=== Azione dei campi elettrici sui dipoli elettrici===
Dato un dipolo elettrico rigido posto in un campo elettrico esterno come tutti i sistemi rigidi bisogna considera la forza risultante ed il momento risultante. Se il campo elettrico è uniforme la risultante delle forze è chiaramente nulla in quanto la forza agente sulla carica positiva è esattamente eguale e contraria a quella agente sulla negativa. Ben diverso è il caso del momento infatti se il dipolo ha una angolo <math>\theta\ </math> con la direzione del campo, sul sistema agirà una coppia di forze, data da due volte la forza per il braccio:
 
<math>|\tau| = 2|F|(a \sin \theta ) = 2a|F|\sin \theta \,\!</math>
 
Il momento si è indicato con la notazione anglosassone <math>\tau| \!</math>, per non generare confusione con grandezze che si studieranno nel magnetismo.
Poichè <math>|F|=q|E|\,\!</math> e <math>|p|=(2a)(q)\,</math>, si ha che:
 
<math>|\tau| = 2aq|E |\sin \theta = pE\sin \theta \,</math>
 
Per questa ragione un dipolo elettrico immerso in un campo esterno uniforme <math>\scriptstyle \vec E</math>, è soggetto a un momento che tende ad allinearlo alla direzione del campo:
 
<math>\boldsymbol\tau=\vec p \times \vec E</math>
 
Si deve fare un lavoro (positivo o negativo) mediante una azione esterna per cambiare la direzione relativa del dipolo rispetto al campo esterno. Essendo il campo elettrico conservativo, posso associare a tale lavoro una energia potenziale U.
 
Se <math>\theta \,\!</math> nella figura (a) ha il valore iniziale <math>{\theta }_0\,\!</math>, il lavoro necessario a ruotare il dipolo fino ad un angolo <math>\theta \,\!</math> è:
 
 
<math>U=W=\int dW = \int_{{\theta}_0}^{\theta} \tau d\theta =\int_{{\theta}_0}^{\theta} pE\sin \theta d\theta = pE\int_{{\theta}_0}^{\theta}\sin \theta d\theta=-pE[\cos \theta - \cos {\theta}_0]</math>
 
Se si assume che l'energia potenziale è nulla per <math>{\theta }_0 \,\!</math>=90º. Tale scelta corrisponde ad assumere che il potenziale minimo si ha con il dipolo allineato nel verso e direzione del campo ed il massimo quando è allineato nella direzione del campo ma con verso opposto.
Si ha che:
 
<math>U = -pE\cos \theta \,\!</math>
 
O in forma vettoriale
 
<math>U = -\vec p\cdot \vec E \ </math>
 
Se il campo elettrico non è uniforme la dinamica è chiaramente più compilcata in quanto la risulatante delle forze non è più nulla a meno che il dipolo sia orientato nella direzione in cui il campo elettrico non varia. Ma chiaramente questa non è una situazione di equilibrio in quanto
il momento sarà massimo in tale posizione e farà ruotare il dipolo allineandolo alle linee del campo. In generale la dinamica è molto complicata. Si semplifica il comportamento dinamico se si assume che l'allineamento del dipolo con le linee del campo avviene rapidamente rispetto al moto di trascinamento. Vi sarà un moto di trascinamento, in quanto se viene assunto come asse
delle <math>x\ </math> la direzione locale del campo elettrico su cui si allineato il dipolo.
Assunta l'origine sul centro del dipolo, la posizione della carica negativa sarà <math>-a\ </math>
e quella della positiva <math>a\ </math>.
La risultante della forza sarà quindi:
 
<math>F_x=qE_x(a)-qE_x(-a)\ </math>
 
Se la variazione di <math>E_x\ </math> non è troppo brusca:
 
<math>E_x(-a)\approx E_x(0)-\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}a\ </math>
 
<math>E_x(a)\approx E_x(0)+\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}a\ </math>
 
Quindi:
 
<math>F_x\approx 2qa\frac {\partial E_x}{\partial x}|_{x=0}=p\frac {\partial E_x}{\partial x}\ </math>
 
Cioè i dipolo sono trascinati nella regione dove più intenso è il campo elettrico. Tale forza di trascinamento viene utilizzata nelle fotocopiatri per trascinare il toner sulla carta.
 
===Unità di misura ed ordini di grandezza===
La dimensione fisica del potenziale elettrico equivale al rapporto tra l'energia e la quantità di carica elettrica,
quindi l'unita di misura nel [[w:Sistema_internazionale_di_unit%C3%A0_di_misura|Sistema Internazionale]] è detto [[w:Volt|Volt]] ed equivale a [[w:Joule|Joule]] diviso [[w:Coulomb|Coulomb]]: