Fondamenti di automatica: differenze tra le versioni
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*[[Fondamenti di automatica/Proprietà e prestazioni|Proprietà e prestazioni]]
== Metodi di analisi ==
=== Composizioni e Scomposizioni ===
Se si hanno due sistemi in serie,
Riga 33:
Se la parte che viene cancellata corrisponde a poli instabili, allora il sistema è instabile
==== Scomposizione canonica ====
Per un sistema in variabili di stato non completamente raggiungibile e osservabile esiste una forma di scomposizione detta \emph{decomposizione di Kalman}
\vedilibro{rif:b}{93, sezione 3.5.4: Scomposizione canonica e forma minima}
Riga 40:
\begin{itemize}
\item
non controllabile e non osservabile (
\item
non controllabile ed osservabile (
\item
controllabile e non osservabile (
\item
controllabile e osservabile (
\end{itemize}
si applica una trasformazione
ottenendo
<math>
Riga 58:
\right.
</math>
dove il vettore di stato trasformato
(tale che
è scomposto in quattro parti
\vedilibro{rif:b}{94}
<math>
x_{K}^{T} = \big[ x_{cn} , x_{co} , x_{nn} , x_{no} \big]
</math>
a cui corrispondono
Riga 74:
0 & 0 & A_{nn} & A_{nn-no} \\
0 & 0 & 0 & A_{no} \\
\end{array} \right)
</math>
Riga 97:
=== Criterio di Routh ===
\`E possibile verificare la stabilità di un sistema dal suo polinomio caratteristico, le cui radici determinano i poli del sistema
(se il sistema è rappresentato da una funzione di trasferimento razionale, senza ritardi di tempo)
Riga 104:
ma per polinomi di grado elevato risulta difficile stabilire il segno delle radici
Se tutti i coefficenti
non hanno lo stesso segno,
allora alcune radici hanno segno positivo ed il sistema è instabile
(ad una variazione di segno tra coefficenti
se il polinomio è di secondo ordine, allora se tutti i coefficenti hanno lo stesso segno, le radici sono tutte negative.
Riga 129:
<math>
\begin{array}{cccccc}
a^{n_{p}} & a^{n_{p}-2} &
a^{n_{p}-1} & a^{n_{p}-3} & \cdots & a^{4} & a^{2} & a^{0} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &
\end{array}
</math>
La tabella completa ha tante righe quanti sono i termini del polinomio caratteristico (
ogni due righe di lunghezza uguale, la riga successiva ha un elemento in meno,
gli elementi delle righe successive
(
sono calcolati sulla base
dei primi due elementi delle due righe superiori (
dei due elementi delle due righe superiori al di sopra dell'elemento stesso (
secondo lo schema
<math>
Riga 156:
\begin{array}{lccc}
a_{4} & a_{2} & a_{0} \\
a_{3} & a_{1} &
a_{2} - \frac{a_{4}a_{1}}{a_3} & a_{0} - \frac{a_{4}0}{a_3} \\
\vdots \\
Riga 165:
\vedilibro{rif:c}{192, sezione 6.4: Routh stability criterion, special cases}
=== Diagrammi di Bode ===
Consistono in due diagrammi che rappresentano il modulo (in decibel) e la fase della risposta in frequenza in funzione della pulsazione (in scala logaritmica)
Riga 183:
=== Diagramma polare ===
Si tratta del diagramma del modulo e della fase della risposta in frequenza
Il diagramma rappresenta una curva nel piano complesso con in ascissa
\vedilibro{rif:k}{865, appendice A-1: Polar plots}
Riga 195:
\begin{itemize}
\item
attraversa
\item
se ci sono zeri fa delle ondulazioni in punti dipendenti dal valore dello zero,
Riga 207:
=== Luogo delle radici ===
Il \emph{luogo delle radici}
\vedilibro{rif:k}{470, capitolo 8: Root locus tecnique}
Riga 213:
\vedilibro{rif:c}{201, capitolo 7: The root locus technique}
consiste nel tracciamento delle curve descritte dai poli e dagli zeri di un sistema in retroazione unitaria al variare del guadagno d'anello.
Ci riferiamo ad un sistema
Si definisce \emph{luogo delle radici inverso} il diagramma per valori negativi del guadagno d'anello.
Riga 221:
Il luogo delle radici consente di valutare facilmente la stabilità di un sistema in ciclo chiuso e le strategie di controllo necessarie a stabilizzare un sistema instabile
I punti
<math>
Riga 235:
<math>
\angle G(s) = (2i+1)\pi \phantom{4}
</math>
ovvero la somma delle fasi dei vettori che uniscono il punto con gli zeri meno la somma delle fasi che uniscono il punto con i poli deve essere
\vedilibro{rif:b}{391}
<math>
Riga 251:
la precedente è invece utile per trovare il guadagno corrispondente ad un punto appartenente al luogo
==== Proprietà del luogo delle radici diretto ====
Le curve del luogo delle radici diretto hanno le seguenti proprietà:
\vedilibro{rif:k}{500, tabella 8-2: Properties of the root loci}
Riga 264:
al crescere del modulo del guadagno d'anello si segue il luogo dai poli agli zeri, i rami che non terminano in zeri vanno asintoticamente all'infinito
\item
Gli
<math>
\theta_{i} = \frac{(2i-1)\pi}{n_{p} - n_{z}}
</math>
\item
L'intersezione degli asintoti (\emph{centroide}
<math>
\sigma_{c} = \frac{p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n_{p}}
Riga 280:
I rami del luogo nei punti di incrocio formano tra loro angoli uguali
\item
l'angolo
<math>
\theta_{t} =
- \theta_{P1} - \cdots - \theta_{Pn_{p}} )
</math>
dove
oppure
e
(con gli angoli valutati rispetto all'asse reale positivo)
\end{enumerate}
==== Proprietà del luogo delle radici inverso ====
il luogo delle radici inverso differisce dal luogo diretto:
\vedilibro{rif:k}{500, tabella 8-2: Properties of the root loci}
Riga 300:
le parti dell'asse reale che appartengono al luogo hanno alla loro destra un numero \emph{pari} di poli e zeri
\item[-]
gli angoli tra gli asintoti e l'asse reale sono ruotati in senso orario di
in pratica il primo asintoto coincide sempre con l'asse reale positivo
\end{itemize}
=== Diagrammi di Nyquist ===
Il \emph{diagramma di Nyquist}
\vedilibro{rif:b}{305, sezione 11.5.1: Diagramma di Nyquist}
Riga 311:
se il percorso non si chiude, allora si considera come chiusura la semicirconferenza di raggio infinito che sta nel semipiano di parte reale positivo e che ha centro nell'origine
Se nel sistema è presente un ritardo puro di tempo
con ogni punto corrispondente alla pulsazione
Il diagramma di Nyquist consente di valutare la stabilità di un sistema in ciclo chiuso anche in caso di variazione dei parametri della funzione di trasferimento
=== Matlab e Simulink ===
\`E possibile utilizzare vari programmi per studiare i sistemi dinamici, tra questi Matlab (www.mathworks.com); per molti dei comandi qui listati è necessaria la toolbox dei controlli (control)
Riga 377:
\end{itemize}
== Modelli di sistemi comuni ==
=== Amplificatore ===
Consiste in un unico elemento che ha guadagno costante
<math>
Riga 385:
</math>
=== Ritardo di tempo ===
Un \emph{sistema ritardo di tempo}
\vedilibro{rif:b}{105, sezione 4.2.5: Ritardo di tempo}
\vedilibro{rif:k}{189, sezione 4-8: Systems with transportation lag}
è usato per rappresentare la non immediata risposta dei sistemi reali.
Un sistema che ritarda la risposta di
<math>
G_{rit}(s) = e^{-T_{d}s}
</math>
Un ritardo puro non introduce variazioni di ampiezza ma diminuisce linearmente la fase al crescere di
\vedilibro{rif:k}{881, Bode plot: Pure time delay}
ed ha effetti negativi sulla stabilità di un sistema in anello chiuso
\`E possibile approssimare il ritardo con funzioni razionali fratte
scrivendo la funzione esponenziale come serie di Mc Laurin se
<math>
e^{-T_{d}s} = \frac{1}{1 + T_{d}s + T_{d}^{2}s^{2}/2 + \cdots}
</math>
=== Integratore ===
Un \emph{sistema integratore}
\vedilibro{rif:b}{sezione 4.3.3: Integratore}
Riga 412:
</math>
=== Derivatore ===
Un \emph{sistema derivatore}
\vedilibro{rif:b}{107, sezione 4.3.2: Derivatore ideale}
Riga 423:
ovvero sistemi del primo ordine (o di ordine superiore) con poli dominanti a frequenze elevate ed un solo zero a bassa frequenza
=== Sistemi del primo ordine ===
Un \emph{sistema del primo ordine} ha un solo polo e al massimo uno zero
\begin{eqnarray}
Riga 430:
G_{I} = \frac{1}{1 + T s} = \frac{1}{p(s+p)}
\end{eqnarray}
Dove
==== Risposta al gradino ====
La risposta al gradino di un sistema del primo ordine generico
\vedilibro{rif:b}{112, sezione 4.4.4: Sistemi del primo ordine}
può essere calcolata esplicitamente;
ha un andamento esponenziale
la velocità di risposta del sistema dipende dalla sua costante di tempo
il transitorio si può considerare esaurito dopo circa cinque costanti di tempo;
la presenza di uno zero influenza il valore iniziale della risposta e può causare una sovraelongazione iniziale se
I parametri della risposta al gradino sono:
Riga 446:
\item
tempo di salita:
\item
tempo di ritardo:
\item
tempo di assestamento
\end{itemize}
=== Sistemi del secondo ordine ===
Consideriamo un sistema che abbia due poli e nessuno zero.
Sono di particolare interesse solo i sistemi con poli stabili complessi coniugati;
Riga 472:
</math>
==== Parametri caratteristici ====
I simboli usati nella funzione di trasferimento del sistema di secondo grado precedente significano:
\vedilibro{rif:k}{390, figura 7.15}
\begin{itemize}
\item
pulsazione naturale non smorzata, modulo dei poli se questi sono complessi coniugati
\vedilibro{rif:b}{108, sezione 4.3.5: Pulsazione naturale e smorzamento}
\item
smorzamento, opposto del coseno della fase dei poli se questi sono complessi coniugati negativi
\item
fattore di smorzamento, parte reale dei poli
\item
pulsazione smorzata, parte immaginaria dei poli
\end{itemize}
il tipo dei poli dipende dallo smorzamento
\begin{itemize}
\item
\item
\item
\item
\item
\end{itemize}
Per i sistemi smorzati con smorzamento
\vedilibro{rif:k}{544, sezione 9-2-1: Resonant peak and resonant frequency}
il cui valore dipende dallo smorzamento
Riga 516:
</math>
L'entità del picco di risonanza è inversamente proporzionale allo smorzamento.
Se lo smorzamento è maggiore di
La \emph{banda}
Riga 526:
==== Risposta al gradino dei sistemi smorzati ====
La risposta di un sistema ad un ingresso gradino unitario
o \emph{risposta al gradino}
\vedilibro{rif:k}{387, sezione 7-5: Transient response of a prototype second-order system}
\vedilibro{rif:b}{119, sezione 4.4.5 parte terza: Sistemi con solo poli comlessi coniugati}
Riga 537:
Sovraelongazione massima:
\vedilibro{rif:k}{394, sezione 7-5-3: Maximum overshoot}
Se il sistema è smorzato (
<math>
M_{p} = e^{-|\frac{\pi\alpha}{\omega}|} = e^{-\frac{\pi\xi}{\sqrt{1- \xi^{2}}}}
Riga 573:
\end{array} \right.
</math>
Se si desidera un assestamento al
<math>
t_{s_{2\%}} = \frac{4}{\xi \omega_{n}}
Riga 580:
\end{itemize}
==== Relazioni tra i parametri ====
Esistono delle dipendenze tra i parametri caratteristici del sistema e i parametri della sua risposta al gradino
\vedilibro{rif:k}{550, figura 9-7}
Riga 586:
\begin{itemize}
\item
Al crescere di
\item
Al crescere di
\item
Al crescere di
\item
Al crescere di
\item
La banda è direttamente proporzionale alla pulsazione naturale non smorzata
per cui aumentando la banda il sistema risponde più rapidamente
\item
Riga 600:
\end{itemize}
=== Riduzione dell'ordine dei sistemi ===
==== Poli dominanti ====
Si possono trascurare in fase di valutazione delle specifiche poli o zeri a frequenze molto elevate rispetto agli altri
\vedilibro{rif:k}{422, sezione 7.8: Dominant poles of transfer function}
== Controllo di sistemi lineari ==
=== Specifiche di progetto ===
Ci si riferisce alle \emph{specifiche di progetto} intendendo la descrizione di ciò che un sistema deve o non deve fare e come
\vedilibro{rif:k}{665, sezione 10-1-1: Design specifications}
Riga 621:
=== Controllo in anello aperto ===
\`E applicabile solo se il sistema è noto con precisione,
poichè una piccola variazione del sistema non è gestita dal controllore
=== Controllo in ciclo chiuso ===
\vedilibro{rif:c}{366, sezione 10.6: Feedback compensation}
==== Polinomio caratteristico in ciclo chiuso ====
per un sistema
<math>
P_{CC} = P_{D}(s) + KP_{N}(s)
</math>
==== Guadagno critico ====
Se il sistema è del secondo ordine i coefficenti del polinomio caratteristico in ciclo chiuso devono essere tutti dello stesso segno
Riga 641:
\vedilibro{rif:k}{488, sezione 8-3-8: Intersection of the root loci with the imaginary axis}
==== Funzione di trasferimento in ciclo chiuso ====
Se
<math>
G_{cc}(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)}
</math>
=== Schema di controllo standard ===
Definiamo \emph{schema di controllo standard} il controllo di un sistema con funzione di trasferimento
lineare tempoinvariante e causale
stabile o meno
conosciuto a meno di approssimazioni rispetto al sistema reale
retroazionato negativamente (retroazione unitaria)
con l'aggiunta in serie di un controllore PID
indicando con
quando lo scopo del controllore è quello di far si che il sistema segua esattamente l'ingresso (
definiamo i segnali:
\begin{itemize}
\item
il segnale di riferimento in ingresso al sistema globale
\item
il segnale in uscita dal sistema e che viene retroazionato all'ingresso
\item
il segnale di errore
\item
il segnale in uscita dal controllore e in ingresso al sistema
\end{itemize}
Riga 676:
\begin{itemize}
\item
funzione di trasferimento in anello aperto del sistema (da
\item
pari a
\item
pari a
detta anche \emph{funzione di sensitività complementare}
\vedilibro{rif:b}{329, sezione 11.8: Analisi della funzione di sensitività comlementare};
\item
pari a
\vedilibro{rif:b}{342, sezione 11.9: Analisi della funzione di sensitività}
\item
pari a
\vedilibro{rif:b}{346, sezione 11.10: Analisi della funzione di sensitività del controllo}
\end{itemize}
Riga 702:
Se la funzione di trasferimento del sistema non è nota con precisione,
e la funzione di trasferimento reale è
in uscita si ha un errore pari a
<math>
\frac{\Delta y}{y} = \frac{\Delta G(s)}{G(s)}
</math>
tale che se l'uscita
In presenza di un controllore
si ha che l'errore diventa
<math>
Riga 734:
=== Differenti schemi di controllo ===
Non è detto che il sistema di controllo standard sia sempre il più corretto,
è anche possibile posizionare più controllori in posizioni differenti
\vedilibro{rif:b}{443, capitolo 15: Schemi di controllo avanzati}
=== Specifiche qualitative di un sistema di controllo ===
Si sceglie il tipo di controllore a seconda delle proprietà intrinseche dell'impianto:
controllabilità e osservabilità del sistema
Riga 760:
Devono essere gestiti i disturbi,
idealmente l'uscita del sistema rispetto ad un disturbo dovrebbe essere nulla,
comunque il guadagno (
la forma del guadagno in funzione della frequenza si cambia con poli e zeri,
l'altezza con un guadagno puro
Riga 767:
Idealmente il sistema controllato dovrebbe avere
e
ovvero, più realisticamente
e
Per evitare i rumori in alta frequenza
Riga 783:
deve rendere il sistema sensibile al segnale di riferimento e insensibile ai disturbi
=== Struttura del sistema ===
Poli complessi coniugati nella funzione di trasferimento in ciclo chiuso danno una risposta al gradino oscillatoria smorzata,
se tutti i poli sono reali, la risposta al gradino è sovrasmorzata (non oscillante), ma se ci sono degli zeri non è detto che la sovraelongazione massima sia nulla
Riga 799:
il margine di fase, il margine di guadagno, il picco di risonanza e lo smorzamento sono inversamente proporzionali (??)
==== Aggiunta di poli e zeri ====
Aggiungere uno zero aumenta la banda del sistema in ciclo chiuso
\vedilibro{rif:k}{551, sezione 9-3: Effects of adding a zero to the forward-path transfer function}
Riga 807:
Il luogo delle radici può essere usato per valutare l'effetto dell'aggiunta di poli e zeri al sistema
\vedilibro{rif:k}{509, sezione 8-5-1: Effect of adding poles and zeros to
=== Controllori PID ===
Un \emph{controllore PID}
\vedilibro{rif:k}{708, sezione 10-4: Design with the PID controller}
\vedilibro{rif:b}{415, capitolo 14: Regolatori PID}
è un controllore che è composto da
una componente proporzionale
una componente derivativa
ed una integrale
connesse in parallelo;
la sua funzione di trasferimento è quindi
Riga 827:
= K_{P}\frac{T_{I}T_{D}s^{2} + T_{I}s + 1}{T_{I}s}
\end{eqnarray}
dove
la sua uscita in funzione dell'ingresso è
Riga 835:
Il controllore PID ideale non è un sistema causale,
nella pratica l'azione derivativa è ottenuta aggiungendo un polo per
Un controllore PID implementato con un semplice circuito elettronico
Riga 845:
\`E possibile anche una struttura equivalente meccanica di un PID costituita da una molla e da uno smorzatore
==== Controllore proporzionale derivativo ====
Un \emph{controllore proporzionale derivativo}
\vedilibro{rif:k}{671, sezione 10-2: Design with the PD controller}
Riga 852:
</math>
è composto da una componente proporzionale ed una proporzionale alla derivata del segnale di ingresso;
ha un solo zero in corrispondenza di
(le implementazioni reali di questo controllore hanno ovviamente almeno un polo, ma si suppone che questo sia a frequenza elevata tale da non alterare il sistema)
Riga 862:
che verrebbero accentuate dal controllore
La struttura di un PD implementato come circuito elettronico è pari a quella del PID con
<math>
K_{PD}(s) = \frac{R_{4}R_{2}}{R_{1}R_{3}} \phantom{2} \frac{1+C_{1}R_{1}s}{s}
Riga 868:
==== Controllore proporzionale integrale ====
Un \emph{controllore proporzionale integrale}
\vedilibro{rif:k}{691, sezione 10-3: Design with the PI controller}
Riga 875:
</math>
è composto da una componente proporzionale ed una proporzionale all'integrale del segnale di ingresso;
ha un solo zero in corrispondenza di
si comporta come un filtro passa-basso
\`E conveniente in fase di progetto mettere lo zero relativamente vicino all'origine e lontano dagli altri poli del sistema,
mantenendo le due costanti
La struttura di un PI implementato come circuito elettronico è pari a quella del PID con
<math>
K_{PI}(s) = \frac{R_{4}}{R_{1}C_{2}R_{3}} \phantom{2} \frac{1+R_{2}C_{2}s}{s}
Riga 902:
==== Metodi di taratura automatica ====
\vedilibro{rif:b}{430, sezione 14.4: Metodi di taratura automatica}
=== Criterio di Nyquist ===
In un sistema di controllo standard in ciclo chiuso, dove il sistema da controllare
Questo nel caso che l'aprossimazione di
(ad esempio se si trascura la dinamica degli attuatori di un sistema).
Una funzione
in un insieme
(ovvero esiste nell'insieme ed esistono le sue derivate,
soddisfa il \emph{teorema di Cauchy}:
dato un percorso chiuso
(è detta \emph{trasformazione conforme})
Applichiamo una particolare trasformazione conforme alla funzione di trasferimento
dove il percorso
(esclusi poli e zeri immaginari puri);
in questo modo si ottiene il diagramma di Nyquist
Riga 931:
Il \emph{criterio di Nyquist} stabilisce che
un sistema è asintoticamente stabile in ciclo chiuso se il suo diagramma di Nyquist accerchia tante volte il punto
\vedilibro{rif:k}{567, sezione 9-5-6: Nyquist criterion and the L(s) plot}
Se il sistema controllato non ha poli instabili in anello aperto,
per verificare l'asintotica stabilità in retroazione è sufficente che il punto critico
se il sistema ha guadagno unitario per una sola frequenza
(il diagramma di Bode attraversa una sola volta l'asse a 0 dB)
Riga 942:
\vedilibro{rif:b}{327, sezione 11.7.5: Criterio di Bode} )
=== Reti stabilizzatrici ===
Esistono dei modelli standard di controllori che sono disponibili in commercio;
questi sono i controllori che possono essere più facilmente utilizzati nella sintesi di un sistema di controllo
Riga 948:
\vedilibro{rif:c}{328, sezione 10.3: Realization of basic compensators}
==== Rete anticipatrice di fase ====
Una \emph{rete anticipatrice}
\vedilibro{rif:b}{382, sezione 12.5.1: Rete anticipatrice}
Riga 958:
G(s)_{ra} = \frac{1 + \tau s}{1 + T s}
</math>
con
e quindi con
L'anticipo di fase massimo
(media geometrica in quanto si intende in scala logaritmica)
e si può ricavare tracciando il diagramma di Nyquist della rete
(che è una semicirconferenza al di sopra dell'asse reale positivo che va dal punto
<math>
\Phi_{ra} = \sin^{-1} \frac{\tau/T -1}{\tau/T+1}
= \sin^{-1} \left| \frac{\tau - T}{\tau + T} \right|
</math>
Esiste un limite all'anticipo di fase che può essere ottenuto con una semplice rete di questo genere fatta con resistenze e condensatori (e quindi a guadagno unitario) che è circa
La rete aumenta anche il guadagno a frequenze superiori alla frequenza del polo,
Riga 986:
si costruisce il diagramma di bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno
\item
si trova il margine di fase e si valuta di quanto questo deve essere aumentato (meglio abbondare un poco), questo è lo sfasamento massimo
\item
si ricava il rapporto
\item
si ricava il guadagno aggiunto dalla rete
\item
si cerca nel diagramma del modulo del sistema la frequenza per cui il guadagno è
con una certa approssimazione questa sarà la nuova frequenza di taglio
\end{enumerate}
Una semplice implementazione elettrica di una rete anticipatrice è composta da due resistenze
in questo caso la funzione di trasferimento risulta
<math>
Riga 1 003:
==== Rete ritardatrice di fase ====
Una \emph{rete ritardatrice}
\vedilibro{rif:b}{384, sezione 12.5.2: Rete ritardatrice}
Riga 1 014:
G(s)_{rr} = \frac{1 + \tau s}{1 + T s}
</math>
con
e quindi con un polo a pulsazione
La rete introduce un ritardo di fase indesiderato
(media geometrica in quanto si intende in scala logaritmica)
e si può ricavare tracciando il diagramma di Nyquist della rete
(che è una semicirconferenza al di sotto dell'asse reale positivo che va dal punto
<math>
\Phi_{ra} = - \sin^{-1} \frac{T/\tau - 1}{T/\tau + 1}
Riga 1 026:
</math>
Per evitare che il ritardo di fase introdotto si ripercuota troppo sul margine di fase, occorre scegliere il polo (????):
Per dimensionare una rete ritardatrice nell'ottica di un normale progetto di un controllore per un sistema stabile si procede come segue:
Riga 1 035:
si costruisce il diagramma di Bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno
\item
si stima la nuova frequenza di taglio
valutando sul diagramma della fase la pulsazione per cui la fase è
dove
\item
si sceglie lo zero
\item
si stima sul diagramma del modulo l'ampiezza
\item
si sceglie
\end{enumerate}
Una semplice implementazione elettrica di una rete ritardatrice è composta da due resistenze
in questo caso la funzione di trasferimento risulta
<math>
Riga 1 052:
</math>
==== Rete a sella ====
Una \emph{rete a sella} (detta anche rete di anticipo-ritardo)
\vedilibro{rif:b}{386, sezione 12.5.3: Rete a sella}
Riga 1 060:
G(s)_{rs} = \frac{1+\tau_{1}s}{1+T_{1}s} \frac{1+\tau_{2}s}{1+T_{2}s}
</math>
dove si scelgono
ed ha due poli con due zeri nel mezzo
Se si sceglie il prodotto dei poli uguale al prodotto degli zeri
la rete ha guadagno unitario;
oppure si possono scegliere in modo da avere un guadagno maggiore in alta frequenza
==== Filtro a spillo ====
il \emph{filtro a spillo} o filtro natch è una particolare rete a sella in cui i due zeri sono coincidenti
e agisce da filtro elimina-banda;
Riga 1 074:
=== Assegnamento di poli e zeri ===
Ad un sistema completamente controllabile
\vedilibro{rif:k}{273, sezione 5-10: Controllability of Lynear Systems}
Riga 1 097:
Il metodo della reazione dello stato può essere visto anche applicato ad un sistema MIMO descritto variabili di stato;
si retroaziona (moltiplicato per una matrice K) l'intero stato del sistema in ingresso (è detta \emph{reazione totale}),
imponendo
ottenendo il sistema
<math>
Riga 1 107:
\right.
</math>
dove
Si può dimostrare che se il sistema
allora esiste una matrice
(le
Se si considera il sistema precedente scritto in forma canonica di controllo
(vedi \ref{par:fcc})
supponendo che l'ingresso sia unico
(quindi
si ha che posto
la matrice
<math>
A-BK =
Riga 1 135:
+ (a_{1}+k_{1})x + (a_{0}+k_{0})
</math>
quindi scegliendo appositamente gli elementi
è possibile variare a piacere i coefficenti del polinomio caratteristico del sistema,
e quindi gli autovalori della matrice della dinamica
e di conseguenza il comportamento transitorio del sistema.
Se il sistema ha un solo ingresso, la matrice
altrimenti ci sono infinite soluzioni possibili poiché è necessario combinare gli ingressi,
se un ingresso solo è sufficente per controllare completamente il sistema si possono anche considerare gli altri nulli
Riga 1 146:
che in generale non è accessibile direttamente ma solo attraverso le uscite del sistema;
è quindi necessario che il sistema sia completamente osservabile
(ovviamente se
La tecnica della reazione totale è utilizzabile facilmente nel caso di sistemi a sfasamento non minimo,
Riga 1 155:
è necessario eventualmente aggiungere integratori in serie al sistema,
\vedilibro{rif:k}{802, sezione 10-14: Stat feedback with integral control}
(aggiungendo quindi una o più variabili di stato
ottenendo l'asintotica stabilità per il tipo di ingresso desiderato;
quindi valutare la matrice
il sistema con l'aggiunta di un integratore diventa
Riga 1 194:
</math>
==== Osservatore di Luenberger ====
Quando l'intero stato del sistema non è disponibile in uscita
(ad esempio se le uscite sono meno degli ingressi
si inserisce in serie a valle del controllore totale
(il sistema deve essere completamente osservabile)
e dagli ingressi.
Riga 1 203:
Tale sistema è detto \emph{osservatore di Luenberger}
\vedilibro{rif:c}{509, State variable analysis and design, Observer System}
(il sistema composto dall'osservatore e dalla matrice di guadagni
ed è tale da fornire in uscita un vettore
ovvero
la struttura dell'osservatore è la seguente:
<math>
\zeta'(t) = A\zeta(t) + Bu(t) + K_{F}(y(t) - C\zeta(t))
</math>
dove la matrice
L'errore che si commette sostituendo lo stato allo stato osservato è
la dinamica dell'errore è:
<math>
Riga 1 219:
</math>
dove l'errore iniziale dipende dalle condizioni iniziale dell'osservatore, che possono essere poste arbitrariamente a 0 o a qualunque altro valore,
mentre l'errore ad ogni altro istante
è quindi necessaro assegnare i poli della matrice in modo che questi siano a frequenza maggiore dei poli del sistema da osservare,
perché l'errore tenda ad essere nullo prima che il sistema osservato sia a regime,
Riga 1 226:
Il sistema controllato in retroazione totale in ciclo chiuso con l'osservatore ha lop stato interno che è dato dallo stato del sistema e dallo stato dell'osservatore,
(dove si potrebbe anche considerare come stato il vettore
e quindi il sistema diventa
<math>
Riga 1 255:
(\emph{principio di separazione});
la funzione di trasferimento del compensatore dinamico è
Nel caso (frequente) che alcune variabili di stato siano disponibili in uscita, l'osservatore è ovviamente un cortocircuito rispetto ad esse
(\emph{osservatore ridotto} con dinamica
== Riferimenti ==
*Fondamenti di controlli automatici} \label{rif:b}
di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni;
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