Fondamenti di automatica: differenze tra le versioni

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Riga 7:
*[[Fondamenti di automatica/Proprietà e prestazioni|Proprietà e prestazioni]]
 
== Metodi di analisi ==
 
=== Composizioni e Scomposizioni ===
 
Se si hanno due sistemi in serie,
Riga 33:
Se la parte che viene cancellata corrisponde a poli instabili, allora il sistema è instabile
 
==== Scomposizione canonica ====
Per un sistema in variabili di stato non completamente raggiungibile e osservabile esiste una forma di scomposizione detta \emph{decomposizione di Kalman}
\vedilibro{rif:b}{93, sezione 3.5.4: Scomposizione canonica e forma minima}
Riga 40:
\begin{itemize}
\item
non controllabile e non osservabile ($<math>nn$</math>)
\item
non controllabile ed osservabile ($<math>no$</math>)
\item
controllabile e non osservabile ($<math>cn$</math>)
\item
controllabile e osservabile ($<math>co$</math>)
\end{itemize}
si applica una trasformazione $<math>T_{K}$</math> (che in generale non è unica) al sistema
ottenendo
<math>
Riga 58:
\right.
</math>
dove il vettore di stato trasformato $<math>x_{K}(t)$</math>
(tale che $<math>x(t) = x_{K}(t)T_{K}$</math>)
è scomposto in quattro parti
\vedilibro{rif:b}{94}
<math>
x_{K}^{T} = \big[ x_{cn} , x_{co} , x_{nn} , x_{no} \big]
</math>
a cui corrispondono
Riga 74:
0 & 0 & A_{nn} & A_{nn-no} \\
0 & 0 & 0 & A_{no} \\
\end{array} \right)
</math>
 
Riga 97:
 
 
=== Criterio di Routh ===
\`E possibile verificare la stabilità di un sistema dal suo polinomio caratteristico, le cui radici determinano i poli del sistema
(se il sistema è rappresentato da una funzione di trasferimento razionale, senza ritardi di tempo)
Riga 104:
ma per polinomi di grado elevato risulta difficile stabilire il segno delle radici
 
Se tutti i coefficenti $<math>a_{n} \cdots a_{0}$</math> del polinomio caratteristico
non hanno lo stesso segno,
allora alcune radici hanno segno positivo ed il sistema è instabile
(ad una variazione di segno tra coefficenti corrisponde un a radice positiva, ad una permanenza di segno una radice negativa ???);
se il polinomio è di secondo ordine, allora se tutti i coefficenti hanno lo stesso segno, le radici sono tutte negative.
 
Riga 129:
<math>
\begin{array}{cccccc}
a^{n_{p}} & a^{n_{p}-2} & \cdots & a^{5} & a^{3} & a^{1} \\
a^{n_{p}-1} & a^{n_{p}-3} & \cdots & a^{4} & a^{2} & a^{0} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &
\end{array}
</math>
 
La tabella completa ha tante righe quanti sono i termini del polinomio caratteristico ($<math>n_{p}+1$</math>),
ogni due righe di lunghezza uguale, la riga successiva ha un elemento in meno,
gli elementi delle righe successive
($<math>e_{r,c}$</math> se con $<math>r$</math> riga dell'elemento e $<math>c$</math> colonna dell'elemento)
sono calcolati sulla base
dei primi due elementi delle due righe superiori ($<math>e_{r-2,1}$</math> ed $<math>e_{r-1,1}$</math>) e
dei due elementi delle due righe superiori al di sopra dell'elemento stesso ($<math>e_{r-2,c}$</math> ed $<math>e_{r-1,c}$</math>);
secondo lo schema
<math>
Riga 156:
\begin{array}{lccc}
a_{4} & a_{2} & a_{0} \\
a_{3} & a_{1} & \\
a_{2} - \frac{a_{4}a_{1}}{a_3} & a_{0} - \frac{a_{4}0}{a_3} \\
\vdots \\
Riga 165:
\vedilibro{rif:c}{192, sezione 6.4: Routh stability criterion, special cases}
 
=== Diagrammi di Bode ===
Consistono in due diagrammi che rappresentano il modulo (in decibel) e la fase della risposta in frequenza in funzione della pulsazione (in scala logaritmica)
 
Riga 183:
 
 
=== Diagramma polare ===
Si tratta del diagramma del modulo e della fase della risposta in frequenza $<math>G(j\omega)$</math> di un sistema in coordinate rettangolari,
Il diagramma rappresenta una curva nel piano complesso con in ascissa $<math>\Re\{ G( j \omega ) \}$</math> ed in ordinata $<math>j \Im\{ G( j \omega ) \}$</math> al variare di $<math>\omega$</math> da $<math>0$</math> a $<math>+\infty$</math>.
\vedilibro{rif:k}{865, appendice A-1: Polar plots}
 
Riga 195:
\begin{itemize}
\item
attraversa $<math>n_{p}-1$</math> volte gli assi (????),
\item
se ci sono zeri fa delle ondulazioni in punti dipendenti dal valore dello zero,
Riga 207:
 
 
=== Luogo delle radici ===
Il \emph{luogo delle radici}
\vedilibro{rif:k}{470, capitolo 8: Root locus tecnique}
Riga 213:
\vedilibro{rif:c}{201, capitolo 7: The root locus technique}
consiste nel tracciamento delle curve descritte dai poli e dagli zeri di un sistema in retroazione unitaria al variare del guadagno d'anello.
Ci riferiamo ad un sistema $<math>G(s)$</math> a guadagno unitario retroazionato con un guadagno d'anello $<math>k$</math>
 
Si definisce \emph{luogo delle radici inverso} il diagramma per valori negativi del guadagno d'anello.
Riga 221:
Il luogo delle radici consente di valutare facilmente la stabilità di un sistema in ciclo chiuso e le strategie di controllo necessarie a stabilizzare un sistema instabile
 
I punti $<math>\sigma + j\omega$</math> del luogo diretto sono tutti e soli i punti che soddisfano le due condizioni sul modulo e sulla fase:
 
<math>
Riga 235:
 
<math>
\angle G(s) = (2i+1)\pi \phantom{4} \textrm{con} \phantom{2} i \in \Int
</math>
ovvero la somma delle fasi dei vettori che uniscono il punto con gli zeri meno la somma delle fasi che uniscono il punto con i poli deve essere $<math>\pm\pi$</math> a meno di $<math>2\pi$</math>
\vedilibro{rif:b}{391}
<math>
Riga 251:
la precedente è invece utile per trovare il guadagno corrispondente ad un punto appartenente al luogo
 
==== Proprietà del luogo delle radici diretto ====
Le curve del luogo delle radici diretto hanno le seguenti proprietà:
\vedilibro{rif:k}{500, tabella 8-2: Properties of the root loci}
Riga 264:
al crescere del modulo del guadagno d'anello si segue il luogo dai poli agli zeri, i rami che non terminano in zeri vanno asintoticamente all'infinito
\item
Gli $<math>i = n_{p}-n_{z}$</math> angoli tra gli asintoti e l'asse reale sono multipli dell'angolo giro diviso per l'eccesso poli-zeri
<math>
\theta_{i} = \frac{(2i-1)\pi}{n_{p} - n_{z}}
</math>
\item
L'intersezione degli asintoti (\emph{centroide} $<math>\sigma_{c}$</math>) è sull'asse reale nel punto uguale alla somma dei poli meno la somma degli zeri diviso per l'eccesso poli-zeri
<math>
\sigma_{c} = \frac{p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n_{p}}
Riga 280:
I rami del luogo nei punti di incrocio formano tra loro angoli uguali
\item
l'angolo $<math>\theta_{t}$</math> tra la tangente del ramo del luogo nei poli e negli zeri con molteplicità unitaria e l'asse reale è
<math>
\theta_{t} = \pi + \mathcal{T}( \theta_{Z1} + \cdots + \theta_{Zn_{z}}
- \theta_{P1} - \cdots - \theta_{Pn_{p}} )
</math>
dove $<math>\mathcal{T}=1$</math> se il punto è un polo,
oppure $<math>\mathcal{T}=-1$</math> se il punto è uno zero;
$<math>\theta_{Z(1 \cdots n_{z})}$</math> sono gli angoli tra il punto singolare e gli altri zeri
e $<math>\theta_{P(1 \cdots n_{p})}$</math> sono gli angoli tra il punto singolare e gli altri poli
(con gli angoli valutati rispetto all'asse reale positivo)
\end{enumerate}
 
 
==== Proprietà del luogo delle radici inverso ====
il luogo delle radici inverso differisce dal luogo diretto:
\vedilibro{rif:k}{500, tabella 8-2: Properties of the root loci}
Riga 300:
le parti dell'asse reale che appartengono al luogo hanno alla loro destra un numero \emph{pari} di poli e zeri
\item[-]
gli angoli tra gli asintoti e l'asse reale sono ruotati in senso orario di $<math>\pi/(n_{p}-n_{z})$</math> rispetto al luogo diretto,
in pratica il primo asintoto coincide sempre con l'asse reale positivo
\end{itemize}
 
=== Diagrammi di Nyquist ===
Il \emph{diagramma di Nyquist}
\vedilibro{rif:b}{305, sezione 11.5.1: Diagramma di Nyquist}
Riga 311:
se il percorso non si chiude, allora si considera come chiusura la semicirconferenza di raggio infinito che sta nel semipiano di parte reale positivo e che ha centro nell'origine
 
Se nel sistema è presente un ritardo puro di tempo $<math>e^{-T_{d}s}$</math>, il diagramma di Nyquist è simile a quello del sistema senza ritardo,
con ogni punto corrispondente alla pulsazione $<math>\omega$</math> ruotato di $<math>\omega T_{d}$</math> radianti in senso orario
 
Il diagramma di Nyquist consente di valutare la stabilità di un sistema in ciclo chiuso anche in caso di variazione dei parametri della funzione di trasferimento
 
=== Matlab e Simulink ===
\`E possibile utilizzare vari programmi per studiare i sistemi dinamici, tra questi Matlab (www.mathworks.com); per molti dei comandi qui listati è necessaria la toolbox dei controlli (control)
 
Riga 377:
\end{itemize}
 
== Modelli di sistemi comuni ==
 
=== Amplificatore ===
Consiste in un unico elemento che ha guadagno costante
<math>
Riga 385:
</math>
 
=== Ritardo di tempo ===
Un \emph{sistema ritardo di tempo}
\vedilibro{rif:b}{105, sezione 4.2.5: Ritardo di tempo}
\vedilibro{rif:k}{189, sezione 4-8: Systems with transportation lag}
è usato per rappresentare la non immediata risposta dei sistemi reali.
Un sistema che ritarda la risposta di $<math>T_{d}$</math> secondi è rappresentato dalla funzione di trasferimento
<math>
G_{rit}(s) = e^{-T_{d}s}
</math>
Un ritardo puro non introduce variazioni di ampiezza ma diminuisce linearmente la fase al crescere di $<math>\omega$</math>
\vedilibro{rif:k}{881, Bode plot: Pure time delay}
ed ha effetti negativi sulla stabilità di un sistema in anello chiuso
 
\`E possibile approssimare il ritardo con funzioni razionali fratte
scrivendo la funzione esponenziale come serie di Mc Laurin se $<math>T_{d}$</math> è sufficentemente piccolo
<math>
e^{-T_{d}s} = \frac{1}{1 + T_{d}s + T_{d}^{2}s^{2}/2 + \cdots}
</math>
 
=== Integratore ===
Un \emph{sistema integratore}
\vedilibro{rif:b}{sezione 4.3.3: Integratore}
Riga 412:
</math>
 
=== Derivatore ===
Un \emph{sistema derivatore}
\vedilibro{rif:b}{107, sezione 4.3.2: Derivatore ideale}
Riga 423:
ovvero sistemi del primo ordine (o di ordine superiore) con poli dominanti a frequenze elevate ed un solo zero a bassa frequenza
 
=== Sistemi del primo ordine ===
Un \emph{sistema del primo ordine} ha un solo polo e al massimo uno zero
\begin{eqnarray}
Riga 430:
G_{I} = \frac{1}{1 + T s} = \frac{1}{p(s+p)}
\end{eqnarray}
Dove $<math>T$</math> è detto \emph{tempo caratteristico} del sistema
 
==== Risposta al gradino ====
La risposta al gradino di un sistema del primo ordine generico
\vedilibro{rif:b}{112, sezione 4.4.4: Sistemi del primo ordine}
può essere calcolata esplicitamente;
ha un andamento esponenziale
$<math>y(t) = 1 + (\tau/T - 1) e^{t/T}$</math>;
la velocità di risposta del sistema dipende dalla sua costante di tempo $<math>T$</math>,
il transitorio si può considerare esaurito dopo circa cinque costanti di tempo;
la presenza di uno zero influenza il valore iniziale della risposta e può causare una sovraelongazione iniziale se $<math>\tau > T$</math>
 
I parametri della risposta al gradino sono:
Riga 446:
\item
tempo di salita:
$<math>t_{r} = 2.2 T$</math>
\item
tempo di ritardo:
$<math>t_{d} = 0.7 T$</math>
\item
tempo di assestamento
$<math>t_{s} = 3 T$</math>
\end{itemize}
 
=== Sistemi del secondo ordine ===
Consideriamo un sistema che abbia due poli e nessuno zero.
Sono di particolare interesse solo i sistemi con poli stabili complessi coniugati;
Riga 472:
</math>
 
==== Parametri caratteristici ====
I simboli usati nella funzione di trasferimento del sistema di secondo grado precedente significano:
\vedilibro{rif:k}{390, figura 7.15}
\begin{itemize}
\item
$<math>\omega _{n}$</math>:
pulsazione naturale non smorzata, modulo dei poli se questi sono complessi coniugati
\vedilibro{rif:b}{108, sezione 4.3.5: Pulsazione naturale e smorzamento}
\item
$<math>\xi$</math>:
smorzamento, opposto del coseno della fase dei poli se questi sono complessi coniugati negativi
\item
$<math>\alpha = \xi \omega_{n}$</math>:
fattore di smorzamento, parte reale dei poli
\item
$<math>\omega = \omega_{n} \sqrt{1-\xi^{2}}$</math>:
pulsazione smorzata, parte immaginaria dei poli
\end{itemize}
 
il tipo dei poli dipende dallo smorzamento $<math>\xi$</math>
\begin{itemize}
\item
$<math>\xi \le -1$</math>: due poli reali negativi, se $<math>\xi = -1$</math> coincidenti: sistema instabile
\item
$<math>-1 < \xi < 0$</math>: due poli complessi coniugati negativi: sistema instabile
\item
$<math>\xi = 0$</math>: due poli immaginari puri: sistema criticamente smorzato
\item
$<math>0 < \xi < 1$</math>: due poli positivi complessi coniugati stabili: sistema smorzato (è questo il caso di maggiore interesse)
\item
$<math>\xi \ge 1$</math>: due poli positivi reali stabili, se $<math>\xi = 1$</math> coincidenti: sistema sovrasmorzato
\end{itemize}
 
Per i sistemi smorzati con smorzamento $<math>0 < \xi < \sqrt{2}/2$</math> esiste un \emph{picco di risonanza}
\vedilibro{rif:k}{544, sezione 9-2-1: Resonant peak and resonant frequency}
il cui valore dipende dallo smorzamento
Riga 516:
</math>
L'entità del picco di risonanza è inversamente proporzionale allo smorzamento.
Se lo smorzamento è maggiore di $<math>0,707$</math> allora $<math>M_{r} = 1$</math> e $<math>\omega_{n} = 0$</math>
 
La \emph{banda}
Riga 526:
 
 
==== Risposta al gradino dei sistemi smorzati ====
La risposta di un sistema ad un ingresso gradino unitario
o \emph{risposta al gradino}
\vedilibro{rif:k}{387, sezione 7-5: Transient response of a prototype second-order system}
\vedilibro{rif:b}{119, sezione 4.4.5 parte terza: Sistemi con solo poli comlessi coniugati}
Riga 537:
Sovraelongazione massima:
\vedilibro{rif:k}{394, sezione 7-5-3: Maximum overshoot}
Se il sistema è smorzato ($<math>0<\xi<1$</math>) la risposta al gradino ha un comportamento oscillatorio periodico con massimi e minimi ai tempi $<math>t_{i} = \frac{i\pi}{\omega}$</math> per $<math>i$</math> intero, il valore della sovraelongazione dipende solo dallo smorzamento $<math>\xi$</math> ed è
<math>
M_{p} = e^{-|\frac{\pi\alpha}{\omega}|} = e^{-\frac{\pi\xi}{\sqrt{1- \xi^{2}}}}
Riga 573:
\end{array} \right.
</math>
Se si desidera un assestamento al $<math>2\%$</math> del valore di regime, si considera
<math>
t_{s_{2\%}} = \frac{4}{\xi \omega_{n}}
Riga 580:
\end{itemize}
 
==== Relazioni tra i parametri ====
Esistono delle dipendenze tra i parametri caratteristici del sistema e i parametri della sua risposta al gradino
\vedilibro{rif:k}{550, figura 9-7}
Riga 586:
\begin{itemize}
\item
Al crescere di $<math>\omega_{n}$</math> la distanza dei poli dall'origine aumenta
\item
Al crescere di $<math>\xi$</math> diminuisce l'angolo tra i poli e l'asse reale negativa rispetto all'origine
\item
Al crescere di $<math>\omega_{n}$</math> il tempo di ritardo diminuisce e il sistema risponde più rapidamente
\item
Al crescere di $<math>\xi$</math> il tempo di ritardo aumenta e il sistema risponde più lentamente
\item
La banda è direttamente proporzionale alla pulsazione naturale non smorzata $<math>\omega_{n}$</math> e inversamente proporzionale al tempo di salita $<math>t_{r}$</math>,
per cui aumentando la banda il sistema risponde più rapidamente
\item
Riga 600:
\end{itemize}
 
=== Riduzione dell'ordine dei sistemi ===
==== Poli dominanti ====
Si possono trascurare in fase di valutazione delle specifiche poli o zeri a frequenze molto elevate rispetto agli altri
\vedilibro{rif:k}{422, sezione 7.8: Dominant poles of transfer function}
 
== Controllo di sistemi lineari ==
 
=== Specifiche di progetto ===
Ci si riferisce alle \emph{specifiche di progetto} intendendo la descrizione di ciò che un sistema deve o non deve fare e come
\vedilibro{rif:k}{665, sezione 10-1-1: Design specifications}
Riga 621:
 
 
=== Controllo in anello aperto ===
\`E applicabile solo se il sistema è noto con precisione,
poichè una piccola variazione del sistema non è gestita dal controllore
 
 
=== Controllo in ciclo chiuso ===
\vedilibro{rif:c}{366, sezione 10.6: Feedback compensation}
 
==== Polinomio caratteristico in ciclo chiuso ====
per un sistema $<math>G(s)=P_{N}(s)/P_{D}(s)$</math> in retroazione unitaria negativa con un guadagno $<math>K$</math> si ha:
<math>
P_{CC} = P_{D}(s) + KP_{N}(s)
</math>
 
==== Guadagno critico ====
Se il sistema è del secondo ordine i coefficenti del polinomio caratteristico in ciclo chiuso devono essere tutti dello stesso segno
 
Riga 641:
\vedilibro{rif:k}{488, sezione 8-3-8: Intersection of the root loci with the imaginary axis}
 
==== Funzione di trasferimento in ciclo chiuso ====
Se $<math>G(s)$</math> è la funzione di trasferimento in anello aperto di un sistema, allora la funzione di trasferimento in retroazione negativa è
<math>
G_{cc}(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)}
</math>
 
=== Schema di controllo standard ===
Definiamo \emph{schema di controllo standard} il controllo di un sistema con funzione di trasferimento $<math>G(s)$</math>
lineare tempoinvariante e causale
stabile o meno
conosciuto a meno di approssimazioni rispetto al sistema reale $<math>G_{R}(s)$</math>
retroazionato negativamente (retroazione unitaria)
con l'aggiunta in serie di un controllore PID $<math>K(s)$</math>
indicando con $<math>C(s)$</math> la funzione di trasferimento del sistema totale
quando lo scopo del controllore è quello di far si che il sistema segua esattamente l'ingresso ($<math>C(s) \approx 1$</math>)
 
definiamo i segnali:
\begin{itemize}
\item
$<math>r(t)$</math>:
il segnale di riferimento in ingresso al sistema globale
\item
$<math>y(t)$</math>:
il segnale in uscita dal sistema e che viene retroazionato all'ingresso
\item
$<math>\epsilon (t)$</math>:
il segnale di errore $<math>y(t) - r(t)$</math> che entra in ingresso al controllore
\item
$<math>u(t)$</math>:
il segnale in uscita dal controllore e in ingresso al sistema
\end{itemize}
Riga 676:
\begin{itemize}
\item
$<math>G(s)$</math>:
funzione di trasferimento in anello aperto del sistema (da $<math>u(t)$</math> a $<math>y(t)$</math>);
\item
$<math>L(s)$</math>:
pari a $<math>K(s)G(s)$</math> funzione di trasferimento in anello aperto del sistema controllato (da $<math>\epsilon (t)$</math> a $<math>y(t)$</math>);
\item
$<math>C(s)$</math>:
pari a $<math>\frac{L(s)}{1 + L(s)}$</math> funzione di trasferimento in anello chiuso del sistema controllato (da $<math>r(t)$</math> a $<math>y(t)$</math>)
detta anche \emph{funzione di sensitività complementare}
\vedilibro{rif:b}{329, sezione 11.8: Analisi della funzione di sensitività comlementare};
\item
$<math>S(s)$</math>:
pari a $<math>\frac{1}{1 + L(s)}$</math>, funzione di trasferimento ingresso-errore o \emph{funzione di sensitività}
\vedilibro{rif:b}{342, sezione 11.9: Analisi della funzione di sensitività}
\item
$<math>Q(s)$</math>:
pari a $<math>\frac{K(s)}{1 + L(s)}$</math> \emph{funzione di sensitività del controllo}
\vedilibro{rif:b}{346, sezione 11.10: Analisi della funzione di sensitività del controllo}
\end{itemize}
Riga 702:
 
Se la funzione di trasferimento del sistema non è nota con precisione,
e la funzione di trasferimento reale è $<math>G_{R}(s) = G(s) + \Delta G(s)$</math>
in uscita si ha un errore pari a
<math>
\frac{\Delta y}{y} = \frac{\Delta G(s)}{G(s)}
</math>
tale che se l'uscita $<math>y$</math> aumenta anche l'errore aumenta
 
In presenza di un controllore $<math>K(s)$</math> in retroazione
si ha che l'errore diventa
<math>
Riga 734:
 
 
=== Differenti schemi di controllo ===
Non è detto che il sistema di controllo standard sia sempre il più corretto,
è anche possibile posizionare più controllori in posizioni differenti
\vedilibro{rif:b}{443, capitolo 15: Schemi di controllo avanzati}
 
=== Specifiche qualitative di un sistema di controllo ===
Si sceglie il tipo di controllore a seconda delle proprietà intrinseche dell'impianto:
controllabilità e osservabilità del sistema
Riga 760:
Devono essere gestiti i disturbi,
idealmente l'uscita del sistema rispetto ad un disturbo dovrebbe essere nulla,
comunque il guadagno ($<math>|G(j\omega)|$</math>) del sistema controllato rispetto ad un disturbo deve essere negativo (in decibel);
la forma del guadagno in funzione della frequenza si cambia con poli e zeri,
l'altezza con un guadagno puro
Riga 767:
 
Idealmente il sistema controllato dovrebbe avere
$<math>G(s) = 1$</math> rispetto al segnale di riferimento o al controllo,
e $<math>G(s) = 0$</math> rispetto ai disturbi;
ovvero, più realisticamente
$<math>|G(j\omega)|$</math> ``grande'' rispetto al segnale di riferimento o al controllo,
e $<math>|G(j\omega)|$</math> ``piccolo'' rispetto ai disturbi
 
Per evitare i rumori in alta frequenza
Riga 783:
deve rendere il sistema sensibile al segnale di riferimento e insensibile ai disturbi
 
=== Struttura del sistema ===
Poli complessi coniugati nella funzione di trasferimento in ciclo chiuso danno una risposta al gradino oscillatoria smorzata,
se tutti i poli sono reali, la risposta al gradino è sovrasmorzata (non oscillante), ma se ci sono degli zeri non è detto che la sovraelongazione massima sia nulla
Riga 799:
il margine di fase, il margine di guadagno, il picco di risonanza e lo smorzamento sono inversamente proporzionali (??)
 
==== Aggiunta di poli e zeri ====
Aggiungere uno zero aumenta la banda del sistema in ciclo chiuso
\vedilibro{rif:k}{551, sezione 9-3: Effects of adding a zero to the forward-path transfer function}
Riga 807:
 
Il luogo delle radici può essere usato per valutare l'effetto dell'aggiunta di poli e zeri al sistema
\vedilibro{rif:k}{509, sezione 8-5-1: Effect of adding poles and zeros to $<math>G(s)H(s)$</math>}
 
=== Controllori PID ===
Un \emph{controllore PID}
\vedilibro{rif:k}{708, sezione 10-4: Design with the PID controller}
\vedilibro{rif:b}{415, capitolo 14: Regolatori PID}
è un controllore che è composto da
una componente proporzionale $<math>K_{P}$</math>,
una componente derivativa $<math>K_{D}s$</math>
ed una integrale $<math>K_{S}/s$</math>
connesse in parallelo;
la sua funzione di trasferimento è quindi
Riga 827:
= K_{P}\frac{T_{I}T_{D}s^{2} + T_{I}s + 1}{T_{I}s}
\end{eqnarray}
dove $<math>T_{I} = K_{P}/K_{I}$</math> è il \emph{tempo integrale} e $<math>T_{D} = K_{D}/K_{P}$</math> è il \emph{tempo derivativo};
 
la sua uscita in funzione dell'ingresso è
Riga 835:
 
Il controllore PID ideale non è un sistema causale,
nella pratica l'azione derivativa è ottenuta aggiungendo un polo per $<math>s = -N/T_{D}$</math> con $<math>N \approx 5 \ldots 20$</math>
 
Un controllore PID implementato con un semplice circuito elettronico
Riga 845:
\`E possibile anche una struttura equivalente meccanica di un PID costituita da una molla e da uno smorzatore
 
==== Controllore proporzionale derivativo ====
Un \emph{controllore proporzionale derivativo}
\vedilibro{rif:k}{671, sezione 10-2: Design with the PD controller}
Riga 852:
</math>
è composto da una componente proporzionale ed una proporzionale alla derivata del segnale di ingresso;
ha un solo zero in corrispondenza di $<math>K_{P}/K_{D}$</math> e nessun polo
(le implementazioni reali di questo controllore hanno ovviamente almeno un polo, ma si suppone che questo sia a frequenza elevata tale da non alterare il sistema)
 
Riga 862:
che verrebbero accentuate dal controllore
 
La struttura di un PD implementato come circuito elettronico è pari a quella del PID con $<math>C_{1}$</math> sostituito con un circuito aperto,
<math>
K_{PD}(s) = \frac{R_{4}R_{2}}{R_{1}R_{3}} \phantom{2} \frac{1+C_{1}R_{1}s}{s}
Riga 868:
 
 
==== Controllore proporzionale integrale ====
Un \emph{controllore proporzionale integrale}
\vedilibro{rif:k}{691, sezione 10-3: Design with the PI controller}
Riga 875:
</math>
è composto da una componente proporzionale ed una proporzionale all'integrale del segnale di ingresso;
ha un solo zero in corrispondenza di $<math>K_{P}/K_{I}$</math> e un polo nell'origine;
si comporta come un filtro passa-basso
 
\`E conveniente in fase di progetto mettere lo zero relativamente vicino all'origine e lontano dagli altri poli del sistema,
mantenendo le due costanti $<math>K_{P}$</math> e $<math>K_{I}$</math> piccole
 
La struttura di un PI implementato come circuito elettronico è pari a quella del PID con $<math>C_{2}$</math> sostituito con un circuito chiuso,
<math>
K_{PI}(s) = \frac{R_{4}}{R_{1}C_{2}R_{3}} \phantom{2} \frac{1+R_{2}C_{2}s}{s}
Riga 902:
 
 
==== Metodi di taratura automatica ====
\vedilibro{rif:b}{430, sezione 14.4: Metodi di taratura automatica}
 
 
=== Criterio di Nyquist ===
In un sistema di controllo standard in ciclo chiuso, dove il sistema da controllare $<math>G(s)$</math> è conosciuto solo a meno di approssimazioni rispetto al sistema reale, è possibile valutare la stabilità del sistema reale per mezzo del criteriodi Nyquist.
Questo nel caso che l'aprossimazione di $<math>G(s)$</math> sia a meno di incertezze moltiplicative non strutturali
(ad esempio se si trascura la dinamica degli attuatori di un sistema).
 
Una funzione $<math>F(s) \phantom{3} \Comp \rightarrow \Comp$</math> \emph{analitica}
in un insieme $<math>\Omega$</math>
(ovvero esiste nell'insieme ed esistono le sue derivate,
$<math>F(s)$</math> è continua e derivabile infinite volte, $<math>F(s) \in C^{\infty}$</math>)
soddisfa il \emph{teorema di Cauchy}:
dato un percorso chiuso $<math>\Gamma$</math> che racchiude poli e zeri di $<math>F(s)$</math>, percorrendo $<math>\Gamma$</math> in senso orario una volta, $<math>F(s)$</math> mappa $<math>\Gamma$</math> in $<math>\Omega$</math>
(è detta \emph{trasformazione conforme})
 
Applichiamo una particolare trasformazione conforme alla funzione di trasferimento $<math>G(s)$</math> di un sistema,
dove il percorso $<math>\Gamma$</math> è tale da racchiudere tutti i poli e gli zeri instabili, ovvero il semipiano reale positivo del luogo delle radici
(esclusi poli e zeri immaginari puri);
in questo modo si ottiene il diagramma di Nyquist
Riga 931:
 
Il \emph{criterio di Nyquist} stabilisce che
un sistema è asintoticamente stabile in ciclo chiuso se il suo diagramma di Nyquist accerchia tante volte il punto $<math>-1, 0j$</math> quanti sono i poli instabili del sistema in anello aperto
\vedilibro{rif:k}{567, sezione 9-5-6: Nyquist criterion and the L(s) plot}
 
Se il sistema controllato non ha poli instabili in anello aperto,
per verificare l'asintotica stabilità in retroazione è sufficente che il punto critico $<math>-1, 0j$</math> non sia circondato dalla curva nel diagramma di Nyquist,
se il sistema ha guadagno unitario per una sola frequenza
(il diagramma di Bode attraversa una sola volta l'asse a 0 dB)
Riga 942:
\vedilibro{rif:b}{327, sezione 11.7.5: Criterio di Bode} )
 
=== Reti stabilizzatrici ===
Esistono dei modelli standard di controllori che sono disponibili in commercio;
questi sono i controllori che possono essere più facilmente utilizzati nella sintesi di un sistema di controllo
Riga 948:
\vedilibro{rif:c}{328, sezione 10.3: Realization of basic compensators}
 
==== Rete anticipatrice di fase ====
Una \emph{rete anticipatrice}
\vedilibro{rif:b}{382, sezione 12.5.1: Rete anticipatrice}
Riga 958:
G(s)_{ra} = \frac{1 + \tau s}{1 + T s}
</math>
con $<math>z < p$</math> ($<math>\tau > T$</math>)
e quindi con uno zero a pulsazione $<math>\omega_{z} = 1 / \tau$</math> e un polo a pulsazione $<math>\omega_{p} = 1 / T$</math>
 
L'anticipo di fase massimo $<math>\Phi$</math> si ha in corrispondenza della pulsazione media dei due poli $<math>\omega_{zp} = 1 / \sqrt{T\tau}$</math>
(media geometrica in quanto si intende in scala logaritmica)
e si può ricavare tracciando il diagramma di Nyquist della rete
(che è una semicirconferenza al di sopra dell'asse reale positivo che va dal punto $<math>\tau / T$</math> al punto $<math>1$</math>)
<math>
\Phi_{ra} = \sin^{-1} \frac{\tau/T -1}{\tau/T+1}
= \sin^{-1} \left| \frac{\tau - T}{\tau + T} \right|
</math>
Esiste un limite all'anticipo di fase che può essere ottenuto con una semplice rete di questo genere fatta con resistenze e condensatori (e quindi a guadagno unitario) che è circa $<math>\pi/3$</math> con tipicamente zero e polo a distanza di circa una decade
 
La rete aumenta anche il guadagno a frequenze superiori alla frequenza del polo,
Riga 986:
si costruisce il diagramma di bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno
\item
si trova il margine di fase e si valuta di quanto questo deve essere aumentato (meglio abbondare un poco), questo è lo sfasamento massimo $<math>\Phi_{ra}$</math> della rete
\item
si ricava il rapporto $<math>\tau/T = \frac{1 + \sin \Phi}{1 - \sin \Phi}$</math> della rete dato lo sfasamento massimo
\item
si ricava il guadagno aggiunto dalla rete $<math>A_{ra} = 20 \log_{10} \tau/T$</math>
\item
si cerca nel diagramma del modulo del sistema la frequenza per cui il guadagno è $<math>-A_{ra}$</math>,
con una certa approssimazione questa sarà la nuova frequenza di taglio $<math>\omega_{\pi}$</math> del sistema controllato
\end{enumerate}
 
Una semplice implementazione elettrica di una rete anticipatrice è composta da due resistenze $<math>R_{1}, R_{2}$</math> e da un condensatore $<math>C_{1}$</math>,
in questo caso la funzione di trasferimento risulta
<math>
Riga 1 003:
 
 
==== Rete ritardatrice di fase ====
Una \emph{rete ritardatrice}
\vedilibro{rif:b}{384, sezione 12.5.2: Rete ritardatrice}
Riga 1 014:
G(s)_{rr} = \frac{1 + \tau s}{1 + T s}
</math>
con $<math>p < z$</math> ($<math>\tau > T$</math>)
e quindi con un polo a pulsazione $<math>\omega_{p} = 1 / T$</math> e uno zero a pulsazione $<math>\omega_{z} = 1 / \tau$</math>
 
La rete introduce un ritardo di fase indesiderato $<math>\Phi$</math> che ha il suo massimo in corrispondenza della pulsazione media dei due poli $<math>\omega_{pz} = 1 / \sqrt{T\tau}$</math>
(media geometrica in quanto si intende in scala logaritmica)
e si può ricavare tracciando il diagramma di Nyquist della rete
(che è una semicirconferenza al di sotto dell'asse reale positivo che va dal punto $<math>\tau / T$</math> al punto $<math>1$</math>)
<math>
\Phi_{ra} = - \sin^{-1} \frac{T/\tau - 1}{T/\tau + 1}
Riga 1 026:
</math>
 
Per evitare che il ritardo di fase introdotto si ripercuota troppo sul margine di fase, occorre scegliere il polo (????): $<math>T > 1/\omega_{c}$</math>
 
Per dimensionare una rete ritardatrice nell'ottica di un normale progetto di un controllore per un sistema stabile si procede come segue:
Riga 1 035:
si costruisce il diagramma di Bode del sistema in anello aperto con il nuovo guadagno
\item
si stima la nuova frequenza di taglio $<math>\omega_{c}$</math>
valutando sul diagramma della fase la pulsazione per cui la fase è $<math>-180 + PM + 5$</math> gradi,
dove $<math>PM$</math> è il margine di fase desiderato e circa 5 gradi sono aggiunti per considerare la diminuzione del guadagno introdotta dalla rete
\item
si sceglie lo zero $<math>1/\tau$</math> una decade circa prima della frequenza di taglio stimata
\item
si stima sul diagramma del modulo l'ampiezza $<math>A$</math> (in dB) della risposta in corrispondenza della frequenza di taglio stimata
\item
si sceglie $<math>T = 10^{-\frac{A}{20}}\tau$</math> dall'equazione $<math>A = 20 \log _{10} \tau/T$</math>
\end{enumerate}
 
Una semplice implementazione elettrica di una rete ritardatrice è composta da due resistenze $<math>R_{3}, R_{4}$</math> e da un condensatore $<math>C_{2}$</math>,
in questo caso la funzione di trasferimento risulta
<math>
Riga 1 052:
</math>
 
==== Rete a sella ====
Una \emph{rete a sella} (detta anche rete di anticipo-ritardo)
\vedilibro{rif:b}{386, sezione 12.5.3: Rete a sella}
Riga 1 060:
G(s)_{rs} = \frac{1+\tau_{1}s}{1+T_{1}s} \frac{1+\tau_{2}s}{1+T_{2}s}
</math>
dove si scelgono $<math>T_{1} > \tau_{1} > \tau_{2} > T_{2}$</math>
ed ha due poli con due zeri nel mezzo
 
Se si sceglie il prodotto dei poli uguale al prodotto degli zeri
$<math>T_{1}T_{2} = \tau_{1}\tau{2}$</math>
la rete ha guadagno unitario;
oppure si possono scegliere in modo da avere un guadagno maggiore in alta frequenza
 
==== Filtro a spillo ====
il \emph{filtro a spillo} o filtro natch è una particolare rete a sella in cui i due zeri sono coincidenti
e agisce da filtro elimina-banda;
Riga 1 074:
 
 
=== Assegnamento di poli e zeri ===
Ad un sistema completamente controllabile
\vedilibro{rif:k}{273, sezione 5-10: Controllability of Lynear Systems}
Riga 1 097:
Il metodo della reazione dello stato può essere visto anche applicato ad un sistema MIMO descritto variabili di stato;
si retroaziona (moltiplicato per una matrice K) l'intero stato del sistema in ingresso (è detta \emph{reazione totale}),
imponendo $<math>u(t) = -Kx(t) + r(t)$</math>;
ottenendo il sistema
<math>
Riga 1 107:
\right.
</math>
dove $<math>K \in \Re^{n_{u} \times n_{x}}$</math> è una matrice di guadagni costanti
 
Si può dimostrare che se il sistema $<math>(A,B)$</math> è controllabile,
allora esiste una matrice $<math>K$</math> che consente di assegnare arbitrariamente gli autovalori della matrice della dinamica del sistema $<math>A-BK$</math>
(le $<math>n_{x}$</math> radici dell'equazione caratteristica $<math>(sI - A + BK) = 0$</math>)
 
Se si considera il sistema precedente scritto in forma canonica di controllo
(vedi \ref{par:fcc})
supponendo che l'ingresso sia unico
(quindi $<math>u(t) \in \Re$</math> e $<math>B = [ 0 \cdots 0 1]$</math>)
si ha che posto $<math>K = [ k_{0} k_{1} \cdots k_{n-1}]$</math>
la matrice $<math>A-BK$</math> è del tipo
<math>
A-BK =
Riga 1 135:
+ (a_{1}+k_{1})x + (a_{0}+k_{0})
</math>
quindi scegliendo appositamente gli elementi $<math>k_{0} \ldots k_{n-1}$</math> della matrice $<math>K$</math>
è possibile variare a piacere i coefficenti del polinomio caratteristico del sistema,
e quindi gli autovalori della matrice della dinamica
e di conseguenza il comportamento transitorio del sistema.
Se il sistema ha un solo ingresso, la matrice $<math>K$</math> che consente di ottenere i poli desiderati è unica,
altrimenti ci sono infinite soluzioni possibili poiché è necessario combinare gli ingressi,
se un ingresso solo è sufficente per controllare completamente il sistema si possono anche considerare gli altri nulli
Riga 1 146:
che in generale non è accessibile direttamente ma solo attraverso le uscite del sistema;
è quindi necessario che il sistema sia completamente osservabile
(ovviamente se $<math>C = [1 \cdots 1]$</math> l'uscita corrisponde esattamente allo stato)
 
La tecnica della reazione totale è utilizzabile facilmente nel caso di sistemi a sfasamento non minimo,
Riga 1 155:
è necessario eventualmente aggiungere integratori in serie al sistema,
\vedilibro{rif:k}{802, sezione 10-14: Stat feedback with integral control}
(aggiungendo quindi una o più variabili di stato $<math>x_{n+1}' = x_{1}$</math>)
ottenendo l'asintotica stabilità per il tipo di ingresso desiderato;
quindi valutare la matrice $<math>K$</math>
 
il sistema con l'aggiunta di un integratore diventa
Riga 1 194:
</math>
 
==== Osservatore di Luenberger ====
Quando l'intero stato del sistema non è disponibile in uscita
(ad esempio se le uscite sono meno degli ingressi $<math>n_{y} < n_{x}$</math>)
si inserisce in serie a valle del controllore totale $<math>K$</math> un sistema in grado di ricostruire il vettore di stato a partire dalle uscite del sistema
(il sistema deve essere completamente osservabile)
e dagli ingressi.
Riga 1 203:
Tale sistema è detto \emph{osservatore di Luenberger}
\vedilibro{rif:c}{509, State variable analysis and design, Observer System}
(il sistema composto dall'osservatore e dalla matrice di guadagni $<math>K$</math> è detto \emph{compensatore dinamico}
ed è tale da fornire in uscita un vettore $<math>\zeta(t)$</math> tale che
$<math>\lim_{t \rightarrow \infty} \zeta(t) - x(t) = 0$</math>
ovvero $<math>\zeta$</math> rappresenta una stima dello stato del sistema che tende ad essere esatta;
la struttura dell'osservatore è la seguente:
<math>
\zeta'(t) = A\zeta(t) + Bu(t) + K_{F}(y(t) - C\zeta(t))
</math>
dove la matrice $<math>K_{F}$</math> è l'unico parametro di costruzione e le altre matrici $<math>A,B,C$</math> sono le stesse del sistema da osservare
 
L'errore che si commette sostituendo lo stato allo stato osservato è $<math>\epsilon_{os}(t) = \zeta(t) - x(t)$</math> ed è indipendente dall'ingresso $<math>u(t) $</math> del sistema;
la dinamica dell'errore è:
<math>
Riga 1 219:
</math>
dove l'errore iniziale dipende dalle condizioni iniziale dell'osservatore, che possono essere poste arbitrariamente a 0 o a qualunque altro valore,
mentre l'errore ad ogni altro istante $<math>t$</math> tende ad annullarsi dipendentemente dagli autovalori della matrice della dinamica dell'errore $<math>A-K_{F}C$</math>;
è quindi necessaro assegnare i poli della matrice in modo che questi siano a frequenza maggiore dei poli del sistema da osservare,
perché l'errore tenda ad essere nullo prima che il sistema osservato sia a regime,
Riga 1 226:
 
Il sistema controllato in retroazione totale in ciclo chiuso con l'osservatore ha lop stato interno che è dato dallo stato del sistema e dallo stato dell'osservatore,
$<math>x_{SO}(t)^{T} = (x(t) , \epsilon_{os}(t))$</math>
(dove si potrebbe anche considerare come stato il vettore $<math>\zeta(t)$</math> al posto dell'errore)
e quindi il sistema diventa
<math>
Riga 1 255:
(\emph{principio di separazione});
la funzione di trasferimento del compensatore dinamico è
$<math>K(sI - A + BK + K_{F}C)^{-1}K_{F}$</math>
 
Nel caso (frequente) che alcune variabili di stato siano disponibili in uscita, l'osservatore è ovviamente un cortocircuito rispetto ad esse
(\emph{osservatore ridotto} con dinamica $<math>n_{x} - n_{y}$</math>)
 
== Riferimenti ==
*Fondamenti di controlli automatici} \label{rif:b}
di Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni;