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*[[Fondamenti di automatica/Sistemi|Sistemi]]
==Sistemi==
 
===Forma canonica dei sistemi===
Un sistema generico non lineare MIMO, variante nel tempo e proprio è descritto dalle equazioni:
<math>
\left\{
\begin{array}{l}
x'(t) = f_{s}(x(t), u(t), t) \\
y(t) = f_{u}(x(t), u(t), t) \\
\end{array}
\right.
</math>
dove
\begin{itemize}
\item
$x(t) \in \Re \rightarrow \Re^{n_{x}}$ è il vettore di stato;
\item
$u(t) \in \Re \rightarrow \Re^{n_{u}}$ è il vettore di ingresso;
\item
$t \in \Re$ è il tempo;
\item
$y(t) \in \Re \rightarrow \Re^{n_{y}}$ è il vettore di uscita;
\item
$f_{s}(\cdot)$ e $f_{u}(\cdot)$ sono campi vettoriali (che si suppongono normalmente analitici).
\end{itemize}
 
Si considera poi
$t_{0}$ l'istante iniziale e
$x(t_{0})$ lo stato iniziale (che spesso si suppone noto).
$x'(t) = f_{s}(x(t), 0 , t)$ è detto \emph{movimento libero dello stato}
(l'evoluzione dello stato a partire da uno stato iniziale per ingresso nullo);
$x'(t) = f_{s}(0 , u(t) , t)$ è detto \emph{movimento forzato dello stato}
(l'evoluzione dello stato a partire da uno stato iniziale nullo);
 
===Classificazione dei sistemi===
i sistemi dinamici descritti precedentemente in forma canonica possono essere classificati
\vedilibro{rif:b}{35, sezione 2.3: Classificazione dei sistemi dinamici}
in vadi modi sulla base delle proprietà delle funzioni
$f_{s}(\cdot)$ e $f_{u}(\cdot)$
 
Si dicono sistemi \emph{monovariabili}
\vedilibro{rif:b}{35}
o \emph{SISO}
i sistemi dotati di una sola variable di ingresso e di una sola variabile di uscita scalari
($y(t) \in \Re \rightarrow \Re , u(t) \in \Re \rightarrow \Re$);
i sistemi con più ingressi o uscite si dicono sistemi \emph{multivariabili} o \emph{MIMO}
 
Sono sistemi \emph{strettamente propri}
\vedilibro{rif:b}{37}
i sistemi la cui uscita dipende solo dallo stato e non dipende dall'ingresso
($y(t) = f_{u}(x(t),t)$);
sistemi per cui l'uscita dipende anche dall'ingresso direttamente sono detti sistemi \emph{propri};
sistemi propri possono essere trasformati in un sistema strettamente proprio equivalente aggiungendo una variabile allo stato
 
Un sistema è \emph{tempo-invariante} o \emph{stazionario}
\vedilibro{rif:b}{37}
se l'evoluzione dell'uscita e dello stato in un dato istante non dipende dal tempo in cui quell'istante si colloca, ovvero le funzioni
$f_{s}(\cdot)$ e $f_{u}(\cdot)$
non dipendono dalla variabile tempo $t$;
 
Un sistema è \emph{lineare}
\vedilibro{rif:b}{38}
quando sia l'uscita che la variazione dello stato sono combinazioni lineari dell'ingresso e dello stato;
per un sistema lineare vale il principio di sovrapposizione degli effetti
\vedilibro{rif:b}{45, sezione 2.5: Sistemi lineari}
 
 
 
===Schemi a blocchi===
\vedilibro{rif:b}{131, capitolo 5: Schemi a blocchi}
 
===Linearizzazione===
\`E spesso preferibile trattare problemi lineari,
esistono metodi per ricondurre sistemi non lineari a sistemi lineari
\vedilibro{rif:k}{183, section 4-7: Linearization of nonlinear systems}
 
Se supponiamo che le funzioni $f_{s}()$ e $f_{u}()$ siano sufficentemente regolari nell'intorno di un punto $(x(t_{0}), 0 , t_{0})$ è possibile approssimarle nell'intorno di quel punto con il loro sviluppo di Taylor arrestato al termine di primo grado.
\vedilibro{rif:b}{48, sezione 2.6: Linearizzazione}
 
Se ci troviamo a trattare problemi non lineari, ci si restringe nell'intorno di un punto di equilibrio del sistema,
ovvero tale che $x'(t) = 0$,
e si approssimano tutte le funzioni a funzioni lineari.
 
Si suppone che i coefficenti del sistema non varino nel tempo.
 
Sistemi lineari che abbiano più di un ingresso o più di un uscita possono sempre essere espressi come composizione di sistemi SISO, in quanto è valido il principio di sovrapposizione delgi effetti
 
Quando è possibile ci si riconduce a sistemi lineari tempoinvarianti SISO.
 
% CAPITOLO 2
 
==Sistemi lineari tempoinvarianti==