Fondamenti di automatica: differenze tra le versioni

è necessario conoscere tante condizioni ($n$) su $x(t)$ o sulle sue derivate pari al grado dell'equazione

 

\`E possibile scomporre sempre una o più equazioni differenziali in un sistema di equazioni differenziali del primo ordine

\vedilibro{rif:k}{26, sezione 2-3-3: First-order differential equations}

e costituisce il rapporto tra l'uscita e l'ingresso quanto tutte le variabili del sistema, ingresso e stato, sono costanti

 

L'unico passo non banale nella soluzione di un sistema in variabili di stato

consiste nella valutazione della matrice di transizione dello stato

 

 

 

Esistono criteri di stabilità esterna che si riferiscono alle uscite del sistema e criteri di stabilità interna che si riferiscono allo stato del sistema;

\vedilibro{rif:c}{604, sezione 14.5: Stability of nonlinear systems}

\vedilibro{rif:c}{646, sezione 14.2: Lyapunov's stability criterion}

 

dato $x' = f(x)$ (con $x$ vettore di $n_{x}$ componenti e $f(\cdot)$ campo vettoriale)

in cui $x = 0 \cdots 0$ è punto di equilibrio (a meno di traslazioni dell'origine),

inoltre se $P$ esiste è unica e il sistema è asintoticamente stabile

 

Un sistema è \emph{marginalmente stabile}

se la sua risposta ad un ingresso finito è sempre limitata ma finita;

se tutte le sue vabiabili instabili sono controllabili

 

Uno stato di un sistema si dice non osservabile se in un tempo finito il movimento libero da esso generato è nullo,

\vedilibro{rif:b}{90, sezione 3.5.3: Osservabilità}

Dato un sistema non completamente osservabile è sempre possibile isolare la sua parte non osservabile (????)

 

Consiste nel poter cambiare lo stato del sistema da un valore arbitrario al valore nullo in un tempo finito mediante un opportunuo ingresso

\vedilibro{rif:b}{87, sezione 3.5.2: Raggiungibilità}

 

 

 

Un sistema è causale se:

sistemi non causali sono utili solo al livello accademico

 

Si studia la risposta del sistema ad un ingresso gradino unitario

\vedilibro{rif:k}{385, sezione 7-4: Unit step response and time-domain specifications}

\end{itemize}

 

Si definisce \emph{sovraelongazione massima} (o maximum overshoot) $M_{p}$ la differenza tra il valore di regime della risposta e il valore massimo che essa raggiunge in fase transitoria;

la \emph{sovraelongazione massima percentuale} $M_{p}\%$ è misurata in percentuale rispetto al valore di regime.

Valori di sovraelongazione bassi sono desiderabili per un sistema ($ < 5\% $)

 

Si chiama \emph{tempo di assestamento} (o settling time) $t_{s}$ il tempo necessario alla risposta a portarsi definitivamente a valori vicini al valore di regime;

In genere si misura il tempo dopo cui la risposta non differisce di più del 10\% dal valore di regime

Un valore del tempo di assestamento più basso possibile è desiderabile per un sistema

 

Si chiama \emph{tempo di salita} (o rise time) $t_{r}$ il tempo necessario alla risposta per portarsi dal 10\% al 90\% del valore di regime

 

Si chiama \emph{tempo di ritardo} (o delay time) $t_{d}$ il tempo necessario alla risposta per raggiungere il 10\% del valore di regime

 

 

Se il sistema è un sistema in retroazione unitaria che ha come scopo che la sua uscita segua il segnale di comando in ingresso il più accuratamente possibile, allora

si studia la risposta del sistema a ciascuno delgli ingressi canonici

L'errore a regime può essere valutato con vari metodi, ad esempio con applicando il teorema del valore finale

 

Si chiama \emph{errore a regime}

\vedilibro{rif:k}{365, sezione 7-3: Steady-state error}

\end{itemize}

 

Un sistema che è stabile in retroazione ha un errore a regime agli ingressi canonici nullo, finito o infinito dipendentemente dal suo numero di poli nulli $g$ (detto \emph{grado del sistema}) in anello aperto.

\vedilibro{rif:k}{375, tabella 7-1}

\end{itemize}

 

 

====Guadagno}

Il margine di fase indica quale è lo sfasamento massimo che dei ritardi di tempo possono inserire nell'anello di reazione prima che il sistema diventi instabile

 

 

 

Se si hanno due sistemi in serie,

Se la parte che viene cancellata corrisponde a poli instabili, allora il sistema è instabile

 

Per un sistema in variabili di stato non completamente raggiungibile e osservabile esiste una forma di scomposizione detta \emph{decomposizione di Kalman}

\vedilibro{rif:b}{93, sezione 3.5.4: Scomposizione canonica e forma minima}

assegna al sistema descritto in variabili di stato dalla matrice A e dal vettore b gli autovalori del vettore l utilizzando una reazione totale dello stato

\end{itemize}

 

==Modelli di sistemi comuni==