Elementi di Euclide/Libro I-Teoremi 17-24: differenze tra le versioni

== Teorema 17==

Sia il triangolo .a.b.c. Dico che qualunque duoi angoli di quello sono minori de duoi angoli retti, perchéperche essendo protratto un lato di quello, come seria il lato ,b,c, per fina al d. per la precedente, l'angolo ,c, estrinsico seria maggiore del angolo a, etiam maggiore dell'angolo ,b, ma l'angolo ,c, estrinsico insieme con l'angolo ,c, intrinsico sono equali a duoi angoli retti, per la tertiadecima. Adunque li duoi angoli ,b, & ,c, intrinsici seranno minori de duoi angoli retti, & similmente l'angolo .a. insieme con l'angolo.c. (intrinsico) seranno pur minori di duoi angoli retti, perchéperche all'angolo ,c, intrinsico uolendo equaliare a duoi angoli retti bisognaria accompagnarlo con un altro angolo che fusse equale all'angolo .a.c.d. estrinsico, dilche alcun di quelli duoi intrinsici (a lui oppositi) cioe a, & b, non sono sufficienti, per esser ciascun di loro minori del detto angolo ,a,c,d , estrinsico. Similmente se 'l serà protratto il lato ,b,a, per il medesimo modo el si approuerà che li duoi angoli ,a, & ,b, sono minori de duoi angoli retti, che è il proposito.

== Teorema 18==

''' Il lato piùpiu longo de ogni triangolo è opposito al maggior angolo.'''

== Teorema 19==

''' Il maggior angolo de ogni triangolo, e opposito al piùpiu longo lato.'''

== Teorema 20==

'''Duoi lati di ogni triangolo (tolti come si uoglia) gionti insieme sono piùpiu longhi del restante lato.'''

== Teorema 21==

''' Se dalli duoi ponti terminanti un lato d'un triangolo usciranno due linee rette, & che quelle si congiongano in un ponto che sia di dentro del triangolo, quelle medeme due linee certamente seranno piùpiu breue delle altre due linee del triangolo, e conteniranno maggior angolo.

== Teorema 22==

[22/22] Proposte tre linee rette, dellequalli le due, quale si uogliano, gionte insieme sieno piùpiu longhe dell'altra, puotemo, con altre tre linee, a quelle equale constituire un triangolo.

[vedi figura 027v.png] Siano le tre proposte linee .a.b.c. lequale siano cosi conditionate, che due, quale si uoglia di quelle, gionte insieme siano maggiore dell'altra, perchéperche altramente non se potria di tre equale a quelle constituir triangolo (per la uigesima propositione.) adonque quando uorro constituir un triangolo di tre linee equale alle tre predette, facio la linea .d.e. allaquale dalla parte .e. non gli pono fin determinato, & dalla parte del .d. ne sego la parte .d.f. equale alla linea .c. (per la tertia propositione) & .f.g. equal al .b. & .g.h. equal al .a. & fatto ilponto ,f. centro descriuo il cerchio .d.k. secondo la quantità .f.d. et similmente fatto .g. centro descriuo il cerchio .h.k. liquali duoi cerchi se intersegono in duoi ponti, l'uno di quelli è il ponto .k. altramente seguiria che l'una delle tre linee seria maggiore, ouer equale alle altre due gionte insieme, che seria contra il presupposito. hor dal ponto .k. tiro la linea .k.f. & la linea .k.g. et serà costituido, il triangolo .k.f.g. de tre linee equale alle tre proposite .a.b.c. perchéperche le due linee . f.d. & .f.k. sono equale, perchéperche ambedue uanno dal centro alla circonferentia del cerchio .d.k e perchéperche (14) la linea .c. è equale alla .d.f. per la prima concettione, serà etiam equale alla .f,k, lato del triangolo, similmente ,g,h, & .g.k. sono equale,perchéperche uanno dal centro alla circonferentia del cerchio .h.k. & .g.h. fu posto equale alla linea .a. adonque .g.k. serà equale alla linea .a. per la detta prima commune [pag. 28r] sententia,ouero concettione, & perchéperche ,f,g, fu tolto equale alla linea ,b, adonque li tre lati del triangolo ,f,g,k, sono equali alle tre date linee ,a,b,c, che è il proposito.

== Teorema 23==

== Teorema 24==

[vedi figura 028r_b.png] Siano li duoi triangoli ,a,b,c, & ,d,e,f, &, siano li duoi lati .a.b. & ,a,c, equali alli duoi lati ,d,e,d,f, cioè ciascun al suo relatiuo ,a,b, al ,d,e, & ,a,c, al ,d,f, & sia l'angolo ,a, maggior dell'angolo ,e,d,f, Dico che la basa ,b,c, serà maggiore della basa ,e,f, & per dimostrar questo farò l'angolo ,e,d,g, per la dottrina della precedente equale all'angolo .a. (delqual l'angolo ,e,d,f, uera a esser sua parte, per esser minor di lui) e ponerò ,d,g, equal al ,a,c, ouer ,d,f, e tirarò la linea ,e,g, laqual transirà di sopra della linea ,e,f, segando la linea .d.f. ouer sopra la medema linea ,e,f, facendo con quella una medesima linea, ouer di sotto di quella, hor poniamo primamente che la transisca di sopra la ,e,f, segando la linea ,d,f, (come appar nella prima figura) tirarò la linea ,f,g, e serà costituito il triangolo ,d,f,g, de duoi lati equali, perchéperche ciascun di quelli è equal al lato ,a,c, dilche l'angolo ,d,f,g, serà equale all'angolo ,d,g,f, per la quinta propositione, per laqual cosa l'angolo ,d,f,g, serà maggior dell'angolo ,e,g,f, parte dell'angolo [pag. 28v] ,d,g,f, a lui equale, delche se l'angolo .d.f.g. da si è maggior dell'angolo ,e,g,f, molto piùpiu maggior serà tutto l'angolo e.f.g. del ditto angolo ,e,g,f. donde seguita che 'l lato .e,g, sia maggior del lato ,e,f, per la decimanona propositione, hor dico che 'l lato ,e.g. si è equale alla basa .b.c. perchéperche li duoi lati .a.b. & a.c. del triangolo ,a,b,c, sono equali alli duoi lati ,d,e, & ,d,g, del triangolo ,d,e,g, & l'angolo ,e,d,g, fu posto equale all'angolo ,b,a,c, onde, per la quarta propositione, la basa ,e,g, serà equale alla basa ,b,c, per laqual cosa se la .e.g. è maggiore alla ,e,f, etiam la ,b,c, a quella equale, serà maggiore della detta ,e,f, che è il proposito. [vedi figura 028v_a.png] Ma se la ,e,g, transirà sopra la medesima linea (come in questa altra seconda figura appare) e siano insieme una medesima linea all'hora la ,e,f, serà parte della e,g, adonque, per la ultima concettione, la ,e,f, serà minor del e,g, che è il proposito.

[vedi figura 028v_b.png] Ma se la ,e,g, trasisse di sotto della ,e,f, (come in questa altra figura appare) siano slongate le due lin ee .d,f, & ,d,g, (lequal sono equale) fina in k, & h, & per la seconda parte della quinta propositione, li duoi angoliche sono sotto alla basa ,f,g, seranno equali, cioe lo angolo .k,f,g, serà equale all'angolo ,f,g,h, del che tutto l'angolo ,e,f,g, serà maggior del detto angolo ,f,g,h, ma se l'angolo ,e,f,g, è maggior del ditto ,f,g,h, molto piùpiu maggiore sera dell'angolo ,f,g,e, parte di quello, adonque, per la decimaottaua propositione, il lato ,e,g, serà maggior dell'ato ,e,f. & per consequens ,b,c, serà maggior de ,e,f, che è il proposito. Questo ultimo membro si puoteua anchora prouare per la uigesimaprima, perchéperche per quella in la dispositione della terza figura, le due linee .d,g, & ,e,g, seranno maggiore delle due linee .d.f. & .f.e. & perchéperche la d.g. è equale alla ,d,f, (per questo che ambedue sono equale alla ,a,c,) serà la ,g,e, maggiore della ,e,f, per la qual cosa etiam la ,b,c, serà maggiore della medesima ,e,f, che è il proposito, tamen è meglio dimostrar per il primo modo, accioche in ogni dispositione sia arguito per la quinta.