Matematica per le superiori/Limiti: differenze tra le versioni
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'''Dimostrazione'''
Dobbiamo dimostrare che:
: 1. <math>\left | f(x) \cdot g(x) - l \cdot m \right | < \epsilon </math>
Tenendo conto del teorema su limiti e infinitesimi e cioè che:
<math>f(x) = l + \alpha(x)\,</math>
e
<math>g(x) = m + \beta(x)\,</math>
con <math>\alpha(x)\,</math> e <math>\beta(x)\,</math> due infinitesimi per <math>x \rightarrow a</math>.
L'espressione 1. diventa:
: 2. <math>\left | (l + \alpha(x)) \cdot (m + \beta(x)) - l \cdot m \right | < \epsilon </math>
Svolgendo i calcoli si ottiene:
: <math>\left | l \cdot m + l \cdot \alpha(x) + m \cdot \beta(x) + \alpha(x) \cdot \beta(x)- l \cdot m \right | < \epsilon </math>
e:
: 3. <math>\left |l \cdot \alpha(x) + m \cdot \beta(x) + \alpha(x) \cdot \beta(x) \right | < \epsilon </math>
Ora il prodotto di valori finiti per un infinitesimo, il prodotto tra infinitesimi sono infinitesimi, e la somma tra questi è un infinitesimo.
Quindi il teorema è dimostrato.
=== Quoziente di funzioni ===
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