Matematica per le superiori/Limiti: differenze tra le versioni
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Sulla base del concetto di limite si possone definire la continuità, la derivata e gli asintoti di una funzione, aspetti fondamentali per studiarne l'andamento.
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Lo studio dei limiti di una funzione consente di esaminarne il comportamento nei pressi di alcuni punti, detti punti notevoli, nei quali la funzione non è ben definita (discontinuità, zeri, estremi del dominio) o all'infinito (asintoti).▼
Dalla precedente definizione si ricavano i casi in cui <math>x_{0}</math> o <math>l</math> siano dei numeri o <math>\infty</math>:
Particolare importanza riveste la risoluzione di forme di indeterminazione (<math>+\infty -\infty</math>, <math>\frac{0}{0}</math>, <math>\frac{\infty}{\infty}</math>, <math>0 \cdot \infty</math>, <math>1^{\infty}</math>): laddove la funzione assuma una di queste forme, è necessario trasformarla opportunamente (ad esempio mediante scomposizione) per risolvere la forma indeterminata ed arrivare al calcolo del limite.▼
=== Limite finito al finito ===
Un limite finito al finito si presenta nella forma:
: <math>\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = l</math>.
Line 21 ⟶ 20:
: <math>\forall\epsilon > 0 \ \exists \delta = \delta(\epsilon) \ | \ \forall x \quad |x - x_0| < \delta \rightarrow |f(x) - l|<\epsilon</math>
=== Limite infinito al finito ===
Un limite infinito al finito si presenta nella forma:
: <math>\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) = \infty</math>.
=== Limite finito all'infinito ===
Un limite finito all'infinito si presenta nella forma:
: <math>\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = l</math>.
=== Limite infinito all'infinito ===
Un limite infinito all'infinito si presenta nella forma:
: <math>\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty</math>.
Line 60 ⟶ 59:
: <math>\lim_{x\to0}{\frac{e^{\epsilon(x)} - 1}{\epsilon(x)}} \stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=} 1</math>
: <math>\lim_{x\to0}{\frac{\emph{a}^{\epsilon(x)} - 1}{\epsilon(x)}} \stackrel{\left[\frac{0}{0}\right]}{=} \ln{\emph{a}}</math>
== I limiti nello studio di funzioni ==
▲Lo studio dei limiti di una funzione consente di esaminarne il comportamento nei pressi di alcuni punti, detti punti notevoli, nei quali la funzione non è ben definita (discontinuità, zeri, estremi del dominio) o all'infinito (asintoti).
▲Particolare importanza riveste la risoluzione di forme di indeterminazione (<math>+\infty -\infty</math>, <math>\frac{0}{0}</math>, <math>\frac{\infty}{\infty}</math>, <math>0 \cdot \infty</math>, <math>1^{\infty}</math>): laddove la funzione assuma una di queste forme, è necessario trasformarla opportunamente (ad esempio mediante scomposizione) per risolvere la forma indeterminata ed arrivare al calcolo del limite.
[[Categoria:Matematica per le superiori|Limiti]]
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