Fisica classica/Correnti alternate: differenze tra le versioni
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m modificata leggenda di una figura |
aggiunto il trasformatore che era una dimenticanza significativa ed ho aggiustato alcune parti |
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quadratico medio od efficace definito come:
{{Equazione|eq=<math>f_{eff}=\sqrt{\frac 1T\int_0^Tf(t)^2dt}\ </math>|id=2}}
In particolare se:
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si avrà che:
{{Equazione|eq=<math>f_{eff}=\frac A{\sqrt 2}\ </math>|id=3}}
==Reti elettriche con generatori cosinusoidali==
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in questo caso la corrente è in ritardo rispetto alla tensione
come si vede nella curva
La combinazione di circuiti complessi con <math>L\ </math>, <math>C\ </math> ed <math>R\ </math> sarebbe
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reale coincide con quella precedente):
<math>\mathbf I(t)=I_o[\cos (\omega t + \varphi)+j\sin (\omega t + \varphi)]\ </math>
Le grandezze complesse vengono indicate in grassetto. Applicando la identità di Eulero avrò che:
{{Equazione|eq=<math>\mathbf I(t)=(I_oe^{j\varphi })e^{j\omega t}=\mathbf I_ce^{j\omega t}\ </math>|id=4}}
La parte dentro parentesi <math>\mathbf I_c\ </math> é un numero complesso non
dipendente dal tempo, mentre il resto
dal tempo.
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dei tre componenti passivi che conosciamo risulta che:
<math>\mathbf V(t)=RI_ce^{j\omega t}=RI(t)\ </math>
Per una induttanza essendo:
<math>\mathbf V(t)=L\frac {dI}{dt}=L\frac d{dt} \left( I_ce^{j\omega t}\right)=
j\omega L \left( I_ce^{j\omega t}\right) =j\omega LI(t)\ </math>
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condensatore essendo:
<math>\mathbf V(t)=\frac QC=\frac 1C \int I(t)dt=\frac 1C \int \left( I_ce^{j\omega t}\right)dt=
\frac 1{j\omega C}I_ce^{j\omega t}=\frac {I(t)}{j\omega C}\ </math>
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complessa <math>Z\ </math> detta impedenza che vale per <math>R\ </math>:
{{Equazione|eq=<math>\mathbf Z_R=R\ </math>|id=5}}
Per una induttanza:
{{Equazione|eq=<math>\mathbf Z_L=j\omega L\ </math>|id=6}}
Per una capacità:
{{Equazione|eq=<math>\mathbf Z_C=\frac 1{j\omega C}=-\frac j{\omega C}\ </math>|id=7}}
Si ha una legge formalmente simile per i tre elementi circuitali
passivi:
{{Equazione|eq=<math>\mathbf V(t)=\mathbf I(t)\mathbf Z\ </math>|id=8}}
Si dimostra facilmente, generalizzando quanto visto per le
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impedenze dei singoli componenti:
{{Equazione|eq=<math>\mathbf Z_s=\sum_{i=1}^
Mentre se si hanno <math>n\ </math> elementi in parallelo, si comportano come se
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impedenze di ogni singolo elemento:
{{Equazione|eq=<math>1/\mathbf Z_p=\sum_{i=1}^n 1/\mathbf Z_i\ </math>|id=10}}
In generale quindi la <math>\mathbf Z\ </math> equivalente di un circuito si compone di
una parte reale (indicata spesso con <math>R\ </math> ) ed una parte immaginaria detta reattanza indicata con <math>X\ </math>:
{{Equazione|eq=<math>\mathbf Z=R+jX\ </math>|id=11}}
Riepilogando quanto detto sinora un generatore di f.e.m. alternata:
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e
{{Equazione|eq=<math>\varphi =-arctg \frac {Z_{imm}}{Z_{reale}}\ </math>|id=12}}
Notare come anche:
{{Equazione|eq=<math>Z_{reale}=|Z|\cos \varphi\ </math>|id=
Esempi dell'uso del metodo simbolico sono al esempio il caso [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Correnti_alternate/Circuito_RC_in_corrente_alternata|un circuito RC]] ed [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Correnti_alternate/Circuito_RL_in_corrente_alternata|un circuito RL]].
▲{{Equazione|eq=<math>Z_{imm}=-|Z|\sin \varphi\ </math>|id=3}}
==La potenza assorbita==
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fornita dal generatore vale:
{{Equazione|eq=<math>P_m=\frac {I_oV_o }2\cos \varphi=V_{eff}I_{eff}\cos \varphi\ </math>|id=
I contatori di energia elettrica tengono conto della potenza media
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norma aggiustare le carico in maniera da rendere <math>\varphi\ </math> prossimo
a <math>0\ </math>.
Un esempio su [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Correnti_alternate/Motore_in_corrente_alternata|motore alimentato in corrente alternata]] chiarisce l'importanza di tale trattazione.
==La risonanza==
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Notiamo che dal punto delle equazione differenziale di partenza
abbia notevoli analogie con l'equazione di un [[w:Oscillatore_armonico|oscillatore armonico]]
forzato. Infatti la sua equazione caratteristica é:
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Diviene:
{{Equazione|eq=<math>L\frac {d^2Q}{dt^2}+R\frac {dQ}{dt}+\frac QC=V_o\cos (\omega t)\ </math>|id=16}}
La cui omogenea non differisce algebricamente dall'equazione
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<math>m\frac {d^2x}{dt^2}+\lambda \frac {dx}{dt}+kx=0\ </math>
Infatti analogamente si definisce:
{{Equazione|eq=<math>\omega_o=\frac 1{\sqrt{LC}}\ </math>|id=17}}
Se l'analizziamo dal punto di vista del metodo simbolico:
<math>\mathbf Z=R+j\omega L-\frac j{\omega C}\ </math>
Quindi usando lo stesso metodo visto per i circuiti precedenti
Line 331 ⟶ 334:
{{Equazione|eq=<math>I_o=\frac {V_o}{\sqrt{R^2+\left( \omega L-\frac 1{\omega
C}\right)^2}}\ </math>|id=
Che è chiaramente una funzione con un massimo pronunciato alla
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Lo sfasamento tra corrente e tensione vale:
{{Equazione|eq=<math>\varphi=-arctan \frac {\left( \omega L-\frac 1{\omega C}\right)}R\ </math>|id=19}}
Tale funzione é nulla alla frequenza di risonanza e varia da
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{{Equazione|eq=<math>Q=\frac {\omega_o}{\omega_+-\omega_-}=\frac {\omega_o}{\Delta
\omega}\ </math>|id=
Dove <math>\omega_+\ </math> ed <math>\omega_-\ </math> sono le due pulsazioni per cui <math>I\ </math> si
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e quindi:
{{Equazione|eq=<math>Q=\frac {\omega_o L}R=R\sqrt {\frac CL}=\frac 1{\omega_oC R}\ </math>|id=21}}
Nel caso del circuito risonante parallelo cioè nel circuito
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di risonanza della tensione vale, con ragionamenti analoghi:
{{Equazione|eq=<math>Q=R_p\omega_o C\ </math>|id=22}}
Cioè il fattore di merito é tanto più alto quanto più basse
sono le perdite ai capi del sistema in parallelo.
Qualche esercizio [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Correnti_alternate/Circuito_RCL_in_corrente_alternata|classico serie]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Correnti_alternate/Circuito_risonante_con_2_R|classico parallelo]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Correnti_alternate/Circuito_risonante_con_2_C| circuito con due condensatori]],
==Il trasformatore==
[[Image:Trasformatore_con_carico.png|thumb|right|300px|Schema di principio]]
Nella forma più semplice il trasformatore in c.a. consiste di due bobine avvolte attorno ad un circuito magnetico (di permabilità magnetica <math>\mu_r\ </math>, lunghezza <math>l\ </math> e sezione <math>S\ </math>). Una delle bobine detta ''primario'' è connessa ad un generatore di f.e.m. alternata. Il circuito magnetico fa sì che non vi sia flusso magnetico disperso (nella pratica il flusso disperso è realmente trascurabile. L'altra bobina viene chiamata ''secondario''.
L'induttanza del primario dette, <math>N_1\ </math> le sue spire vale:
<math>L_1=\frac {\mu_o \mu_r N_1^2S}l\ </math>
L'induttanza del secondario dette, <math>N_2\ </math> le sue spire vale:
<math>L_2=\frac {\mu_o \mu_r N_2^2S}l\ </math>
La loro mutua induzione vale:
<math>M=\frac {\mu_o \mu_r N_1N_2S}l\ </math>
Nella forma più semplice il primario è connesso al generatore attraverso una resistenza <math>R_1\ </math>, mentre il secondario viene chiuso attraverso una resistenza <math>R_2\ </math>.
L'equazioni, con il metodo simbolico che descrivono il precedente circuito sono:
{{Equazione|eq=<math>\mathbf V_{in}=R_1\mathbf I_1+L_1\frac {d\ \mathbf I_1}{dt}-M\frac {d\ \mathbf I_2}{dt}\ </math>|id=23}}
{{Equazione|eq=<math>0=R_2\mathbf I_2+L_2\frac {d\ \mathbf I_2}{dt}-M\frac {d\ \mathbf I_1}{dt}\ </math>|id=24}}
dette <math>\mathbf I_1\ </math> ed <math>\mathbf I_2\ </math> le correnti che scorrono nei due circuiti.
[[Image:Soes18p16.PNG|300px|thumb|right|schema equivalente della figura precedente]]
E' facile mostrare come il circuito equivalente, mostrato a fianco sia descritto dalla stessa equazione.
Un caso particolare importante è quando la resistenza del primario sia trascurabile, rispetto alla
sua induttanza <math>R_1\ll \omega L_1</math>, mentre la resistenza del secondario <math>R_2\ </math> è grande in maniera che sia trascurabile la corrente <math>I_2\ll \omega I_1</math>.
In questo caso:
<math>\mathbf V_{in}\approx L_1\frac {d\ \mathbf I_1}{dt}\ </math>
<math>0\approx R_2\mathbf I_2-M\frac {d\ \mathbf I_1}{dt}\ </math>
Definendo <math>\mathbf V_{out}=R_2\mathbf I_2\ </math> si ha che:
<math>\mathbf V_{out}=M\frac {d\ \mathbf I_1}{dt}=\frac M{L_1}\mathbf V_{in}=\frac {N_2}{N_1}\mathbf V_{in}\ </math>
cioè il rapporto tra la tensione in uscita e quella in entrata è pari al rapporto tra il numero di spire del secondario e del primario. Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Correnti_alternate/Trasformatore_con_carico|esercizio su un trasformatore reale]] chiarisce invece gli aspetti in un caso più generale.
[[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell| Argomento seguente: Equazioni di Maxwell]]
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