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Trigonometria: differenze tra le versioni

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{| style="margin:0 auto;" align=center width="600" class="toccolours"
=Misura di un Angolo=
|align=center style="background:#ccccff" colspan=2| Indice del libro: '''Trigonometria'''
==Gradi Sessagesimali==
|-
==Gradi Centesimali==
|- align=left valign=top
|0 Introduzione: gli angoli e la loro misura
| 
|- align=left valign=top
|1 [[{{PAGENAME}}/Funzioni goniometriche|Funzioni goniometriche]]
|1.1 Seno
 
1.2 Coseno
==Radianti==
 
1.3 Tangente e cotangente
 
1.4 Le funzioni inverse
 
1.5 Archi associati
 
1.6 Relazioni trigonometriche fondamentali
 
|- align=left valign=top
|2 [[{{PAGENAME}}/Formule goniometriche|Formule goniometriche]]
|2.1 Formule di addizione e sottrazione
 
2.2 Formule di duplicazione
 
2.3 Formule di bisezione
 
2.4 Formule di Werner e di Prostaferesi
 
|- align=left valign=top
|3 [[{{PAGENAME}}/Triangoli|Triangoli]]
|3.1 Teoremi sui triangoli rettangoli
3.2 Teoremi sui triangoli qualunque
 
|- align=left valign=top
|4 [[{{PAGENAME}}/Applicazioni|Applicazioni]]
|4.1 Equazioni goniometriche
4.2 Disequazioni goniometriche
| 
|}
 
 
 
 
 
== Gli angoli e la loro misura ==
 
Per [[w:angolo|angolo]] si intende la porzione di piano compreso tra due semirette avente l'origine in comune.
 
Tali semirette prendono il nome di '''lati dell'angolo''', mentre l'origine prende il nome di '''vertice dell'angolo'''.
 
La misura di un angolo è effettuata utilizzando due diverse unità di misura:
 
===Misure in gradi===
Si considera come unità di misura 1/90 dell'angolo retto: in questo modo ogni angolo può essere espresso come frazione dell'angolo retto, che misura, appunto, 90 gradi (in simboli: 90°)
Non vengono utilizzati però centesimi e decimi di grado, bensì si fa uso di multipli non decimali, che prendono il nome di '''sessagesimali'''.
In questo modo, otteniamo il '''primo''' (pari a 1/60 di grado) e il '''secondo'''(pari ad 1/3600 di grado). Ad esempio, consideriamo l'angolo corrispondente alla 20 parte dell'angolo retto:
 
90÷20=4.5°
 
4.5 gradi = 4 gradi, 0.5×60 primi = 4°30'
 
 
===Misure in radianti===
Consideriamo una circonferenza con centro nell'origine.
 
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Si dice che un angolo ha la misura di un radiante se l'arco sotteso da tale angolo, rettificato, ha lunghezza pari al raggio.
 
Per misura di un angolo in radianti possiamo quindi misurare il rapporto fra l'arco sotteso rettificato e il raggio della circonferenza.
 
Essendo la misura dell'intera circonferenza pari a 2πr, ne segue che la misura dell'angolo giro, in radianti, sarà proprio 2π.
 
Ad esempio, l'angolo retto, pari ad <math>\frac{1}{4}</math> dell'angolo giro, misurerà: π/2 radianti.
 
===Trasformazione della misura dell'angolo===
 
EssendoPartendo ladalla misuraconstatazione dellche l'intera circonferenza = 2 pimisura r2πr, possiamo impostare la seguente proporzione per trasformare un angolo da gradi sessagesimali in radianti o viceversa:
 
<center>rad : 2 pi2π = deg : 360°</center>
 
=Funzioni Goniometriche=
Si consideri una circonferenza di raggio r, il cui centro coincide con l'origine di un sistema di assi cartesiani.
Tracciamo quindi una semiretta arbitraria, la cui unica caratteristica è che il suo punto di inizio coincide con il punto di centro della circonferenza precedentemente definita.
La semiretta incontra (interseca) la circonferenza in un punto P di coordinate generiche (x,y).
Tale semiretta va anche a definire un angolo a, definito dalla semiretta in questione e dalla semiretta che nel sistema di assi cartesiani rappresenta l'asse positivo dell'ascisse considerando lo spazio descritto dall' asse positivo delle ascisse che in senso antiorario va a raggiungere la semiretta da noi tracciata.
Possiamo quindi definire le tre funzioni seno, coseno e tangente nel seguente modo:
sen a= y/r, cos a= x/r e tg a= sen a/cos a
dove x e y rappresentano le coordinate del punto P, precedentemente tracciato ed r è il raggio della circonferenza.
Nella circonferenza gonometrica il raggio è uguale a 1.
OSSERVAZIONE: Le funzioni fanno si che per ogni angolo è definito un valore seno, coseno e tangente.
Tale funzioni non sono però biiettive.
Le funzioni goniometriche sono funzioni reali di una variabile reale, quindi sono definite in un sottoinsieme reale, per tale osservazione gli angoli devono essere misurati in radianti.
 
Facciamo un esempio.
===Seno===
===Dominio===
===Periodo===
===Studio===
===Grafico===
==Coseno==
===Dominio===
===Periodo===
===Studio===
===Grafico===
==Tangente==
===Dominio===
===Periodo===
===Studio===
===Grafico===
==Cotangente==
===Dominio===
===Periodo===
===Studio===
===Grafico===
==Funzioni Inverse==
===Arcoseno===
 
Consideriamo l'angolo pari a 22.5°. Avremo:
===Arcocoseno===
===Arcotangente===
 
22.5:360°=rad:2π
===Arcocotangente===
==Altre funzioni collegate o simili==
===Seno Iperbolico===
===Coseno Iperbolico===
===Tangente Iperbolica===
===Inverse===
 
Da cui:
=Relazioni Goniometriche=
==Relazioni Fondamentale==
==Definizione di Tangente e Cotangente==
 
rad=π/8
=Trigonometria=
==Notazioni==
==Relazioni==
===Primo Teorema===
===Secondo Teorema===
===Terzo Teorema===
==Teoremi==
===Teorema del Seno===
===Teorema del Coseno o di Carnot===
 
L'angolo pari a 22.5° misura π/8 radianti.
=Equazioni e Disequazioni=
==Equazioni==
==Disequazioni==
 
 
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