Differenze tra le versioni di "Fisica classica/Potenziale elettrico"

aggiuta conservatività del campo elettrostatico
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(aggiuta conservatività del campo elettrostatico)
{{Equazione|eq=<math>U=\int_0^R \frac {\rho^2 4\pi r^4 dr}{3 \epsilon_o}
=\frac {\rho^2 4\pi R^5}{15 \epsilon_o}=\frac {3Q^2}{20\pi \epsilon_o R} \ </math>|id=3}}
==Conservatività del campo elettrostatico==
A causa della conservatività del campo elettrostatico abbiamo che <math>\int_a^b \vec E\cdot d\vec l\ </math> è indipendente dal percorso che seguiamo per andare da <math>a \ </math> a
<math>b \ </math>. Se in particolare <math>a \ </math> coincide con <math>b \ </math>, cioè il cammino è una linea chiusa si ha che:
 
<math>\oint_l \vec E\cdot d\vec l=0\ </math>
 
Cioè la circuitazione del campo elettrostatico lungo una linea chiusa è identicamente nullo.
Tale proprietà è una proprietà integrale cioè riguarda una porzione macroscopica in cui tale campo
è definito, ma vale qualunque sia la linea chiusa che noi consideriamo.
 
Il prodotto vettoriale di <math>\vec \nabla\ </math> con il generico vettore
<math>\vec A\ </math> viene chiamato rotore:
 
<math>rot \vec A=\vec \nabla \times \vec A=\left ( \begin{matrix}
\vec i&\vec j&\vec k\\
\frac {\partial}{\partial x}& \frac {\partial}{\partial y}& \frac {\partial}{\partial z}\\
A_x&A_y&A_z
\end{matrix} \right) =\left( \frac {\partial A_z}{\partial y}-\frac {\partial A_y}{\partial z} \right) \vec i
+\left( \frac {\partial A_x}{\partial z}-\frac {\partial A_z}{\partial x}\right) \vec j
+\left( \frac {\partial A_y}{\partial x}-\frac {\partial
A_x}{\partial y}\right) \vec k</math>
 
Il rotore di un campo vettoriale dà una misura dei vortici presenti nel campo stesso. Se abbiamo un corpo rigido che ruota con velocità angolare costante <math>\omega\ </math> attorno ad un asse, il rotore del campo delle velocità istantanee è un vettore diretto lungo l'asse di rotazione con
intensità <math>2\omega\ </math>. Mentre se lo stesso oggetto si muove di moto traslatorio il vettore del campo vettoriale velocità è nullo,
 
Si dimostra analiticamente, [[w:Teorema_di_Stokes|Teorema di Stokes]] che la circuitazione di un generico vettore <math>\vec A\ </math> attraverso una linea chiusa <math>L\ </math> che delimita una superficie aperta <math>S\ </math> vale esattamente:
 
<math>
\oint \vec A\cdot \vec {dl}=\int_Srot \vec A\cdot \vec {ds}
\ </math>
 
Questa equazione permette di trasformare un integrale di linea in
uno di superficie.
 
Nel caso specifico della circuitazione del campo Elettrostatico:
 
<math>\oint_l \vec E\cdot d\vec l=\int_S\vec \nabla \times \vec E=0\ </math>
 
Dove <math>S\ </math> è una qualsiasi superfice aperta che ha come contorno la linea <math>l\ </math>.
 
Ma poichè l'ultima identità vale qualsiasi sia la superfice <math>S\ </math>, per verificare tale
condizione occorre che l'integrando sia identicamente nullo:
 
<math>\vec \nabla \times \vec E=0\ </math>
 
Questa è la relazione locale del campo elettrostatico.
 
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