Algebra lineare e geometria analitica/Dimostrazioni: differenze tra le versioni

Un altro procedimento molto usato per dimostrare una proposizione fa uso del ''principio di induzione'' (completa o trascendete).<br>

Il principio di induzione completa può essere espresso in più forme, ora useremo questa: intanto, consideriamo un predicato (cioè, una proposizione contenente una variabile, la cui verità è legata al valore assunto dalla variabile) <math>\mathcal{P}(m)</math>, con <math>m</math> che varia in <math>\mathbb{N}</math>, allora vale che "''se <math>\mathcal{P}(0)</math> è vera ('''passo base'''), e se, per ogni <math>n\in\mathbb{N}</math>, assunta vera <math>\mathcal{P}(n)</math> (ipotesi induttiva) allora è vera anche <math>\mathcal{P}(n+1)</math> ('''passo induttivo'''), allora <math>\mathcal{P}(m)</math> è vera per ogni intero naturale <math>n</math>''". Praticamente, il fatto che <math>\mathcal{P}(0)</math> sia vera insieme al fatto che <math>\forall n\in\mathbb{N},\mathcal{P}(n)\rightarrow\mathcal{P}(n+1)</math> ci assicura che anche <math>\mathcal{P}(1)</math> sia vera (basta prendere <math>n=0</math>), quindi con lo stesso ragionamente anche <math>\mathcal{P}(2)</math> sarà vera, quindi <math>\mathcal{P}(3)</math>, eccetera, arrivando a dimostrare che il predicato è vero per ogni valore della variabile. Ovviamente, entrambi i passi vanno dimostrati: esistono predicati induttivi (cioè, per cui è verificato il passo induttivo) che non sono però vere, o lo sono solo definitivamente (nel senso, si prova il passo base per un valore <math>m>0</math>: in questo caso, il predicato sarà vero per ogni <math>n\geq m</math>).<br>

 

===Principio dei Cassetti===