Algebra lineare e geometria analitica/Dimostrazioni: differenze tra le versioni

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La Matematica, quindi, tende a costruire delle Teorie, cioè insieme di teoremi e proprietà, partendo da determinati Postulati e Assiomi, assunte indipendentemente da tutto veri. Dimostrare un teorema vuol dire dimostrare la verità di determinate affermazioni utilizzando solo le regole logiche definite, e gli assiomi e le ipotesi di partenza, facendo eventualmente uso di teoremi precedentemente dimostrati.<br><br>
Non è possibile, ovviamente, definire tecniche di dimostrazione universalmente valide. Valgono però determinate osservazioni che possono aiutare nella soluzione di un problema o nella dimostrazione di un teorema.
==Euristica==
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==Tecniche di Dimostrazione==
===Dimostrazione per Assurdo===
La ''dimostrazione per assurdo'' è una tecnica che si basa sull'equivalenza logica delle due forme <math>(p\rightarrow q)\Lefrightarrow(\neg q\rightarrow \neq p)</math>: in pratica, per dimostrare che se <math>p</math> è vera allora è vera anche <math>q</math>, dimostro che se <math>q</math> è falsa è falsa anche <math>p</math> (questa equivalenza logica si dimostra facendo uso della definizione di "<math>\rightarrow</math>" in funzione dei connettivi logici elementari, e dimostrando (per esempio tramite le tavole di verità) che le due forme sono equivalenti (cioè, se è vero che <math>p\rightarrow q</math> allora è vero che <math>\neg q\rightarrow\neg p</math>, e se è falso che <math>p\rightarrow q</math> allora è falso che <math>\neg q\rightarrow\neg p</math>).<br>
Un esempio potrebbe essere dimostrare che <math>\sqrt{2}</math> è irrazionale. Supponiamo, ''per assurdo'', che sia razionale, allora esistono <math>m</math> e <math>n</math> interi coprimi, tali che <math>\sqrt{2}={m\over n}</math> (il fatto che siano coprimi deriva dalla possibilità di scrivere ogni frazione "in forma ridotta"); eleviamo al quadrato: otteniamo che <math>2={m^2/over n^2}</math>, ovvero che <math>m^2=2\cdot n^2</math>; ma allora <math>m^2</math> è pari, e anche <math>m</math> sarà pari (se il quadrato di un numero è pari, anche il numero di cui è quadrato è pari: ogni quadrato contiene, nella sua fattorizzazione, ogni esponente pari); quindi possiamo scrivere <math>m=2h</math> e, sostituendo a <math>m^2</math> il termine <math>(2h)^2=4h^2</math> otteniamo che <math>4h^2=2n^2</math> ovvero che <math>n^2=2h^2</math> (siamo nel campo <math>\mathbb{Q}</math>, quindi possiamo dividere entrambi i membri per <math>2</math>). Ma da questo otteniamo che anche <math>n^2</math> è pari, e quindi anche </math>n</math> è pari, ma allora <math>m</math> e <math>n</math> non sono coprimi come avevamo ipotizzato, e quindi <math>\sqrt{2}</math> è irrazionale (non potendosi scrivere come <math>{m\over n}</math> per opportuni <math>m,n\in\mathbb{Z}</math> coprimi).<br>
===Induzione===
Un altro procedimento molto usato per dimostrare una proposizione fa uso del ''principio di induzione'' (completa o trascendete).<br>
Il principio di induzione completa può essere espresso in più forme, ora useremo questa: intanto, consideriamo un predicato (cioè, una proposizione contenente una variabile, la cui verità è legata al valore assunto dalla variabile) <math>\mathcal{P}(m)</math>, con <math>m</math> che varia in <math>\mathbb{N}</math>, allora vale che "''se <math>\mathcal{P}(0)</math> è vera ('''passo base'''), e se, per ogni <math>n\in\mathbb{N}</math>, assunta vera <math>\mathcal{P}(n)</math> (ipotesi induttiva) allora è vera anche <math>\mathcal{P}(n+1)</math> ('''passo induttivo'''), allora <math>\mathcal{P}(m)</math> è vera per ogni intero naturale <math>n</math>''". Praticamente, il fatto che <math>\mathcal{P}(0)</math> sia vera insieme al fatto che <math>\forall n\in\mathbb{N},\mathcal{P}(n)\rightarrow\mathcal{P}(n+1)</math> ci assicura che anche <math>\mathcal{P}(1)</math> sia vera (basta prendere <math>n=0</math>), quindi con lo stesso ragionamente anche <math>\mathcal{P}(2)</math> sarà vera, quindi <math>\mathcal{P}(3)</math>, eccetera, arrivando a dimostrare che il predicato è vero per ogni valore della variabile. Ovviamente, entrambi i passi vanno dimostrati: esistono predicati induttivi (cioè, per cui è verificato il passo induttivo) che non sono però vere, o lo sono solo definitivamente (nel senso, si prova il passo base per un valore <math>m>0</math>: in questo caso, il predicato sarà vero per ogni <math>n\geq m</math>).<br>
Un esempio classico è la dimostrazione che <math>\forall n\in\mathbb{N},\:\mathcal{S}(n)=\sum_{i=1}^{n}=1+2+\cdots+n=\frac{n\cdot(n-1)}{2}</math> (ovvero, che la serie aritmetica di ragione <math>1</math> converge a <math>\frac{n\cdot(n-1)}{2}</math>). Iniziamo a dimostrare la '''base''': <math>\mathcal{S}(1)
 
===Principio dei Cassetti===
 
 
[[en:Proofs:Algebra]]</math>