Algebra lineare e geometria analitica/Dimostrazioni: differenze tra le versioni
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In Matematica, una dimostrazione consiste nell'assumere determinate proposizioni (ipotesi) e nell'eseguire operazioni logiche su di esse fino ad arrivare a verificare che la verità di altre proposizioni (tesi) è legata alla verità delle ipotesi. In pratica, se si assumono <math>p_1,p_2,\ldots,p_n</math> (con <math>n\in\mathbb{N}</math>) vere per ipotesi e si vuole dimostrare che anche <math>q_1,q_2,\ldots,q_m</math> (con <math>m\in\mathbb{N}</math>) sono vere; allora, basta manipolare le proposizioni <math>p_i</math> con operazioni logiche fino a giungere alle <math>q_i</math>.<br>
Ovviamente, la verità della tesi è legata alla verità delle ipotesi: se in un altro contesto si verificasse che le ipotesi non sono verificate, allora neanche la tesi sarebbe verificata. Un esempio piuttosto importante si riferisce al [[Quinto Postulato]] di [[Euclide]]: esso afferma che, data una retta e un punto esterno ad essa, esiste una e una sola retta passante per il punto e parallela alla retta data (la forma originale era un po' diversa, ma in sostanza questa forma è equivalente a quella). Euclide denominò questa proposizione ''postulato'' non tanto per la sua banalità (la definizione di postulato sarà data nel seguito), ma perché gli risultò impossibile (e risultò impossibile anche ai suoi successori) dimostrarne la verità partendo dai precedenti postulati assunti: in pratica, pur mettendoci tutta la sua buona volontà, Euclide non riuscì a dimostrare la verità di questa affermazione, che però non sembrava essere contraddetta nella realtà, perciò, in buona fede, decidette di darla per buona e di inserirla tra i postulati. Da questo quinto postulato deriva, per esempio, l'affermazione che la somma degli angoli interni di un triangolo vale <math>180^\circ</math> (basta considerare uno dei tre angoli esterni, dividerlo secondo le parallele ai lati e mostrare l'equivalenza tra gli angoli ottenuti e gli angoli interni, sfruttando appunto il Quinto Postulato). Consideriamo ora una sfera: sulla sfera, la ''retta'' (per definizione) è una circonferenza massima: questa è l'idea che permette di definire le rotte degli aerei. In questo modo, si osserva, abbastanza intuitivamente, che non è verificato il Quinto Postulato (date due rette distinte, esse si incontreranno in un punto (vale la pena di osservare che per ''punto'' su una sfera si intende una coppia di punti)); quindi quanto affermato sulla somma degli angoli interni di un triangolo non sarà necessariamente vero (dimostrando l'equivalenza tra ipotesi e tesi, potremmo dimostrare che effettivamente è falso): infatti, un triangolo sarà costituito da lati "curvi" (le virgolette stanno ad indicare che il termine "curvi" va inteso solo in senso intuitivo, per raffigurarsi mentalmente il triangolo; in realtà, i lati saranno, come segmenti, parte di rette, e l'idea di "dritto" o "curvo" non è stata definita), e, come si può verificare, la somma degli angoli interni sarà maggiore di <math>180^\circ</math>. Una cosa analogo si potrebbe fare con un iperboloide, e in questo caso otterremmo sia che non vale il Quinto Postulato (in questo caso però esso viene negato nell'unicità della parallela: nel senso che data una retta e un punto esterno ad essa, esistono (almeno) due rette passanti per il punto e parallele alla retta iniziale (l'"almeno" si riferisce alla diversità di definizione di ''parallele'')), sia che la somma degli angoli interni è minore di <math>180^\circ</math>. Praticamente, si sono costruite in questo modo due nuove geometrie, semplicemente sostituendo al Quinto Postulato di Euclide altre proposizioni: a seconda di quale delle tre forme si assume vera (ovviamente, ci saranno contesti in cui è preferibile assumere vera una di esse, e contesti in cui è preferibile usarne un'altra), si ottengono teoremi completamente diversi.<br>
In definitiva, la Matematica appare proprio in questo una scienza astratta, che non definisce nè studia la realtà (questo lo farà la Fisica), ma costruisce dei modelli.<br>
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La Matematica, quindi, tende a costruire delle Teorie, cioè insieme di teoremi e proprietà, partendo da determinati Postulati e Assiomi, assunte indipendentemente da tutto veri. Dimostrare un teorema vuol dire dimostrare la verità di determinate affermazioni utilizzando solo le regole logiche definite, e gli assiomi e le ipotesi di partenza, facendo eventualmente uso di teoremi precedentemente dimostrati.<br><br>
Non è possibile, ovviamente, definire tecniche di dimostrazione universalmente valide.
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