Analisi matematica/Equazioni riducibili lineari: differenze tra le versioni
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<math>\ Esempio </math>
<math>\ 1)\quad Si\ risolva\ l'equazione\ di\ Lagrange:</math>
::::::<math>\ y=xy^{'2}+y^'</math>
Derivando e ponendo poi <math>\ y^'=t</math> si ha l'equazione lineare nell'incognita x:
{{Avanzamento|25%|19 luglio 2010}}▼
:::::<math>\ {dx\over dt}+{2x\over t-1}=-{t\over t(t-1)}</math>
Procedendo ora come è stato indicato nelle '''Equazioni lineari''' si trova
:::::<math>\ x={-t+log\ t+C_1\over (t-1)^2}</math>
Quindi l'integrale generale dell'equazione data in forma parametrica è:
::::<math>\ {-t+log\ t+C_1\over (t-1)^2}\qquad y={t[t\ log\ t+(C_1-2)t+1]\over (t-1)^2}</math>
<math>\ 2)\quad Si\ risolva\ l'equazione\ di\ Clairaut:</math>
::::::<math>\ y=xy^{'}+y^{'2}.</math>
:Derivando e ponendo <math>\ y^'=t</math> si trova:
::::<math>\ {dt\over dx}(x+2t)=0.</math>
L'equazione: <math>\ {dt\over dx}=0</math> fornisce l'integrale generale, poichè: <math>\ t=C,\quad y^'=C,\quad
y=Cx+C_1</math> che confrontata con la data diventa: <math>\ y=Cx+C^2.</math>
L'altra equazione: <math>\ x+2t=0</math> da l'integrale singolore che è: <math>\ y^'=-{x\over 2}</math> da cui <math>\ y=
-{x^2\over 4},</math> equazione che si può pure ottenere come curva inviluppo dcella famiglia costituita dall'integrale
generale.
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