Analisi matematica/Equazioni riducibili lineari

Equazioni riducibili lineari

$\ a)\qquad Equazione\ di\ Bernoulli:$

Forma tipica:$\ -\qquad {dy \over dx}+a(x)y=b(x)y^{n}.$

Si pone : $\ z=y^{1-n},$ onde $\ z'=(1-n)y{-n}y'$ e ponendo in questa l'espressione di y' si

ha l'equazione:

$\ {1 \over 1-n}{dz \over dx}+az=b,$ che è lineare in z.

$\ Esempio\qquad {dy \over dx}+{2 \over x}y={y^{3} \over x^{3}}$

Si pone: $\ z=y^{-2},\quad z'=-2y^{-3}y'$ e l'equazione diventa:

$\ {dz \over dx}={4 \over x}-{2 \over x^{3}},$

che risolta da: $\ z={1 \over 3x^{2}}+Cx^{4}\qquad ovvero:{1 \over y^{2}}={1 \over x^{2}}+Cx^{4}.$