Differenze tra le versioni di "Analisi matematica I/Insiemi"

nessun oggetto della modifica
==Definizione==
Una locuzione molto importante è quella di '''[[w:insieme|insieme]]''', ovverosia un sinonimo di classe, aggregato, famiglia, totalità, ecc.
Col termine insieme si denota un ente matematico costituito da una pluralità di oggetti.
Un insieme è costituito da ''elementi'', che si dicono ''appartenere'' ad esso. Gli insiemi si chiamano con le lettere dell'alfabeto.
==Tipi di Insiemi==
 
Esistono inoltre insiemi costituiti da un solo elemento, i singleton ed insiemi privi di elementi, gli insiemi vuoti.
*Diremo che un insieme A è '''finito''' se esiste un numero ''n'' appartenente ai [[w:numero|numeri naturali]] tale che ad A appartengono esattamente ''n'' elementi; per contro diremo che ad A è '''infinito''' se, qualunque sia il numero naturale ''n'', all'insieme appartengono più di ''n'' elementi.
Essi si indicano rispettivamente con i simboli [a,b,c,…], {c}, ø.
 
Consideriamo due insiemi, A e B.
;Esempi:Un esempio di insieme finito è: <math>A=\left\{1,0,5,2,3\right\}</math>. Il numero di elementi che compongono insieme A è 5, pertanto possiamo asserire che esso è finito.
Se ogni elemento di B appartiene anche ad A, possiamo allora scrivere:
:Se invece prendiamo in esame l'insieme P:={l'insieme dei numeri pari}, in questo caso ci troviamo di fronte ad un insieme '''infinito'''.
Β ⊆ Α oppure A ⊇ B
 
Si dice allora che l’insieme B è contenuto in A oppure che A contiene l’insieme B, oppure ancora che B è un sottoinsieme di A.
 
Si chiama intersezione di A e B e si denota con A ∩ B l’insieme costituito dagli oggetti che appartengono simultaneamente ad entrambi gli insiemi.
==Nomenclatura==
Si chiama unione di A e B l’insieme costituito dagli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A e B.
*Se A è un insieme, ed x appartiene a questo insieme scriveremo:
Si definisce inoltre completamento di B rispetto ad A, l’insieme A \ B costituito dagli oggetti che appartengono ad A ma non a B.
::<math>x \in A</math><br></br>
{{avanzamento|50%|15/07/2010}}
:che si legge: ''x appartiene ad A'' oppure ''x appartenente ad A''
 
*Se, invece, x non appartiene all'insieme A scriveremo:
::<math>x \notin A</math>
:Che si legge: ''x non appartiene ad A'' oppure ''x non appartenente ad A''
 
*Dati gli insiemi A e B, diciamo che A è '''contenuto''' o '''incluso''' in B, o che B '''contiene''' o '''include''' A, quando ogni elemento di A è anche elemento di B, e useremo la notazione:
::<math>A \subseteq B</math> oppure <math>B \supseteq A</math>
:in tal caso diremo che A è un '''sottoinsieme''' o una '''parte''' di B.
 
'''Osservazione''':Fra i sottoinsiemi di B c'è ovviamente anche l'insieme B stesso.
 
*Per dire che A è un sottonsieme di B distinto da B, diciamo è A è un '''sottonsieme proprio''' o '''parte propria'''; in questo caso esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A. Lo scriveremo così allora:
::<math>A \subset B</math> oppure <math>B \supset A</math>
:e si dice che A è '''strettamente''' contenuto in B.
:Ovviamente, se <math>A \supseteq B</math> e <math>B \supseteq A</math>, gli insiemi A e B saranno coincidente, e dunque:
::<math>A = B\!</math>
 
 
*Per denotare gli elementi a di un insieme A che hanno una certa proprietà <math>\mathcal{P}</math>, scriveremo:
::<math>\left \{ a \in A : \mathcal{P} \right \}</math>
:la proprietà <math>\mathcal{P}</math> è solitamente espressa da una proposizione, da una diseguaglianza, ecc., in armonia con la natura degli elementi che compongono l'insieme A.
 
;Esempio:Se A è l'insieme costituito da tutte le rette del piano, e se r è una retta del piano, il sottoinsieme B di A formato da rette parallele a r si scrive:
::<math>\{ a \in A :</math>''a parallela ad r <math>\}\!</math>
:che si legge: l'insieme degli elementi appartenenti ad A tali che a è parallela ad r.
:Talvolta possiamo rappresentare un insieme indicandone tutti gli elementi. Ad esempio l'insieme costituito da ''a, b, c, ...'' si scrive:
::<math>\{ a,b,c,... \}\! </math>
:In particolare, il simbolo <math>\{ a \}\!</math> mostra l'insieme costituito solo dall'elemento a.
 
==Insieme vuoto==
Stando al significato di "insieme", non dovrebbe esistere un insieme in cui non sia presente nessun elemento. Quindi, ci è spesso più comodo indicare l''''insieme vuoto''', cioè quell'insieme che non contiene nessun elemento. È un simbolo puramente convenzionale e si indica con il simbolo <math>\empty</math>
 
Ad esempio, dati 3 punti di una circonferenza distinti a, b, c, per esprimere che non esiste nessuna retta del piano che passi per a, per b e per c contemporaneramente, possiamo dire che l'insieme delle rette passanti per a, b, c è vuoto.
 
Ancora un altro esempio. Abbiamo l'insieme B={a, b, c} e l'insieme A={a, b, c} e vogliamo trovare la loro ''differenza'', avremo:
<math>B-A=\empty</math> ma si può scrivere anche <math> \overline{A} = \empty </math>
inoltre A e <math> \overline{A}</math> sono fra loro complementari in B.
E quindi possiamo dedurre le seguenti proprietà:
 
 
#<math>A\cup\overline{A} = B</math>
#<math>A \cap \overline{A}=\empty</math>
#<math>\overline{B} = \empty</math>
#<math>\overline{\empty} = B</math>
#<math>\overline{\overline{A}} = A</math>
 
 
==Leggi di De Morgan==
Se prendiamo due insiemi qualsiasi allora valgono le seguenti uguaglianze:
#<math>\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}</math>
#<math>\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}</math>
 
 
==Operazioni con gli insiemi==
*Si chiama '''intersezione''' di due insiemi A e B, l'insieme formato dagli elementi comuni ad A e B e si scrive:
::<math>A\cap B </math>
:che si legge A ''intersezione'' B, oppure A ''intersecato'' B.
 
*Si chiama '''unione''' di due insiemi A e B, l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A, B e si scrive:
::<math>A \cup B</math>, che si legge: ''A unione B''
 
Similmente, dati ''n'' insiemi <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, ... <math>A_n</math>, si definiscono l'intersezione e l'unione di essi, che si scrivono rispettivamente:
:<math>A_1 \cap A_2 \cap \dots\cap A_n</math> e <math>A_1 \cup A_2 \cup \dots\cup A_n</math>
oppure nella forma contratta:
:<math>\bigcap_{k=1}^n A_k</math> e <math>\bigcup_{k=1}^n A_k</math>
 
che leggeremo ''intersezione di <math>A_k</math> per k da 1 ad n'', e ''unione di <math>A_k</math> per k da 1 ad n''.
Da precisare che la <math>k</math> è un paramentro che viene utilizzato convenzionalmente per indicare
:<math>A_1 \cup A_2 \cup \dots A_n</math>.
 
Ovviamente, il concetto di intersezione e di unione si estende ad una moltitudine di insiemi. Ad esempio, se ''I'' è un insieme infinito, e se per ogni <math>k \in I</math> vi sia un insieme <math>A_k</math>, scriveremo intersezione e unione:
 
:<math>\bigcap_{k \in I} A_k</math> e <math>\bigcup_{k \in I} A_k</math>
 
*Se <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, ... sono sottinsiemi non vuoti dell'insieme A, a 2 a 2 disgiunti e aventi per unione proprio l'insieme A, diremo che <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, ... sono una '''partizione''' di A.
 
*Si chiama '''differenza''' di 2 insiemi A e B, o '''complemento''' di B '''rispetto ad''' A, l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B, e lo scriveremo:
::<math>A\setminus B</math>
 
Questa definizione non presuppone che <math>B \supseteq A</math>, in quanto:
:<math>A\setminus B = A\setminus (A\cap B)</math>
;Esempio:Se <math>A = \{ 1, 3, 8, 9 \}\!</math> e <math>B = \{ 1, 5, 8\}\!</math>
avremo:
:<math>A \cap B = \{ 1, 8 \}\quad A \cup B = \{ 1, 3, 5, 8, 9 \}</math>
:<math>A\setminus B = \{ 3, 9 \}\quad B\setminus A = \{ 5 \}</math>
 
*Dati due insiemi A e B, non vuoti, si chiama prodotto cartesiano di A per B, l'insieme che ha per elementi tutte le coppie ordinate (a, b) con <math>a \in A</math> e <math>b \in B</math>
:L'insieme si scrive:
::<math>A \times B</math>
:e si leggerà: '''prodotto cartesiano di''' A '''per''' B oppure A '''per''' B, oppure A '''cartesiano''' B.
:L'elemento ''a'' si chiama '''prima cordinata (o componente)''', mentre ''b'' si chiama '''seconda coordinata (o componente)'''.
 
;Osservazioni:Si noti che il prodotto cartesiano di due insiemi non vuoti e distinti non gode della proprietà commutativa. Il prodotto cartesiano di un insieme per l'insieme vuoto è l'insieme vuoto. Inoltre, se <math>A \ne B</math>, gli insiemi <math>A \times B</math> e <math>B \times A</math> non coincidono.
 
*Il prodotto cartesiano <math>A \times A</math>, si può scrivere come <math>A^2\!</math>.
 
;Esempio:se <math>A = \{ 1, 2 \}\!</math> e <math>B = \{ a, b, c \}\!</math> facendo il prodotto cartesiano <math>A \times B</math>, avremo le coppie ordinate:
::<math>(1, a)\!</math>, <math>(1, b)\!</math>, <math>(1, c)\!</math>, <math>(2, a)\!</math>, <math>(2, b)\!</math>, <math>(2, c)\!</math>, <math>(3, a)\!</math>, <math>(3, b)\!</math>, <math>(3, c)\!</math>.
 
*Parlando in generale, chiameremo '''prodotto cartesiano''' di ''n'' insiemi non vuoti <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, ... <math>A_n (n \ge 2)</math>, e lo scriveremo:
::<math>A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n\!</math>
:mentre l'insieme i cui elemnti sono le ''n-ple'' ordinate:
::<math>(a_1, a_2,\dots,a_n)\!</math>
 
con <math>a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \dots a_n \in A_n</math>.
 
Gli elementi <math>a_1, a_2, \dots, a_n</math> si chiamano rispettivamente '''prima, seconda, ..., n-esima cordinata (o componente)'''.
Il prodotto cartesiano di n insiemi tutti uguali ad A si indica come <math>A^n\!</math>. A tale simbolo si dà significato anche per <math>n = 1</math>, convenendo di porre <math>A^1 = A\!</math>
==Numeri naturali==
Tutti noi usiamo quotidianamente i numeri naturali, quindi sembrerebbe superfluo un approfondimento sull'argomento. Ma nella seconda metà dell'800, nel quadro di un generale ripensamento sui fondamenti della Matematica, si è cercato di isolare un ''insieme minimo'' di proprietà atte a descrivere l'insieme dei numeri naturali e dedurre poi per via logica (da questo insieme minimo) tutte le altre proprietà dei numeri naturali, che fino a quel momento erano state date come evidenti, ovvie, ma mai dimostrate.
 
Questo insieme minimo di proprietà, che in gergo tecnico si chiamano '''assiomi''', costituisce una descrizione completa dell'insieme dei numeri naturali. Il sistema comunemente accettato è il [[w:Assiomi_di_Peano|sistema degli assiomi di Peano]], dal nome del matematico torinese vissuto a fine '800.
 
In breve, gli assiomi di Peano fanno ricorso a due concetti primitivi, cioè non riconducibili a concetti precedenti: il concetto di '''zero''' e il concetto di '''successivo'''.
 
Il primo assioma dice che '''zero''' è un numero naturale, cioè che '''0<math>\in N</math>''' (esiste un numero 0 che appartiene a '''N''').
 
 
[[Categoria:Analisi matematica|Insiemi]]
{{Avanzamento|75%|15/07/2010}}
36

contributi