Buchi neri e Universo/2. Le unità di Planck: differenze tra le versioni

 

Come si possono calcolare queste unità fondamentali? Il metodo comunemente insegnato agli studenti, che consiste nel combinare opportunamente ''h'', ''c'' e ''G'' per ottenere delle grandezze aventi rispettivamente la dimensione di un tempo, una lunghezza, una massa ecc., rischia di farle apparire come un costrutto artificiale, privo di vero significato fisico; sembra dunque più opportuno ricavarle mediante un esperimento concettuale (''Gedanken experiment''). Nel modello atomico di Bohr l’elettrone è rappresentato da un’onda stazionaria circolare la cui energia <math>Mc^{2}</math> è uguale a <math>n{hc}/{2\pi R}</math>, dove n è il numero di lunghezze d’onda contenute nell’orbita elettronica e R il raggio di essa; ponendo <math>n = 1</math> e <math>R={2GM}/{c^{2}}</math> si ottengono la massa, l’energia, il tempo e la lunghezza di Planck (che è il raggio di Schwarzschild dell’Universo a <math>t_{P}</math>):

 

<math>M_{P}=\sqrt{\frac{\hbar c}{2G}}\simeq 1,5\times 10^{-8} \text{ Kg }(\hbar ={h}/{2\pi})</math>(2.1)

 

<math>t_{P}=\frac{\hbar }{E_{P}}=\sqrt{\frac{2\hbar G}{c^{5}}}\simeq 7,6\times 10^{-44} \text{ s}</math>(2.3)

 

<math>L_{P}=\frac{2GM_{P}}{c^{2}}=\sqrt{\frac{2\hbar G}{c^{3}}}=ct_{P}\simeq 2,3\times 10^{-35} \text{ m} </math>(2.4)