Analisi matematica/Equazioni differenziali di primo ordine: differenze tra le versioni
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:::::<math>\ A(x,y)dx+B(x,y)dy=0</math>
''Soluzione'': Si considera <math>
:::::<math>\ u(x,y)=\int_{x_0}^{x}A(x,y)\,dx+\varphi(y),</math>
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:::<math>\ u(x,y)=\int_{x_0}^{x}A(x,y)\,dx+\int_{y_0}^{y}B(y_0,y)\,dy=C</math>
''Esempi''
::::<math>\ (x+y)dx+(x+sin[y])dy=0</math>
L'erquazione è esatta, perchè:<math>\ {\partial (x+y)\over \partial y}={\partial (x+sin[y])\over \partial x}
=1</math>
Si ha quindi:
:::<math>\ u(x,y)=\int_{x_0}^{x}(x+y)\,dx+\varphi (y)={x^2\over 2}+xy-({{x_0}^2\over 2}+x_0 y )+\varphi (y)</math>
con la condizione: <math>\ {\partial u\over\partial y}=\int_{x_0}^{x}{\partial (x+sin[x])\over \partial x}
\,dx+\varphi'(y)</math>
con la condizione: <math>\ {\partial u\over\partial y}=\int_{x_0}^{x}{\partial (x+sin[x])\over \partial x}
\,dx+\varphi'(y)</math>
da cui si trae: <math>\varphi'(y)=X_0+\sin[y],</math>
ovvero integrando: \<math>\ \varphi (y)=x_0y-\cos[y]-(x_0y_0-\cos[y_0])</math>.
Sostituendo in <math>\ (1)</math> si trovas infine:
::::<math>\ u(x,y)={x^2\over 2}+xy-\cos[y]-({x_0^2\over 2}+x_0y_0-\cos[y_0]),</math>
onde l'intergale generale dell'equazione è:
::::::<math>\ {x^2\over 2}+xy-\cos[y]-({x_0^2\over 2}+x_0y_0-\cos[y_0])= C.</math>
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