Micro e nanotecnologia/Microtecnologia/Processi successivi/Ossidazione: differenze tra le versioni
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[[Categoria:Micro e nanotecnologia|Ossidazione]]
{{Avanzamento|75%|14 marzo 2009}}
=MODELLO DI GROVE=
Il modello Deal Grove descrive la crescita di uno strato di ossido sulla superficie di un materiale. In particolare analizzeremo la crescita di <math>SiO_2\ </math> su uno strato di Silicio
[[Image:Modello_Deal_Grove.jpg|center|thumb|350px|Modello di Grove]]
Applicando una certa quantità di gas reagente, sullo strato di silicio crescerà un film d’ossido.
<math>F_1</math> indica la diffusione delle specie ossidanti attraverso l’ossido di silicio, mentre <math>F_2</math> rappresenta il consumo di specie ossidante all’interfaccia <math>SiO_2/Si\ </math>
<math>F_1</math> e <math>F_2</math> sono dunque flussi, ovvero il numero di molecole che attraversano un’area unitaria nell’unità di tempo:
{{Equazione|eq=<math>\left[\frac {{n \ molecole}}A \frac 1t\right]</math>}}
Definiamo inoltre:
Co: concentrazione specie ossidanti in fase solida alla superficie dell’<math>SiO_2\ </math>
Cs: concentrazione specie ossidanti in fase solida all’interfaccia <math>SiO_2/Si\ </math>
Ovviamente la concentrazione iniziale Co sarà maggiore rispetto alla concentrazione finale Cs poiché le molecole vengono utilizzate nelle reazioni.
Il flusso <math> F_1</math> si può esprimere nel seguente modo:
{{Equazione|eq=<math>F_1=D\frac{{\partial C}}{{\partial x}}\approx \frac{{D(C_o - C_s)}}{{X_{{ox}}}}</math>}}
ove D è il coefficiente di diffusione nell’ossido e Xox è lo spessore dell’ossido accresciuto.Tale reazione prende il nome di legge di FICK.
Analogamente per il flusso <math>F_2</math> possiamo scrivere:
{{Equazione|eq=<math>F_2=KC_s \ </math>|id=1}}
ove K prende il nome di velocità di reazione superficiale e essendo una velocità si esprime di conseguenza in <math>\frac ms</math>.
In condizioni stazionarie i due flussi devono essere uguagliati:
{{Equazione|eq=<math>F_1=F_2=F \ </math>|id=2}}
Quindi:
{{Equazione|eq=<math>\frac{{D(C_o - C_s)}}{{X_{{ox}}}}=KC_s</math>}}
ricordando le relazioni 1 e 2 e sostituendo otteniamo:
{{Equazione|eq=<math>F=\frac{{DC_o}}{{X_{{ox}}+\frac DK}}</math>}}
Sia C1 il numero di molecole della specie ossidante incorporate nell’ossido per unità di volume, il TASSO DI CRESCITA DELLO SPESSORE DELLO STRATO DI OSSIDO sarà:
{{Equazione|eq=<math>\frac{{\partial X_{{ox}}}}{{\partial t}}=\frac FC_1=\frac{{\frac{{DC_o}}{{C_1}}}}{{X_{{ox}}+ \frac DK}}</math>}}
moltiplicando e integrando:
{{Equazione|eq=<math>\int_0^{X_{ox}}\left( X_{ox}+\frac DK\right) dx=\int_o^t\frac {DC_o}{C_1}dt\ </math>}}
si noti che il primo estremo di integrazione del secondo integrale assume che al tempo t=o, lo spessore dell’ossido è nullo ma ciò non è vero in quanto bisogna considerare l’ossido nativo il cui spessore si aggira intorno ai 20 Amstrong
(Ossido nativo: a contatto con ambiente ossidante la superficie del semiconduttore si ossida).
Bisogna quindi considerare un istante precedente ove lo spessore dell’ <math> SiO_2 \ </math> era nullo:
{{Equazione|eq=<math>\int_0^{X_{ox}}\left( X_{ox}+\frac DK\right) dx=\int_{{-\tau}}^t\frac {DC_o}{C_1}dt\ </math>}}
Risolvendo:
{{Equazione|eq=<math>{{X_{{ox}}}}^2 + 2\frac DK X_{{ox}}= 2\frac {{DC_o}}{{C_1}}(t+\tau)</math>}}
Quindi:
{{Equazione|eq=<math>X_{ox}=\frac DK \left[ \sqrt{1+\frac {2C_oK^2(t+\tau)}{DC_1}}-1\right]</math>}}
La soluzione per piccoli valori di t è:
{{Equazione|eq=<math>X_{{ox}}=\frac{{C_oK}}{{C_1}}(t+\tau)=\frac BA(t+\tau)</math>|id=3}}
Mentre per valori elevati di t è:
{{Equazione|eq=<math>X_ox=\sqrt{{\frac{{2DC_o}}{{C_1}}(t+\tau)}}=\sqrt{{B(t+\tau)}}</math>|id=4}}
ove {{Equazione|eq=<math>A=2\frac DK \ </math >}} {{Equazione|eq=<math> B=2\frac{{DC_o}}{{C_1}}</math>}}
Dalle relazioni 3 e 4 notiamo che nei primi istanti della reazione lo spessore d’ossido cresce in maniera lineare con il tempo, mentre per tempi elevati si ha una dipendenza parabolica quindi la velocità di crescita non è più costante ma tende a diminuire con lo scorrere del tempo.
[[Image:Cinetica_di_ossidazione_breve.jpg|left|thumb|300px|Cinetica di ossidazione breve]][[Image:Cinetica_di_ossidazione_lunga.jpg|center|thumb|300px|Cinetica di ossidazione lunga]]
[[Image:Crescita_dell'_ossido.jpg|left|thumb|300px|Crescita dell'ossido]]
Si può dire dunque, che per tempi brevi la crescita è limitata dalla reazione superficiale mentre per tempi lunghi la crescita è limitata dalla diffusione attraverso l’<math>SiO_2\ </math>
Il coefficiente di crescita <math>\frac BA \ </math> varia in funzione della temperatura ed è chiamato coefficiente di crescita lineare; in particolare, varia secondo la legge:
{{Equazione|eq=<math>exp\left(-\frac{{E_a}}{{KT}}\right)</math>}}
Si noti che esso cresce al crescere della temperatura ovvero dell’energia fornita alla reazione.
[[Image:Coefficente_di_crescita_lineare.jpg|thumb|300px|Coefficiente di crescita lineare]]
Dal grafico notiamo una differenza tra dry e steam; quest’ultima a parità di temperatura ha valori <math>\frac BA \ </math> molto più grandi, quindi è molto più veloce!
Il coefficiente di crescita lineare, inoltre, è legato alla velocità con cui gli atomi di <math> Si \ </math> vengono incorporati nella struttura dell’ossido. Questa velocità dipende dalla densità superficiale di atomi di <math> Si \ </math> ed è funzione perciò dall’orientazione. Poiché la densità di atomi di <math> Si \ </math> è maggiore nel piano (111) rispetto al piano (100), anche il coefficiente di crescita sarà maggiore nel piano (111).
Anche il coefficiente di crescita parabolico varia con la temperatura con la stessa legge:
{{Equazione|eq=<math>exp\left(-\frac{{E_a}}{{KT}}\right)</math>}}
[[Image:Grafico_coefficente_parabolico.jpg|thumb|300px|Coefficiente di crescita parabolico]]
e pure in questo caso l’ossidazione steam ha velocità molto maggiore rispetto a quella dry; ciò è dovuto al fatto che la molecola di <math> H_2O \ </math> anche se è maggiore in dimensione della molecola di <math> O_2 \ </math> (usata in dry) è presente all’interno della camera di processo nella sua forma ionica: <math> H+ \ </math> e <math> OH- \ </math> è proprio la minor dimensione di quest’ultima a spiegare la sua maggiore diffusività nell’ossido di silicio e quindi la maggior velocità dell’ossidazione steam.
Il coefficiente di crescita parabolico, a differenza di quello lineare, è indipendente dall’orientazione del cristallo, poiché è legato ad un processo di diffusione della specie ossidante attraverso uno strato amorfo!
OSSIDI SOTTILI
Il modello Deal Grove non funziona per ossidi molto sottili (<20mm). La crescita di questi ossidi è infatti regolata da una relazione parabolica; questo poiché nello strato iniziale della crescita per via secca vi è una forte sollecitazione di compressione dello strato d’ossido. Ciò riduce il coefficiente di diffusione dell’ossigeno nell’ossido perciò per ossidi sottili il valore <math>\frac DK \ </math> può essere sufficientemente piccolo da rendere trascurabile il termine <math> A \ </math> nell’equazione. Pertanto si ottiene una crescita iniziale di tipo parabolico.
Le relazioni che regolano la crescita di un ossido sottile sono:
{{Equazione|eq=<math>{{X_{{ox}}}}^2=2\frac{{DC_o}}{{C_1}}(t+\tau)=Bt+{{d_o}}^2</math>}}
ove {{Equazione|eq=<math>d_o=\sqrt{{\frac{{2DC_o\tau}}{{C_1}}}}</math>}}
Di conseguenza:
{{Equazione|eq=<math>{{X_{{ox}}}}^2-{{d_o}}^2= Bt</math>}}
Otteniamo quindi una crescita parabolica!
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