Analisi matematica/Problemi fondamentali: differenze tra le versioni

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(Nuova pagina: ==Problemi fondamentali== <math>\ a)</math> Data una equazione differenziale ad es. ordinaria, ''risolverla'' significa trovare la famiglia di funzioni: :::::::<math>\ y=f(x,c_1,c_2...)
 
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Le costanti <math>\ c_1, c_2...c_n</math> sono tante quanto è l'ordine dell'equazione; esse si possono determinare imponendo '''n''' condizioni iniziali alle <math>\ y, y',...y^{n-1}</math>. Se l'equazione differenziale è in forma ''normale'' cioè nella forma <math>\ y^{(n)}=F(x,y,y',...y^{(n-1)})</math>, si dimostra che se <math>\ F</math> è continua con le sue derivate parziali prime in un intorno di <math>\ x=x_0</math>, in tale intorno esiste una sola soluzione soddisfacente alle condizioni iniziali.
 
'''Esempio''':
 
Sia data l'equazione <math>\ {y'\over y}=k</math>,essa può scriversi: <math>\ {dlgx\over dx}=k</math>, da cui si trae: <math>\ lgy= kx+c,</math> ovvero: <math>\ y= C e^{kx},</math> avendo posto: <math>\
 
e^c=C</math>.
 
La famiglia di curve rapprentante l' ''integrale generale'' è dunque: <math>\ y=C e^{kx}</math>.
 
Se si vuole la curva della famiglia che passa per il punto <math>\ (0,1)</math> basta determinare <math>\ C</math> con
 
l'eqazione:
 
::::::<math>\ 1=C e^0, \qquad da\ cui: C=1</math>
 
e quindi: <math>\ y=e^{kx}</math> è un integrale ''particolare''.