Analisi matematica/Problemi fondamentali

Problemi fondamentali

$\ a)$

Data una equazione differenziale ad es. ordinaria, risolverla significa trovare la famiglia di funzioni:

$\ y=f(x,c_{1},c_{2}....c_{n})\qquad (1)$

che la soddisfano identicamente.

La soluzione $\ (1)$ si dice integrale generale, se invece si danno alle costanti $\ c_{1},c_{2}...c_{n}$ dei valori particolari si ottiene un integrale particolare, si dice infine integrale singolare una funzione $\ y=\phi (x)$ non deducibile dalla $\ (1)$ e che sia soluzione dell'equazione data; se la famiglia $\ (1)$ ammette un inviluppo, la funzione corrispondente è un integrale singolare dell'equazione data.

Le costanti $\ c_{1},c_{2}...c_{n}$ sono tante quanto è l'ordine dell'equazione; esse si possono determinare imponendo n condizioni iniziali alle $\ y,y',...y^{n-1}$. Se l'equazione differenziale è in forma normale cioè nella forma $\ y^{(n)}=F(x,y,y',...y^{(n-1)})$, si dimostra che se $\ F$ è continua con le sue derivate parziali prime in un intorno di $\ x=x_{0}$, in tale intorno esiste una sola soluzione soddisfacente alle condizioni iniziali.