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Elementi di Euclide/Libro I-Teoremi 9-16: differenze tra le versioni

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Li duoi angoli constituidi de ogni linea retta, che stia sopra a una linea retta, ouero che sono retti, ouero che son equali a duoi angoli retti.
 
[vedi figura 025r.png] Sia che la linea .a.b. stia sopra alla linea .c.d. dico che li duoi angoli constituidi dalla detta linea .a.b. con la linea .c.d. ouer che sono ambiduoi retti. ouer che son equali a duoi angoli retti, liquali angoli l'uno è l'angolo .a.b.d. & l'altro è l'angolo .a.b.c. & per dimostrar questo arguirò in questo modo. Ouer che la linea .a.b. serà perpendicolare sopra la .c.d. ouer non: se la serà perpendicolare sopra la detta linea .c.d. constituerà duoi angoli equali è retti: per lo conuerso modo della ottaua diffinitione, che è il primo propofito. Ma se la non serà perpendicolare, ma che quella sia declinante sopra quella, poniamo uerso .d. all'hora la detta linea .a.b. constituerà duoi angoli, l'uno di quali serà acuto, cioè l'angolo .a.b.d. et l'altro serà ottuso cioè l'angolo .a.b.c. hor dico che questi duoi angoli insieme sono equali a duoi angoli retti, & per dimostar questo, dal ponto .b. conduro la perpendicolare .b.e. per l'undecima propositione, sopra la linea .c.d. dellaquale li duoi angoli .e.b.c. & .e.b.d. sono retti, per lo conuerso modo della ottaua diffinitione, adonque perche li duoi angoli .d.b.a. et .a.b.e. se equaliano all'angolo .d.b.e. ilqual è retto, giontoli anchora l'angolo .c.b.e. che è retto, tutti tre seranno equali a duoi angoli retti, perche li duoi, cioe .d.b.a. et .a.b.e. sono equali all'angolo .d.b.e. che è retto: il terzo,cioe l'angolo .e.b.c. da se è retto, però tutti tre sono equali a duoi retti, ma l'angolo .a.b.c. ottuso è equale a duoi di quelli tre angoli, cioe all'angolo .c.b.e. che è retto etiam l'angolo .e.b.a. adonque li duoi angoli .a.b.c. & .a.b.d. sono equali a duoi angoli retti, che è il proposito. Et nota che per questa propositione si manifesta che tutto il spacio che circonda un ponto, in qual si uoglia superficie piana, sempre quello serà equale a quattro angoli retti.
 
Hp: CD è un segmento da cui parte una semiretta.
 
Th: Questo segmento, nella sua intersezione con la semiretta, o forma due angoli retti, oppure forma due angoli la quale somma è uguale a quella di due angoli retti (angolo piatto).
 
 
Dimostrazione:
 
COSTRUZIONE:
 
1.Disegna una semiretta AB che parte da un punto interno di una semiretta CD, che forma gli angoli CBA e ABD.
 
2.Disegna una semiretta BE dal punto B che forma due angoli retti CBE e EBD.
 
OSSERVAZIONI:
 
3.Dal momento che l'angolo CBE è uguale alla somma dei due angoli CBA e EBA, aggiungi l'angolo DBE ad ognuno. Alla fine noteremo che la somma degli angoli DBE e EBC sarà uguale alla somma dei tre angoli CBA, EBA e DBE (per l'assioma 3)
 
4.Allo stesso modo, l'angolo DBA è uguale alla somma dei due angoli DBE e EBA. Aggiungi l'angolo ABC ad ognuno. Noterai che la somma degli angoli DBA e ABC sarà uguale alla somma dei tre angoli DBE, EBA e CBA (per l'assioma 3)
 
5.Ma la somma degli angoli CBE e EBD è uguale alla somma degli altri tre(CBE-EBA-ABD), perciò per la proprietà transitiva, CBE e EBD sono ugali agli angoli DBA e ABC; e siccome CBE e EBD formano un angolo piatto, anche DBA e ABC formeranno un uguale angolo piatto.
 
 
PERCIO' se una linea retta interseca un'altra linea retta, si formeranno o due angoli retti o angoli la cui somma è uguale a un angolo piatto.
 
 
CVD!!
 
[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI13.html Per un'immagine interattiva]
 
== Teorema 14==
 
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