Fisica classica/Conduttori: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Errore di sintassi |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 1:
[[Fisica_classica/Potenziale elettrico| Argomento precedente: Potenziale elettrico]]
Tutta la trattazione finora eseguita escludeva la presenza di materia. L'aria con buona approssimazione è equiparabile al vuoto per quanto riguarda l'elettrostatica, quindi la trattazione fatta finora si applica bene a un mezzo a cui siamo abituati. La materia modifica sostanzialmente il comportamento dei campi elettrici, esiste una quantità che definiremo nel seguito detta [[w:Resistivit%C3%A0_elettrica|resistività elettrica]] che varia di oltre 20 ordini di grandezza andando da un conduttore ideale (i metalli in generale) ad un isolante ideale (che chiameremo anche dielettrico). Qui limitiamo la nostra trattazione ad un conduttore. Ovviamente, come spesso avviene in natura, la distinzione tra i conduttori e gli isolanti non è così netta: un caso tipico è l'acqua che nella forma naturale è un discreto conduttore, ma una volta privata dei sali in essa disciolti e quindi deionizzata rappresenta un buon isolante. Ma sicuramente i metalli, le leghe sono tutti dei conduttori per cui valgono le leggi che stiamo per descrivere.
Si definisce conduttore un corpo entro
Nella situazione di equilibrio in un conduttore, le cariche si dispongono sulla superficie, sia
=== Campo elettrico all'interno e sulla
Il campo elettrico all'interno di un conduttore
Notiamo inoltre che il campo elettrico nelle immediate vicinanze di un conduttore deve essere perpendicolare alla superficie. Non vi possono essere componenti tangenziali. Se vi fossero tali componenti, allora gli elettroni si muoverebbero lungo la superficie del conduttore violando ancora la condizione di staticità. Come conseguenza, un conduttore continuo rappresenta un volume equipotenziale ed, in particolare, è equipotenziale la sua superficie.
=== Teorema di Coulomb ===
Line 29 ⟶ 16:
Tale teorema derivabile dalla legge di Gauss mette in relazione il campo elettrico nelle immediate vicinanze di un conduttore con la densità di carica superficiale <math>\sigma\ </math>.
Consideriamo un conduttore, come nella figura a fianco, ed un cilindro retto di base infinitesima <math>S_B\ </math>, parallela alla superficie del conduttore e di
<math>E_nS_B=\frac {\sigma S_B}{\epsilon_0}\ </math>
Line 39 ⟶ 24:
<math>E_n=\frac {\sigma }{\epsilon_0}\ </math>
Il numero delle cariche libere in un conduttore è estremamente elevato, in genere maggiore di <math>10^{28}\ m^{-3}</math> in un comune conduttore. Questo fa si che uno spostamento di pochi fm delle cariche positive, rispetto alle cariche negative, riesce
Un [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Spessore_strato_carico_in_un_conduttore|esempio]] chiarisce come in realtà, essendo molto elevata la densità volumetrica degli elettroni liberi in un metallo conduttore, lo spostamento di tale nuvola è di uno spessore inferiore alle dimensioni del nucleo.
=== Induzione elettrica ===
A causa del fatto che in un conduttore, in condizioni elettrostatiche, il campo elettrico nel suo interno sia nullo e che esistono cariche elettriche positive
La neutralità del conduttore e la conservazione della carica rendono necessario il fatto che una carica eguale a quella esterna, che ha indotto la ridistribuzione delle cariche, si distribuisca sulla superficie lontana dal corpo inducente. Tale carica sarà esattamente eguale alla carica indotta sulla superficie vicina. Il fenomeno dell'induzione elettrostatica è tanto più forte quanto i conduttori sono vicini ad oggetti carichi. Ad esempio, se ho una sfera conduttrice carica positivamente lontana da altri oggetti carichi, la carica si distribuirà uniformemente sulla sua superficie, mentre invece se tale sfera si trova nelle vicinanze di un oggetto carico negativamente, la carica positiva si addenserà maggiormente nelle vicinanze dell'oggetto carico. Il caso opposto si avrà in corrispondenza di un oggetto carico dello stesso segno.
Nella maggior parte dei casi, la determinazione della densità di carica indotta in un conduttore è un problema di difficile soluzione analitica. Esiste un metodo di calcolo detto [[w:metodo della carica immagine|metodo della carica immagine]] che spesso è utilizzato per risolvere problemi di questo tipo.
=== Effetto punta ===
L'effetto è un fenomeno che si osserva nei conduttori carichi e consiste nella formazione di un campo elettrico più intenso in prossimità delle zone in cui la superficie del conduttore presenta un [[w:raggio di curvatura|raggio di curvatura]] minore. Quindi le punte sono sede di campi elettrici elevati. A causa di tale effetto i fulmini colpiscono in maniera preferenziale le zone appuntite come gli alberi, le punte aguzze delle montagne e le guglie.
Per mettere in evidenza tale effetto consideriamo due sfere conduttrici di raggio <math>R_1\ </math> ed <math>R_2\ </math>; immaginiamo che il raggio della prima sia minore della seconda: <math>R_1<R_2\ </math>. Se le due sfere sono connesse elettricamente, esse costituiscono un unico conduttore, per semplificare la trattazione immaginiamo che siano abbastanza distanti da potere trascurare i fenomeni di induzione (in realtà tale ipotesi non è necessaria, ma solo utile per semplificare il ragionamento). Se poniamo una carica <math>Q\ </math> su tale sistema tale carica si distribuirà (<math>Q_1\ </math> sulla prima e <math>Q_2\ </math> sulla seconda) con:
<math>Q_1+Q_2=Q\ </math>
Trascurando la carica sul circuito che interconnette le sfere. Ma inoltre le sfere debbono avere lo stesso potenziale cioè:
<math>\frac {Q_1}{4\pi\varepsilon_o R_1}=\frac {Q_2}{4\pi\varepsilon_o R_2}\ </math>
Line 79 ⟶ 62:
=== Il campo all'interno di un conduttore cavo ===
[[Immagine:Emptycavity.png|400px|right]]
Consideriamo un conduttore cavo, come nella figura, con ad esempio una carica positiva sulla superficie esterna come mostrato nella figura a fianco. Tale carica si dispone sulla superficie esterna addensandosi maggiormente nelle zone con minore raggio di curvatura. Preoccupiamoci della superficie interna. Vogliamo mostrare che, se la cavità è vuota (non vi sono cariche), sulla superficie interna non vi possono essere cariche.
Si dimostra con un ragionamento per assurdo. Immaginiamo che una zona carica (A) ed una zona carica (B) (con carica eguale ed opposta) siano su due posizioni della superficie interna. Il fatto che debbano necessariamente essere eguali ed opposte, deriva dalla conservazione della carica. Il teorema di Gauss applicato ad una superficie interna al conduttore che comprenda la cavità non esclude tale eventualità, infatti il flusso del campo elettrico sarebbe nullo se esistessero due zone cariche. Ma consideriamo l'integrale di linea lungo la linea indicata in figura:
<math>\oint_L \vec E\cdot \vec {dl}\ </math>
Tale linea è in buona parte all'interno del conduttore dove l'integrale è
il calcolo di tale integrale nella cavità, dal punto A al punto B, dove sono presenti cariche eguali ed opposte,
necessariamente tale integrale sarebbe non nullo. Infatti stiamo muovendoci da una zona con una carica A ad una zona B carica di segno opposto (sappiamo che le linee del campo partono dalle cariche positive e vanno a finire su quelle negative). Si avrebbe quindi la contraddizione che l'integrale attraverso una linea chiusa del campo elettrostatico sarebbe diverso da zero. Ma questo contrasta con la conservatività del campo elettrostatico. Quindi l'ipotesi che si possano generare cariche eguali e di segno opposto sulla superficie interna porta ad una conseguenza assurda che si può escludere.
Bisogna puntualizzare che l'ipotesi iniziale è che la cavità sia vuota, cioè priva di qualsiasi carica libera. La cosa cambia se delle cariche sono piazzate in qualche posizione fissa all'interno della cavità, o sopra un isolante o un conduttore isolato dal conduttore principale, in tal caso ci può essere un campo elettrico all'interno della cavità. Notiamo che in questo caso sulla superficie interna del conduttore si accumulerà una carica eguale a quella all'interno della cavità. Ed una carica eguale a quella all'interno della cavità apparirà sulla superficie esterna. Ma anche in questo caso le cariche esterne o i campi esterni non riescono in nessuna maniera ad influenzare le cariche all'interno della cavità.
Notiamo che ben prima di dimostrare la cosa con un ragionamento logico, [[w:Michael_Faraday|M. Faraday]]
aveva condotto degli esperimenti su conduttori cavi e
==Condensatori==
[[Immagine:CONDGEN.png|300px|right]]
La figura mostra un condensatore, cioè un oggetto formato da due conduttori isolati <math>a\ </math> e <math>b\ </math> di forma arbitraria (dette ''armature'' del condensatore). Supponiamo che sulle due armature vengano disposte cariche eguali ed opposte <math>+Q\ </math> e <math>-Q\ </math>. Nel caso più semplice i conduttori sono immersi nel vuoto.
Chiamiamo <math>V\ </math> la d.d.p. tra i due conduttori. A causa del principio di sovrapposizione degli
effetti, se moltiplichiamo per <math>n\ </math> la carica di ciascuno dei conduttori, anche la d.d.p. aumenterà
della stessa quantità.
Questo vuol dire che una volta fissate le condizioni geometriche del sistema, la d.d.p. è direttamente proporzionale alla carica (in valore assoluto) sulle due armature. Quindi possiamo definire la costante di proporzionalità tra carica e d.d.p. come <math>C\ </math> che è detta '''capacità''' del condensatore:
<math>C=\frac QV\ </math>
La capacità di un condensatore dipende dalla forma e dalla posizione relativa dei conduttori e non dal materiale di cui sono costituiti i conduttori stessi.
Nel sistema SI le dimensioni fisiche della capacità sono <math>[Carica]/[d.d.p]\ </math> e quindi l'unità di misura della capacità elettrica è il <math>C/V\ </math> che viene chiamato <math>Farad</math> (simbolo '''F'''). Una capacità di un <math>F\ </math> è di difficile realizzazione pratica, per cui in pratica si usano spesso i
sottomultipli di tale quantità elementare: <math>pF\ </math>, <math>nF\ </math>, <math>\mu F\ </math>
e <math>mF\ </math>. I condensatori rappresentano un elemento circuitale fondamentale per immagazzinare cariche elettriche e sono presenti in un numero enorme di applicazioni pratiche.
I condensatori usati nella pratica presentano il fenomeno dell'induzione completa tra le armature, presupporremo sempre nel seguito che tale condizione sia verificata. Cioè le due armature sono tali che l'unico campo elettrico, generato nel porre la carica positiva su una armatura e la negativa sull'altra, è compreso solo nello spazio tra le due armature. Tale condizione si verifica quando le due armature sono, o molto vicine, o sono un conduttore cavo chiuso con all'interno un alto conduttore o un conduttore isolato con l'altra armatura all'infinito. Per quanto riguarda quest'ultimo caso il concetto di capacità si può estendere ad un conduttore isolato, che venga caricato con una carica <math>Q\ </math> e il potenziale che assume sia calcolato rispetto all'infinito.
Ad esempio se si pone una carica <math>Q\ </math> su una sfera conduttrice di raggio <math>R\ </math>
Line 177 ⟶ 108:
[[Immagine:CONDPIA.png|300px|right]]
Un conduttore isolato ha una capacità elettrica estremamente piccola, come si evince dalla formula precedente. Se ad esempio <math>R\ </math> è il raggio della Terra, <math>6350\ km</math>, risulta <math>C\ </math> di appena <math>706\ \mu F</math>.
La figura a fianco mostra il più elementare dei condensatori(anche il più usato), il condensatore ''piano''. In questo caso le armature sono due superfici piane parallele di area <math>S\ </math> separate da una distanza <math>d</math> (piccola rispetto alle dimensioni laterali delle armature).
Se poniamo una carica <math>+Q\ </math> sull'armatura superiore e <math>-Q\ </math> su quella inferiore, a causa dell'induzione elettrostatica completa (in quanto <math>d\ </math> è piccola), le cariche si disporranno con buona
approssimazione uniformemente sulla sola parte interna delle armature. Per cui il campo esterno è praticamente nullo, mentre quello interno è uniforme e diretto come indicato in figura, esso vale in modulo:
<math>|E|=\frac {\sigma}{\varepsilon_o}=\frac {Q}{S\varepsilon_o}\ </math>
Quindi la d.d.p. tra le armature vale semplicemente (considerando un cammino che vada da una armatura all'altra):
Line 215 ⟶ 130:
===Condensatori in parallelo===
[[Immagine:CONDPA.png|300px|right]]
La figura seguente mostra <math>n\ </math> condensatori in parallelo. Calcoliamo la capacità ''equivalente''.
Equivalente significa che possiamo a tutti gli effetti sostituire agli <math>n\ </math> condensatori un condensatore
<math>C_e\ </math> indistinguibile ai fini delle proprietà elettriche degli <math>n\ </math> condensatori. La differenza di potenziale ai capi di ciascun condensatore sarà la stessa <math>V\ </math> (in quanto le varie armature costituiscono un unico conduttore semplicemente connesso), come mostrato in figura, mentre le cariche sulle armature dei singoli condensatori saranno dipendenti dalla capacità del condensatore stesso:
<math>Q_i=C_iV\qquad con\ i=1,n</math>
La carica totale del sistema vale: <math>Q=\sum_{i=1}^nQ_i=V\sum_{i=1}^nC_i=VC_e\ </math>
quindi, per <math>n\ </math> condensatori in parallelo:
Line 237 ⟶ 145:
===Condensatori in serie===
[[Immagine:CONDSE.png|300px|right]]
La figura mostra <math>n\ </math> condensatori posti in serie. Calcoliamo la capacità equivalente di tale sistema.
Immaginando di avere posto una carica <math>+Q\ </math> e <math>-Q\ </math> sulle armature estreme dei condensatori. A causa dell'induzione elettrostatica sulle armature opposte di ogni condensatore si deve formare una carica eguale e contraria.
Ma poiché la carica totale nel contatto tra la II armatura del condensatore 1 e la I del condensatore 2 deve essere nulla (in caso contrario si violerebbe il principio di conservazione della carica) sulla I armatura del condensatore 2 si deve avere una carica <math>+Q\ </math> e di seguito nella stessa maniera per i vari elementi della serie. In questo caso la stessa carica (in modulo) si ha su tutte le armature dei condensatori, mentre la d.d.p. ai capi dei singoli condensatori è diversa:
<math>V_i=\frac Q{C_i}\qquad con\ i=1,n\ </math>
Line 262 ⟶ 161:
<math>C_e= 1/{\sum_{i=1}^n\frac 1{C_i}}\ </math>
Quindi la capacità equivalente nel collegamento in serie è sempre minore della più piccola delle capacità della catena. In particolare se sono due condensatori eguali in serie la capacità equivalente vale la metà della capacità di ognuna dei condensatori della serie.
Due esempi [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Due_condensatori_incrociati|esempio C]],
Line 270 ⟶ 168:
==Energia immagazzinata nel campo elettrico==
Calcoliamo il lavoro necessario a caricare un condensatore di capacità <math>C\ </math> con una carica <math>+Q\ </math> su una armatura e <math>-Q\ </math> sulla altra. Supponiamo che ad un certo istante <math>t\ </math> la carica sulla prima armatura sia <math>0<q'<Q\ </math> di conseguenza la d.d.p. tra le armature sarà:
<math>V'=\frac {q'}C\ </math>
Se vogliamo aumentare la carica di <math>dq'\ </math> dovremo fare un lavoro infinitesimo (da un punto di vista termodinamico aumenta l'energia interna del sistema), pari a:
<math>dW=V'dq'=\frac {q'}Cdq' \ </math>
Quindi se si calcola il lavoro totale per caricare il condensatore da scarico fino alla carica <math>Q\ </math>:
<math>W=\int dW=\int_0^Q\frac {q'}Cdq'=\frac 12 \frac {Q^2}C\ </math>}
Facendo uso del fatto che <math>Q=CV\ </math> si può anche scrivere come:
Line 293 ⟶ 184:
<math>W=\frac 12 CV^2\ </math>
In realtà l'energia accumulata è contenuta nel campo elettrico tra le armature. La densità di energia del campo elettrico, si ricava dal caso del condensatore piano; infatti in tale caso, il campo elettrico ha il medesimo valore in tutti i punti compresi tra le armature, se si trascurano gli effetti dei bordi. Ricordando quanto visto per il condensatore piano nel vuoto:
<math>|E|=
\frac {Q}{S\varepsilon_o}\ </math>
<math>Q=|E|S\varepsilon_o\ </math>
Line 314 ⟶ 202:
=\frac 12 E^2Sd\varepsilon_o\ </math>
Ma <math>Sd\ </math> è il volume di spazio compreso tra le armature, l'energia elettrica per unità di volume, <math>u_E\ </math>, vale:
<math>u_E=\frac 12 \varepsilon_oE^2\ </math>
|