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Fisica classica/Potenziale elettrico: differenze tra le versioni

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=- \vec E\cdot d\vec l\ </math>
 
Cioè la d.d.p. elettrico tra i2 punti, in coordinate cartesiane (x,y,z) e (x+dx,y+dy,z+dz), è pari alall'opposto del prodotto scalare tra il campo elettrico e lo spostamento cambiatoinfinitesimo disulla segnotraiettoria:
 
<math>dV=-E_xdx-E_ydy-E_zdz\ </math>
 
Ma d'altro canto, secondo la definizione di differenziale, vale:
 
<math>dV=\frac {\partial V}{\partial x}dx+\frac {\partial V}{\partial y}dy+\frac {\partial V}{\partial z}dz\ </math>
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Quindi:
 
<math>E_x=-\frac {\partial V}{\partial x}\ </math>;
E_z<math>E_y=-\frac {\partial V}{\partial zy}\ </math>; ▼
 
<math>E_yE_z=-\frac {\partial V}{\partial yz}\ </math>;
<math>
▲E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}\ </math>
 
Ricordando che abbiamo definito <math>\vec {\nabla}</math> (detto ''Nabla'') come:
 
<math>\vec {\nabla}=(\frac {\partial }{\partial x},\frac {\partial }{\partial y},\frac {\partial }{\partial z})\ </math>
 
 
Si ha che le equazioni precedenti si possono scrivere in maniera più compatta come:
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<math>\vec p=2q \vec a\ </math>
 
Orientato dalla carica negativa a quella positiva. Il dipolo elettrico è tra le più semplici distribuzioni di cariche, solo la carica puntiforme è più semplice. Mentre in natura le cariche elementari non sono quasi mai isolate, in quanto la materia è neutra, esistono a livello elementare dipoli molecolari.
elementari non sono quasi mai isolate, in quanto la materia è neutra, esistono a livello elementare
dipoli molecolari.
 
Il calcolo del potenziale elettrico di un dipolo a distanza molto maggiore della separazione tra le cariche è una espressione molto utile. Il potenziale elettrico (supposta nulla la d.d.p. rispetto all'infinito ) in un punto <math>P\ </math> distante <math>r\ </math> dall'asse del dipolo posto nell'origini delle coordinate lungo un asse cartesiano (vedi figura a fianco) vale:
l potenziale elettrico (supposta nulla la d.d.p. rispetto all'infinito ) in un punto <math>P\ </math> distante <math>r\ </math> dall'asse del dipolo posto nell'origini delle coordinate lungo un asse cartesiano (vedi figura a fianco)
vale:
 
<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o}\left( \frac q{r_1}-\frac q{r_2}\right)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} q\frac {r_2-r_1}{r_1r_2}\ </math>
 
Se <math>r_1\ </math> ed <math>r_2\ </math> (moduli delle distanze) sono molto maggiori della distanza tra le cariche <math>2a\ </math>, e se indichiamo con <math>\theta\ </math> l'angolo formato tra l'asse del dipolo con la direzione <math>\vec r\ </math>, si può scrivere:▼
 
▲Se <math>r_1\ </math> ed <math>r_2\ </math> (moduli delle distanze) sono molto maggiori della distanza tra le cariche <math>2a\ </math>, se indichiamo
con <math>\theta\ </math> l'angolo formato tra l'asse del dipolo con la direzione <math>\vec r\ </math>, si può scrivere:
 
<math>r_2-r_1\approx 2a\cos \theta\ </math>
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<math>r_1r_2\approx r^2\ </math>
 
Quindi possiamo riscrivere l'equazione precedente come:
 
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\ </math>
 
Dalla definizione del momento di dipolo elettrico come vettore potremo scrivere in maniera compatta:
compatta:
 
<math>V(\vec r)=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {\vec p\cdot \vec r}{r^3}\ </math>
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Tale espressione è valida solo per punti a distanza grande rispetto alla separazione delle cariche, nei punti vicini bisogna usare l'espressione esatta.
 
Nel caso particolare mostrato nella figura assunto come asse delle <math>z\ </math> la direzione del dipolo, in coordiate cartesiane, essendo <math>r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ </math>, tale espressione diventa:
del dipolo, in coordiate cartesiane, essendo <math>r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ </math>, tale espressione diventa:
 
<math>V=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {pz}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}\ </math>
 
Da tale espressione esplicita è possibile calcolare le tre componenti del campo elettrico secondo i tre assi cartesiani, sempre nell'approssimazione di distanza grande rispetto alle dimensioni del dipolo stesso:
i tre assi cartesiani, sempre nell'approssimazione di distanza grande rispetto alle dimensioni
del dipolo stesso:
 
<math>E_x=-\frac {\partial V}{\partial x}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {3pzx}{r^5}\ </math>
 
 
<math>E_y=-\frac {\partial V}{\partial y}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {3pzy}{r^5}\ </math>
 
 
<math>E_z=-\frac {\partial V}{\partial z}=\frac 1{4\pi \varepsilon_o} \frac {p}{r^5}(3z^2-r^2)\ </math>
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<math>\vec E=\frac 1{4\pi \varepsilon_o r^5}\left[ 3(\vec p\cdot \vec r)\vec r-r^2\vec p\right]\ </math>
 
Due esercizi [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Un_dipolo|A]], [[Esercizi_di_fisica_con_soluzioni/Elettrostatica/Dipoli_differenza_di_potenziale|B]] possono servire a chiarire il concetto di dipolo.
di dipolo.
 
===Unità di misura ed ordini di grandezza===
LeLa dimensionidimensione fisichefisica del potenziale elettrico sonoequivale quelleal dirapporta unatra Energial'energia die divisola unaquantità di carica elettrica,
quindi l'unita di misura nel [[w:Sistema_internazionale_di_unit%C3%A0_di_misura|Sistema Internazionale]] è detto [[w:Volt|Volt]] ed equivale a uno [[w:Joule|Joule]] diviso un [[w:Coulomb|Coulomb]]:▼
quindi
▲l'unita di misura nel [[w:Sistema_internazionale_di_unit%C3%A0_di_misura|Sistema Internazionale]] è detto Volt ed equivale a uno Joule diviso un Coulomb:
 
<math>[V]=\frac {[Energia]}{[Carica]}=\frac {[J]}{[C]}\ </math>
 
Di conseguenza l'unità di misura del campo elettrico, che ha le dimensioni di una forza divisa una carica, non è normalmente scritta come <math>N/C\ </math>, ma si preferisce indicarla in <math>V/m\ </math>.
una carica, non è normalmente scritta come <math>N/C\ </math>, ma si preferisce indicarla in <math>V/m\ </math>
 
<math>[E]=\frac {[Forza]}{[Carica]}=\frac {[V]}{[m]}\ </math>
 
I campi elettrici sono estremante difficili da misurare in quanto la presenza di materia li modifica sostanzialmente. Campi elettrici dell'ordine di qualche <math>10^6\ V/m\ </math> nell'aria sono considerati campi molto intensi. Infatti con campi di questo ordine di grandezza l'aria cessa di essere un mezzo simile al vuoto e si comporta come un [[w:Plasma_%28fisica%29|plasma]]. I fulmini, l'effetto più appariscente dell'elettromagnetismo dagli albori della civiltà umana, sono una tipica manifestazione di taletali campi intensi. Durante una giornata serena vi è naturalmente un campo elettrico la cui intensità al livello del mare è di circa un centinaio di V/m. Quindi un campo di questo ordine di grandezza presente naturalmente è considerato un campo elettrico di piccola intensità.▼
I campi elettrici sono estremante difficili da misurare in quanto la presenza di materia li modifica
▲sostanzialmente. Campi elettrici dell'ordine di qualche <math>10^6\ V/m\ </math> nell'aria sono considerati campi molto intensi. Infatti con campi di questo ordine di grandezza l'aria cessa di essere un mezzo simile al vuoto e si comporta come un [[w:Plasma_%28fisica%29|plasma]]. I fulmini, l'effetto più appariscente dell'elettromagnetismo dagli albori della civiltà umana, sono una tipica manifestazione di tale campi intensi. Durante una giornata serena vi è naturalmente
un campo elettrico la cui intensità al livello del mare è di circa un centinaio di V/m. Quindi un campo di questo ordine di grandezza presente naturalmente è considerato un campo elettrico di piccola intensità. La densità di carica.
 
Il potenziale elettrico è invece una grandezza che è entrata nell'uso comune, differenze di potenziale tra oggetti carichi isolati sono facilmente misurabili, tra frazioni di Volt a centinaia di Volt. Differenze di potenziali statiche di qualche nV sono estrementeestremamente difficili da misurare, mentre differenze di potenziale di molte centinaia di Volt possono essere estremamente pericolose per la salute umana se applicate tra due differenti parti del corpo umano: in realtà la pericolosità è legata alla corrente, di cui parleremo nel seguito.
è legata alla corrente, di cui parleremo nel seguito.
 
La carica dell'elettrone di circa <math>1.6\times 10^{-19}\ C</math>, la minima carica possibile, indica chiaramente cosa sia una carica piccola. Il Coulomb rappresenta una grossa carica se distribuita su volumi di qualche <math>m^3\ </math>, ma se invece consideriamo la carica contenuta in una media nuvola di pioggia, che ha dimensioni di qualche Km, facilmente la carica accumulata è di qualche decina di C. Ma dato il volume in gioco la densità volumetrica di carica è di solito inferiore a <math>10^{-9}\ C/m^3\ </math>, la densità di carica presente nell'aria in una giornata
Line 201 ⟶ 181:
 
== Energia potenziale elettrica==
In condizioni statiche, l'intera energia del sistema di cariche esiste solo come energia potenzalepotenziale. Tale energia è il lavoro richiesto per formare una certa distribuzione di cariche.
 
Se hopossiedo semplicemente due cariche <math>q_1\ </math> e <math>q_2\ </math> e proviamo ad avvicinarle alla distanza <math>r_{12}\ </math> a partire da una distanza infinita., Lala differenza di energia potenziale posseduta dal sistema, nella condizione finale rispetto alla condizione iniziale éè evidentemente:
 
<math>U=\frac 1{4\pi \epsilon_o}\frac {q_1q_2}{r_{12}}\ </math>
 
Si può estendere il ragionamento ad un sistema di <math>n\ </math> cariche <math>q_i\ </math>
poste a distanza reciproca <math>r_{ij}\ </math>. Per tale sistema l'energia totale é, per semplice estensione del caso precedente eguale a:
 
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\frac {q_iq_j}{r_{ij}}\qquad i\ne j\ </math>|id=1}}
 
Il valore 1/2 è stato introdotto per eliminare le coppie altrimenti considerate due volte, una volta scambiatescambiati ''i'' e ''j''. Nel caso di distribuzione continua di cariche la formula generale è di poca utilità ed è più semplice affrontare il problema da un punto di vista fisico.
 
Nel caso di distribuzione continua di cariche la formula generale è di poca utilità è più semplice affrontare il problema da un punto di vista fisico.
 
=== Caso di una sfera uniformemente carica===
Immaginiamo di vorevoler costruire una sfera uniformemente carica di raggio <math>R\ </math> e carica totale <math>Q\ </math>. Immaginiamo di assemblarla sucessivamentesuccessivamente aggiungendo via via dei gusci sferici infinitesimi di volume <math>d\tau =4\pi r^2 dr\ </math>. Il processo di costruzione inizia con la sfera di raggio <math>r=0\ </math> e finisce con la sfera di raggio <math>R\ </math>.
 
La densità di carica vale ovviamente:
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{{Equazione|eq=<math>U=\int_0^R \frac {\rho^2 4\pi r^4 dr}{3 \epsilon_o}
=\frac {\rho^2 4\pi R^5}{15 \epsilon_o}=\frac {3Q^2}{20\pi \epsilon_o R} \ </math>|id=3}}
 
 
 
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