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Fisica classica/Legge di Gauss: differenze tra le versioni

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Il teorema di Gauss vale per qualunque campo vettoriale additivo tale che esistendo sorgenti puntiformi del campo stesso abbia una dipendenza in modulo proporzionale all'inverso del quadrato della distanza. Il teorema di Gauss può essere applicato al campo gravitazionale.
 
Somma algebrica significa che se all'interno della superficie la carica totale è nulla, il flusso è nullo. Se la carica è positiva, il flusso è positivo, se la somma delle cariche è negativa, il flusso è negativo.
 
Se la distribuzione di cariche è continua ( densità di volume, superficiale o di linea) alla somma algebrica si
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La dimostrazione segue direttamente dalla legge di Coulomb, secondo cui ogni carica puntiforme <math>Q_i\ </math> genera un campo radiale che varia come <math>1/r_i^2\ </math> (dove <math>r_i\ </math> è la distanza dalla carica stessa).
 
La scelta della forma della [[Fisica_classica/Carica_elettrica|legge di Coulomb]], in cui artificialmente abbiamo introdotto come costante moltiplicativa <math>1/4\pi\ </math>, dipende dal fatto che con tale definizione la legge di Gauss in elettrostatica assume la forma semplice fornita dall'equazione appena data.
Gauss in elettrostatica assume la forma semplice data dell'equazione appena data.
 
La legge di Gauss è di notevole importanza in quanto consente, non solo di dedurre le cariche presenti una volta che si conosca il campo elettrico; , ma anche di calcolare il campo elettrico in maniera semplice, quando la situazione fisica è dotata di particolare simmetria, consente di calcolare il campo elettrico in maniera semplice.
 
===Dimostrazione del Teorema di Gauss===
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La superficie chiusa copre, intorno alla carica <math>Q\ </math>, l'intero angolo solido. Vediamo quindi che il flusso di <math>\overrightarrow{E}\ </math> non dipende dalla forma della superficie: se la superficie avesse delle rientranze tali rientranze verrebbero attraversato dal cono un numero dispari di volte e i vari contributi si eliderebbero due a due. Come appare nella figura a fianco.
 
Lo spostare la carica in un altro punto all'interno della superficie non cambierebbe in nessuna maniera il risultato. Se la carica all'interno fosse stata negativa il flusso sarebbe venutorisultato negativo in quanto le linee del campo sarebbero dirette verso la carica stessa.
in quanto le linee del campo sarebbero dirette verso la carica negativa all'interno.
 
Se sono poste <math>n\ </math> cariche <math>Q_i\ </math> all'interno della superficie <math>S\ </math> potremo scrivere:
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<math>d\Phi( \overrightarrow{E}) = \overrightarrow{E} \cdot
\overrightarrow{dS} =\left(\sum_{i=1}^n \overrightarrow{E_i}\right)
\cdot \overrightarrow{dS}=\sum_{i=1}^n \left(\overrightarrow{E_i}\cdot
\overrightarrow{dS}\right)=\sum_{i=1}^n d\Phi_i</math>
 
Abbiamo applicato il principio di sovrapposizione dei campi generati dalle singole cariche. Integrando su tutta la superficie abbiamo quindi che:
cariche. Integrando su tutta la superficie abbiamo quindi che:
 
<math>\Phi_S(\vec E)= \int_S d\Phi= \int_S \sum_{i=1}^n d\Phi_i=\sum_{i=1}^n \intint_S d\Phi_i=
\sum_{i=1}^n \Phi_i=\frac {\sum_{i=1}^n Q_i}{\varepsilon_o }</math>
 
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Il contributo al flusso degli elementi <math>dS_1\ </math> e <math>dS_2\ </math> è in modulo eguale, ma di segno opposto;
 
quindi il loro contributo si può omettere, come quello di <math>dS_3\ </math> e <math>dS_4\ </math>. In generale, partendo dal punto <math>O\ </math> eed andando in qualsiasi direzione, la superficie chiusa, attraverso la quale si vuole calcolare il flusso del campo elettrico, viene intersecata sempre un numero pari di volte.
 
I contributi delle varie intersezioni si elidono sempre due a due. Quindi, comunque sia fatta tale superficie, si ha sempre:
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esattamente il valore del campo.
 
Se le cariche sonofossero distribuite in maniera continua, ad esempio con densità di carica <math>\rho\ </math>, se chiamosi indica con <math>T\ </math> il volume racchiuso dalla superficie <math>S\ </math> e con <math>d\tau\ </math> indico l'elemento di volume:
 
<math>\Phi_S(\vec E)=\int_S \overrightarrow{E} \cdot
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===Il teorema di Gauss in forma differenziale===
Spesso tale teorema in forma locale viene chiamata la prima equazione di Maxwell. Notiamo come tale espressione locale sia soggetta a delle limitazioni al contrario della forma integrale appena data. La dimostrazione si basa su un teorema di matematica, il[[Fisica_classica/Equazioni_di_Maxwell#Teorema_della_divergenza| teorema della divergenza]].
Tale teorema diceafferma che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa <math>S\ </math> è pari all'integrale di volume della divergenza del campo stesso calcolato sul volume <math>T\ </math> racchiuso da <math>S\ </math>.
 
La divergenza di un campo vettoriale è uno scalare che misura in qualche maniera la variazione spaziale del campo stesso. La sua definizione è la seguente, dato un campo vettoriale <math>\vec A\ </math> e un operatore vettoriale, definito con <math>\vec \nabla\ </math>:
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{\partial A_y}{\partial y}+\frac {\partial A_z}{\partial z} \ </math>
 
Tenuto conto di questatale affermazione, il teorema di Gauss esteso ad una generica superficie <math>S\ </math> che racchiude il volume <math>T\ </math> si può riscrivere:
 
<math>\int_S \vec{E} \cdot \vec{dS}=\int_T \vec \nabla \cdot \vec E dT=\frac 1{\varepsilon_o}
\int_T\rho dT </math>
 
Dall'eguaglianza nell'ultima espressione dei due integrali, qualunque sia il volume di integrazione <math>T\ </math>, segue che gli integrandi coincidono, quindi:
 
<math>\vec \nabla \cdot \vec E=\frac {\rho}{\varepsilon_o}\ </math>
 
Questa espressione detta equazione in forma locale è formalmente equivalente alla legge di Gauss, da cui è stata ricavata con l'ipotesi implicita che nel dominio considerato (il volume T) il campo elettrico sia derivabile in ogni punto. LaQuindi limitazionela quindilimitazione della forma locale è proprio nei casi in cui si ha discontinuità del campo elettrico.

Ad esempio, nella separazione tra due mezzi, caso non del vuoto, il campo elettrico ha in genere una discontinuità. Tale limitazione non comporta nessun problema se unosi divide il dominio in sottodomini in cui tale discontinuità è rimossa. Il problema riguarderà il fatto di imporre le condizioni di raccordo tra i vari domini. Il teorema di Gauss in forma locale collega la divergenza del campo elettrico alla densità volumetrica di carica. Tale forma mal si adatta a considerare casi in cui la carica sia distribuita su superfici o lungo linee.
 
[[Fisica_classica/Potenziale_elettrico| Argomento seguente: Potenziale elettrico]]
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